8 Calcul intégral

(1)

Chapitre 8

Calcul intégral

3 a)

Entrée

Saisir n (n  , n > 1) Initialisation

S prend la valeur 0 Traitement

Pour k de 1 jusqu’à n S prend la valeur S + 1

k k( +1) FinPour

Sortie Afficher S

b) TI CASIO

4 a) La fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f( )x = x1 b) La fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(x) = ln x c) La fonction f définie sur  par f(x) = e^x

5 a) La première ligne permet de définir la fonction : f : x  1 1 ³

Ê ËÁ ˆ

x¯˜

La deuxième ligne factorise la dérivée de f.

b) f est dérivable sur ]- ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[

¢ ¥ -Ê ËÁ ˆ

¯˜¥ Ê ËÁ ˆ f ( )x 3 x1 x¯˜

1 1

2

¢ - ¥ -

f ( ) ( ) ( )

x x x

x x

x

3 1 3 1

2

2 2

2 4

6

x – 2 – 1 2 3

f(x) + – +

3. Activités d’approche

• ^{Activité 1}

1 a) s₄ 1 f f f f

4 0 1

4 1 2

3

Ê 4

ËÁ ˆ

¯˜ Ê ËÁ ˆ

¯˜

È ÎÍ Í

˘

˚˙ ( ) ˙

s₄

1 4

1 2

3

1 4

4 1 1 512 44

ê ê ê

^ª ^,

S₄ 1 4

1 4

1 2

3

4 1

Ê

ËÁ ˆ

¯˜ Ê ËÁ ˆ

¯˜

È ÎÍ Í

˘

˚˙

f f f f( )˙

0 0

1. Page d’ouverture

• ^Énigme

^✱

5 5

100 5 933 14

100 14 524 30

100 44 410

, ¥ ¥ ¥

41 ¥ ,

100 19 170 23 542 375 L’impôt dû par une personne dont le revenu imposable est 90 000 F est 23 542 F.

• ^Énigme

^✱✱

Déterminons l’aire du triangle ABC :

AH BC¥ ¥ cm

2

2 3 2

2 3 ²

sin p

. Chaque arc de cercle détermine un secteur de même aire :

p¥BC p

2 cm

2

6 2

3 .

L’aire du domaine coloré est donc :

3 2

3 2 3 2 3 ²

¥ p- ¥ (p- ) cm .

2. Vérifier les acquis

1 1. a) AH 1 - - -

2 1 0 0 3 10

2

2 2

( ) ( ) (cm)

b) BC = 1

2 3 2 2

3 1

2

(- - ) Ê - -( ) ËÁ ˆ

¯˜

BC = 1

2 25 25

+ 9 = 5 10 6 (cm)

c) L’aire du triangle est BC AH¥ 2

50 24

25 12 (cm²)

2 lim lim

nÆÊ -n nÆ n

ËÁ ˆ

¯˜ Ê ËÁ

ˆ

¯˜

3 1

3.

D’après le théorème des gendarmes, lim

n un

Æ 3

Pour tout nombre entier naturel n ⩾ 1, n

n

1 1

1 1 et lim

n

Æ 1

1 1 1

n n

n

2 2

2

1 1

et lim

n

Æ 1

1 1 1

2

n vn

Æ 1 D’après le théorème des gendarmes, lim

n wn

Æ 1

A

C

B H

(2)

aire OABC OA AB OC

aire OABC

( ) ( ) ( )

( )

¥

2

2 5 5

2 2

a a a 55a

4. Pour s’exercer

2 a) 3 4 3 12

0

4 dx ¥

Ú

b)

1

2 3 2 7

¥ 2 et 1

2 7 2 11

¥ 2 L’aire du trapèze est

7 2

11

2 4

2 18

Ê ËÁ ˆ

¯˜¥ 1

2 2 18

3

7Ê t t

ËÁ ˆ

¯˜

Ú

^d

3 a) La fonction valeur absolue est continue sur , donc elle l’est sur [– 2 ; 3].

b)

c)

Ú

_-2x xd ¥ ¥ ^{2 2}₂ ^{3 3}₂ ¹³₂

3

4

Ú

_-2f( )x xd ¥ ^{2 3} ⁶

2

5 a)

b)

Ú

_- f( )x xd

Ú

_-2f( )x xd

Ú

f( )x xd

0 2

3

0

3 car f est une fonction continue et positive sur [– 2 ; 3].

f( ) ( ) ( )

x xd ¥ ¥

Ú

-2 ² ₂^{3 1} ³ ^{1 4}₂

3

f( )x xd

Ú

-2 ²³₂ 3

S₄ e e e e

1 4

1 2

3

1 4

4 1 942 01

È

ÎÍ ˘

˚˙ ª , b) 1 512 44, 1 942 01,

2 b) 1 713, 1 723, obtenu pour n = 172.

3 a) Pour tout nombre entier naturel n,

• s n f f

n f

n f n

n Ê n

ËÁ ˆ

¯˜ Ê ËÁ

ˆ

¯˜ º Ê - ËÁ

ˆ

¯˜

È ÎÍ Í

1 0 1 2 1

( ) ˘˘

˚˙

˙

sⁿ n ⁿ ⁿ

n

È º n

ÎÍ ˘

˚˙

1 -

1 2

1 2 1

e e

sⁿ n n

n n

¥ ¥ - -

¥ - -

1 1 1

1

1 1

1

1 1

e e

• S_n n f

n f

n f n

Ê n ËÁ

ˆ

¯˜ Ê ËÁ

ˆ

¯˜ º Ê ËÁ

ˆ

¯˜

È ÎÍ Í

˘

˚˙

˙

1 1 2

S e e e

e e e

n n n

n n

È º

ÎÍ ˘

˚˙

¥ È º ÎÍ

-

1

1 1

1 2

1 1 1˘˘

˚˙ e

1 nsn

b) s_nS_n

1 1

1

1 1

1

1 1

1

n n

¥ - n

-

¥ - - e ¥

e

e e

e



c) •  lim

nÆn1

0 et lim

x x

x

Æ -

0

1 1

e , donc lim

n n

n

Æe -

1

1 1,

donc lim

n n

n

Æ -

1

1 1 e

•  lim

n

Æen

1

nÆ  -e 1.

• ^{Activité 2}

a) Pour tout réel h  0, d(t + h) – d(t – h) = 4th + 10h.

b) Vitesse moyenne entre les instants t – h et t + h :

V( ) ( ) ( )

( )

t d t h d t h

t h t h

th h

h t

- -

- - 4 10

2 2 5

v t t t

( )hlim ( )

Æ0V 2 5 c)

d) Pour tout aŒ[ ; ]0 6 , d a( )-d( )0 a² 5a

(3)

¢ -

F e

3( ) 1 e 2

( )

x ^x_x

F₃ n’est pas une primitive de f

F₄ 1 2

( )x 1 _x^x e e Donc F₄(x) = F₂(x)

F₄ est une primitive de f sur .

14 a) La dérivée de x  ln(3x) est la fonction : xa 3x x

3

= 1.

La dérivée de x  5 + ln x est la fonction xa x1. La dérivée de x

ae-ln x1

est la fonction :

x x

a- - 1 1

1

2 .

b) F : x  5 + ln x + C est une primitive de f sur I, donc F( )1 € -0 C 5, d’où F( )x =lnx.

17 a) f est continue sur I F( )x x⁴ - x³ x² - x C

4 4 3

5

2 , C ∈ 

b) g est continue sur I

G( ) sin C

x ²x

2 , C ∈ 

c) h est continue sur I et x est un nombre strictement positif.

h( )x ln x x

= 1

H( ) (ln ) C x x²

2 , C ∈ 

18 F( )x 1x x- ln(x- ) C

2 ² 2 2 1 avec C nombre

réel.

On veut F(2) = 0 donc 1

2¥2² ¥ -2 2 2 1ln C 0, c’est-à-dire C = – 6.

D’où F( )x 1x x- ln(x- -)

2 ² 2 2 1 6.

19 F( )x -ln(cos )x.

22 • I

Ú

0₂¹^{4 2} ² ² ² -¹³

1 ( x )(x x ) dx

I 1ÈÎ - ˘˚

8 2 1 15

8

2 4

0

(x x ) 1

• J

Ú

0^p^cos^{t t}^d ^{[sin ]}^t⁰^p 0

• K ¥ d

Ú

-1₂¹ 2² ₂ ² ₅

1 u

u u u

• u u

u u

a +

+ + 1

2 5

2 est continue sur [- 1 ; 1]

K ÈÎ ˘˚-

1

2 ln(u² 2u 5)¹₁ K ₂¹

^ln⁸-ln⁴

^ln₂²

6 a)

b)

Ú

_-4(t⁴) t ¥ ^{4 4}₂ ⁸

0 d

( ) ( )( )

t t a a

a

Ú

-1 ⁴ d ^{1 3}₂ ⁴

On obtient (a1)(a7) ¥2 8, c’est-à-dire : a² 8a- 9 0, ce qui donne a = 1 ou a = – 9.

Or a  0 donc a = 1.

7 a) On passe de l’une à l’autre par la symétrie axiale d’axe y = x.

b) Il y a invariance de l’aire par symétrie, donc l’aire en u.a, de ₃ est l’aire de ₁, c’est-à-dire

Ú

₀¹x x²d ^.

c) aire de ₃ + aire de ₁ + aire de ₂ = aire OIKJ donc aire ₃

0

1 1 1 2

3 1 -

Ú

^{x x}^d - 3 donc aire ₁ 1

= 3 et aire ₂ 1

= 3.

8 Par symétrie,

Ú

- f t t( )d

Ú

f t t( )d

p p

p ⁰² 2

2

0 .

Par translation,

f t t( ) f t t( ) f t t( )

p p

p

p p p

2 3 2

2 0

02 2

Ú

d

Ú

- d

Ú

d ^¥2

11 xa-2 et tx aln sont continues sur [1 ; et ³] donc F est dérivable sur [1 ; e³] et F ( )¢ x - 2 lnx F’ est strictement négative sur [1 ; e²[, s’annule en e² et strictement positive sur ]e² ; e³]

F est décroissante sur [1 ; e²] et croissante sur [e² ; e³] 12 a) F¢( )x x²e^x

¢ - -

G( )x (2x 2)e^x (x² 2x 2)e^x x²e^x

b) F et G sont des primitives sur [0 ; 1] de xax²e , donc ^x il existe un nombre réel k tel que F(x) = G(x) + k.

c) F(0) = G(0) + k, c’est-à-dire 0 = 2 + k, donc k = – 2.

F(x) = G(x) + 2.

13 F₁, F₂, F₃ et F₄ sont dérivables sur .

¢

F e

1( ) e 12

( )

x _x ^x , F₁ est donc une primitive de f sur .

F₂ F₁ 2 2

1 2

( )x - ( )x _x^x

e e

F₂ est donc une primitive de F₁ sur .

F₃ 2 1

1

2

1 1 1

( )x _x^x ^x_x _x^x 1 _x

¥

- -

e e

e

e e

(4)

1

1+t² < 1 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + ∞[

1

1 1 1 1

1 1

2 2 2 2 4

2

4

- - - 2

t t t t t

t

t t Donc 1

1 ₂ 1 ²

-

t t > 0

Conclusion : Pour tout t positif ou nul, 1 1

1 1

2 2

-t

 t  b) D’après a),

(1 ) 1

1

2 2

0 1

0

- 1

Ú

^t ^d^t^

Ú

_t ^d^t^

Ú

^d^t

t t

t t È -

ÎÍ ˘

˚˙

Ú

3 0 1

0 1

3 12 1

 1 d  2

3 1 1

1 ²

0

 1 

Ú

_t ^d^t

33 A B-

Ú

_-^e2^{[ln (}^x¹-^{ln )]}^{x x}d

Pour tout x ∈ [ 1 ; e], 0  ln x  1, donc ln x(1 – ln x)  0, donc A – B  0 donc A  B.

34 a) 2 2 2

02

p p p

p p

cosx xd sinx

Ú

b) 1

2 3 1

2 1 3

1

2 3

2 2

0 3 2

2 0

(- - ) È- -

ÎÍ

˘

˚˙

-

- -

Ú

^x ^x ^d^x ^x ^x ^x

116 3 c) e d

Ú

0 ^x x ÈÎ ˘˚ -e^x e

1

0

1 1

5. Accompagnement personnalisé

35 tat t est continue et positive sur [0 ; + ∞[ donc :

¢ - -

F ( )x 4x x x x( 4 x). Le signe de F¢(x) est donc celui de 4- x. 4- x 0€0x16

F est donc strictement croissante sur [0 ; 16] et strictement décroissante sur [16 ; + ∞[.

36 a) G(x) = cos x + x sin x + C avec C ∈ .

G p

2 0

Ê ËÁ

ˆ

¯˜ donc C - p 2 D’où G( )x cosx + xsinx- p

2. b) F(x) = cos x+x sin x – 1

37 a) (x² x ) x x³ x² x

1 2 1

2 4 1 1

3 2 23

- È - 4

ÎÍ

˘

˚˙

- -

Ú

^d

b) e^{2 3}d e e e

0

1 2 3

0 1

5 3

1 2

t t t

Ú

^È_ÎÍ ^˘_˚˙ ^-

c) dx

x x

2 3

1

2 2 3 1

2 5 1

2 3

0 1

È

ÎÍ

˘

˚˙ -

Ú

^ln( ⁾ ^ln ^ln

d) d

e e

e

t e

t t t

ln ÈÎln(ln )˘˚ ln

Ú

²

2

23 x

x₂ x x²

1 1

2

1 1 5 2

ÈÎ ˘˚ -

- -

Ú

² ^d

24 a)

b)  - -È

ÎÍ ˘

˚˙ È ÎÍ ˘

˚˙

- -

Ú

1^{x x}³

Ú

^{x x} ^x ^x

0 3

0

2 4

1

0 4

0 2

4 4

d d

1

4 4 17

4

25

Ú

_-1(e^x-³)dx ÈÎe^x-³x˘˚ - -_- e ³ (e^- ³)

1

1 1

- -e e

1 6

x  e^x – 3 est continue et négative sur [– 1 ; 1], donc l’aire du domaine coloré est, en unités d’aire, 6 1

-e e.

28 A B

Ú

0⁽e^x^cos²^{x +}e^x^{sin )}²^{x x}d

p

(linéarité de l’intégrale) A B

Ú

0e^x^(cos²^{x +}^{sin )}²^{x x}d

p

A B

Ú

0^pe d^x ^{x =}e^p-1 29 I

I

-

-È

-

Ú Ú

Ú

^{x x} ^{x x} ⁽ ^{x x + x x}⁾

Ú

x

d d d d

1 0 0

2 1

0

0 2

1 2

ÎÎÍ 2

˘

˚˙ È ÎÍ

˘

-1 ˚˙

0

2 0

1 2

2x

I 1

2 2 5

2

30 f( ) f( ) f( )

( )

x x x x x x

x x

d d d

d

- -

-

Ú Ú Ú

Ú

2 1

0 1 2

0

2

0 3 ((3 ²)

0

1 -

Ú

^x ^d^x

È

ÎÍ

˘

˚˙ È - ÎÍ

˘

- ˚˙

1

2 3 3 1

3

2

2 0

3 0 1

x x x x

f( )x xd

Ú

-2 ⁴ ⁸₃ ²⁰₃ 1

31 • Pour tout x ∈ [– 1 ; 2], – x² + x + 2  0 et e^x  0 donc la fonction x  (– x² + x + 2)e^x est positive, et de plus continue sur [– 1 ; 2] donc A  0.

• Pour tout xŒÈ ÎÍ

˘

˚˙

1

2; , ln(1 x²) = 2ln x  0.

De plus, x  ln(x²) est continue sur 1 2;1 È ÎÍ

˘

˚˙ donc B  0.

32 a) t est un nombre réel positif ou nul t² + 1 > 1

(5)

42 a) 5 15

2

1 dx

Ú

-

b) ( ) ( )

- ¥

Ú

-2 ^t ⁴ ^t ³ ^{5 2}₂ ²¹₂

1 d

c) e d

Ú

3 ^x x⁰

3

43 a) Sur [–3 ; 1], f est continue et positive (car f est affine et strictement décroissante telle que f(1) = 1  0).

Sur ]1 ; 4], f est continue et positive (car f est affine et strictement croissante telle que lim ( )

xx

Æ x

11

1 0



f  ).

lim ( ) ( )

xx Æ1 x

1

1 1



f f , donc f continue en 1.

b)

c) f( ) ( )

x xd

Ú

-3 ^{4 5 1}₂ ¹²

1

f( ) ( )

x xd

Ú

1 ^{3 1 10}₂ ³³₂

4

f( )x xd

Ú

f( )x xd

Ú

f( )x xd

Ú

- - 1

4 3

1 3

4

f( )x xd

Ú

-3 ¹² ³³₂ ⁵⁷₂ 4

d) t f t t

( ) ( )( )

x xd - ,

Ú

-3 ^{3 5}₂ ² ^{10 5} avec – 3  t  1, ce qui donne t² – 4t = 0, soit t = 0 ou t = 4.

Or –3  t  1, donc t = 0.

44 v t t( ) ( )

0 d

45 15 30 20

2 15 20 5 20

Ú

^¥ ^¥2

¥0 5 30

2 800

Le point mobile M a parcouru 800 m.

45 1. a)

y = e^x y = x

y = ln x 38 1.  -

Ú

_- ^sin^{x x}^d

Ú

0^sin^{x x}^d

2

0 p

p



^-

cosx-p cosxp 2

0

 = 3 2. a)

b) 

Ú

_- ⁽^x²- ^{x x}⁾ -

Ú

0⁽^x² - ^{x x}⁾

5 1

0 5 d 5 d

 È - ÎÍ

˘

˚˙ -È - ÎÍ

˘

- ˚˙

1 3

5 2

1 3

5 2

3 2

1 0

3 2

0 5

x x x x

 - -Ê ËÁ

ˆ

¯˜

17 6

125 6

= 71 3 39 a) I

È

ÎÍ

˘

˚˙

Ú

0_x2^x ^x ^x

1 2

0 1

1 1

2 1 1

2 2

d ln( ) ln

I J

Ú

_x2^x ^x _x^x ^x

3 0 2

1 0

1

1d 1d

I J

È

ÎÍ ˘

˚˙

Ú

0^{x x}⁽_x2² ⁾ ^{x = x x}

Ú

^x

1 2

0 1 0

1 1

1 2

1

d d 2

b) I 1 I J

2 2 1

ln et 2, donc J -1 2

1 2ln .2

40 Pour tout n  1,

u_n¹-u_n

Ú

ⁿ¹ -

Ú

0 ⁿ

1 0

1x ln(1 x x)d x ln(1 x x)d

Ú

0

^xⁿ¹-^xⁿ

^{x x}

1 ln(1 ) d

Ú

0^{x x}ⁿ - ^{x x}

1 ( 1)ln(1 ) d

Pour tout x ∈ [0 ; 1], ln(1 + x)  0, x – 1  0 et xⁿ0 donc u_n+1 – u_n  0.

La suite u est donc décroissante.

6. Exercices d’application

41 a) aire ABH( ) ¥ 4 2 u a..

2 4

aire HBCG( ) ¥ 3 2 6u a.. aire GCDF( ) ( ) u a.

2 2 4 .

2 6

aire FDE( ) ¥ 1 4 u a..

2 2

L’aire, en u.a. de  est donc 4 + 6 + 6 + 2 = 18.

b)

Ú

_-5f( )x xd

5

(6)

• f(x) = 3(x – 1)² – 1 = 3x² – 6x + 2 Æ F(x) =x³ – 3x²+ 2x+ 1

53 •  ¢ - -

- -

F₁ 1 1 -

1

1 1 1

( ) ( 1)( )

x x x x x

x

-

- -

-

1 1

1

2 1

2 2

x x x

x f( )x

• F₁ est une primitive de f sur [– 1 ; 0].

• F₂(x) = F₁(x) + 2ln(1 – x). Or 2ln(1 – x) n’est pas une constante, donc F₂ n’est pas une primitive de f sur [–1 ; 0].

• F₃(x) = F₁(x) – 3, donc F₃ est une primitive de f sur [– 1 ; 0].

54 a) ¢ -

-

F ( )

( ) ( ) ( )

x x x x

x x

x 1

1 1

1

1 1

2 2 2

b) ¢

¥ - ¥

G ( ) ( ) ( )

( )

x x x x

x 5

5 5

1 1 1 2

1²

-

¢

1 1

1 1² x (x ) F( )x

G est aussi une primitive de F sur [0 ; + ∞[.

c) Il existe un nombre réel k tel que pour tout x ∈ [0 ; + ∞[ : F(x) = G(x) + k.

F(e – 1) = G(e – 1) + k donc 1 1

1 5 1

e

ln e k

donc k = – 1 – ln 5.

Finalement, F(x) = G(x) – 1 – ln 5.

55 a) La dérivée de la fonction x  ln(5x) est la fonction xa x1.

La dérivée de la fonction x  – 1 + ln x est la fonction xa x1

.

La dérivée de la fonction xa3-lnex est la fonction xa x1.

Ce sont des primitives de f : xa x1 sur ]0 ; + ∞[.

b) F(x) = ln x – 1.

56 F ( )¢ x 12x - 4x

5 1

3 et F(0) = 0 donc F est la primitive de f qui s’annule en 0.

57 ¢

F ( )x x ( )

x

x x

2

2 ² 1 ² 1 f , donc F primi-

tive de f sur .

G( )x x² -1 2 est la primitive de f qui s’annule en – 1.

58 a) F¢(x) = x² cos x.

¢ - -

G ( )x 2cosx 2xsinx 2xsinx x( ² 2)cosx G¢(x) = x² cos x

b) F et G ont la même dérivée donc il existe kŒÈ ÎÍ

˘ 0 ˚˙

;2p tel que F(x) = G(x) + k.

c) F(0) = G(0) + k donc 0 = 1 + k, c’est-à-dire k = – 1.

F(x) = G(x) – 1.

59 a) F( )x x³ 5x² -x 2 b) On passe d’une courbe à l’autre par la symétrie d’axe

y = x.

2. Il y a invariance de l’aire par symétrie, donc les do- maines colorés ont même aire donc :

lnx xd ln ¥e^ln - ^ln e d^x x

Ú

1â â â

Ú

0 ^a c’est-à-dire :

lnx xd ln -

Ú

^ln e d^x x

Ú

1â â â 0 â .

46 1. a) On obtient _g à partir de _f par la translation de vecteur urj

.

b) (₀¹ x² 1) x ₀¹x x² 1 1

3 1 4

Ú

3

Ú

^d ^d

2. a) On obtient _h à partir de _f par la translation de vecteur -2uri

.

b)

Ú

- h( )x xd

Ú

f( )x xd

- 1

3

0 1 2

1

47 La fonction t  ln t est continue et positive sur [1 ; e], donc F est dérivable sur [1 ; e] et on a :

F¢(x) = ln x  0.

La fonction F est donc strictement croissante sur [1 ; e].

48 La fonction t  sin t est continue et positive sur [0 ; p] donc xa ^xsin dtt

Ú

0 est dérivable sur [0 ; p]. F est donc dérivable sur [0 ; p] et on a pour tout x ∈ [0 ; p],

F¢(x) = – 1 + sin x.

Or pour tout x ∈ [0 ; p], 0  sin x  1 donc F¢(x)  0.

F est donc strictement décroissante sur [0 ; p].

49 a) Pour tout x ∈ [0 ; 1], F¢(x) = f(x)  0 donc F est strictement croissante sur [0 ; 1].

b) La dérivée de la fonction x  ln(e^x + 1) est la fonction xa _xe^x

e +1 soit encore xa _xe^x ^x_x e

e ¥ e^-_-

1 soit : xa 1 _x

1e^- . C’est donc la fonction f.

c) F( )x ^x e _t d ln(e^x ) ln

_- -

Ú

0₁ ¹ t ¹ ² car

x  ln(e^x+ 1) est une primitive de f sur [0 ; 1].

50 a) F¢(x) = G¢(x) = ln x

b) F et G sont donc des primitives de x  ln x sur [1 ; e].

Il existe donc k nombre réel tel que F(x) = G(x) + k.

c) F(1) = G(1) + k donc 0 = 2 + k, d’où k = – 2.

Pour tout x ∈ [1 ; e], F(x) = G(x) – 2.

51 F ( )¢ x x x 2 5

2

2 et G ( )¢x x x 2 5

2

2.

F et G sont des primitives sur ]0 ; + ∞[ de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f( )x 2x x

5 2

2.

52 • f(x) = 3x² – 2x + 2 Æ F(x) = x³ – x² + 2x + 1

• f(x) = 3(x+ 2)(x – 4) = 3x² – 6x – 24 Æ F(x) = x³ – 3x² – 24x + 1

(7)

2 4

4

3 8

4

e e

e

e e

x x

x

x x

( )

( ) f c) Les primitives de f sur  sont les fonctions x  2x + ln(e^x + 4) + C avec C nombre réel.

d) F(x) = 2x + ln(e^x + 1) – ln 2.

71 a) f¢(x) = 2e^2x sin x+ e^2x cos x

f¢¢(x) = 4e^2x sin x + 2e^2x cos x + 2e^2x cos x – e^2x sin x f¢¢(x) = 3e^2x sin x+ 4e^2x cos x

b) f( )x - 1f¢¢( )x f¢( )x 5

4 5

c) Les primitives de f sur  sont les fonctions, xa- 1 ¢¢( )x ¢( )x

5

4

f 5f C où C ∈ .

C’est-à-dire xa 2 ^x x ^x x

5

1 5

2 sin 2 cos

e - e C

72 a) (- ) -È ÎÍ

˘

˚˙ -

Ú

^x² ^x ^x³

0 1 0

1 1

3

1 d 3

b) x x³ x⁴

1 3 1

3 1

4

81 4

1

4 20

d È ÎÍ

˘

˚˙ -

- -

Ú

c)

Ú

_-^p_psinq qd ^-

cosq

^p_-_p - 1 1 0

d) 1 4 2 2

4 1 4

1

xdx ÈÎ ˘˚ -x ^-_- -

-

Ú

- ^ln ^ln ^ln

e) 1

2 ₁² 2 1

1 2

xdx ÈÎ ˘˚ x -

Ú

f) 1 1 1 1

3 2

2 3

1 3

t t d -È t

ÎÍ

˘

˚˙ -

Ú

73 a) (3 4)

2 4 0

2 2

2 3 2

2 2

x -x x Èx x - x

ÎÍ ˘

˚˙

- -

Ú

^d

b) t t( ² ) t t⁴ t²

2 1 2

1 1 1

4 1 2

1

4 2 9

- È - 4 ÎÍ

˘

˚˙ - - -

- - -

Ú

- ^d

74 a) (sinx- cos )x x -

cosx- sinx

- -

Ú

³ ³

1 1

2 2

p d

p

p p

-2

b) sin

cos ln( cos

ln t t

2 2

3 2

3

-ÈÎ ˘˚2

-

- -

Ú

^p^p ^dt ^t ^p^p

ln ln ln

2 5

2 5 2 2

-

75 a) _- xe^-^x dx e^-^x

-

-È ÎÍ

˘

˚˙ -

Ú

1 ² ¹ ² ¹

1

1 1

2

1 2

1

2 0

b) e

e_x^x dx ÈÎ e^x ˘˚ -

Ú

0 ₂ ² ⁵ ³

3

0 3

ln( ) ln ln

ln ln

76 a) 2 1

1 1 0 0 0

2 2

0 1

0

x 1

x x- x x x

- ÈÎ - ˘˚ -

Ú

^d ^ln( ⁾

b) x

x₂ x x²

1 2

5 5 3 6

ÈÎ ˘˚ -

- -

Ú

^d

b) F( )x 1x - x x x 5

1 4

3

2 5

5 4 2

60 a) F( )x 1x - lnx

3 ³ 3

b) F( )x - 2x 5lnx3x 61 a) F(x) = sin x – cos x b) F(x) = 3sin x +2cos x

62 a) F(x) = 5e^x+ 4x b) F(x) = ln x + e^x – x

63 a) F( )x 6 x2e^x- -6 2e b) F( )x 3x - x x lnx-

4 2 3

5

2 4 31

12

4 3 2

64 a) f( )x x1(1ln )x et F( )x 1( ln )x

2 1 ²

b) F( )x 1(x - x )

2 ² 4⁶

c) F( )x 5( e^x )

3 3 1³

65 a) F( )x -ln(1-e^x) b) F(x) = – ln(cos x) c) F( )x 1ln(x x )

2 ² 2 3

66 a) F( )x - 1e^-^x 3

3 5

b) F( )x - 1e^-^x 4

2

67 a) f( )x x x x ¥3 2 1

2 1, donc F( )x 6 x² x 1

b) f( ) sin

x cos x

- - x, donc F( )x -2 cosx 68 a) F( )x 1ln( e^x)- ln

2 1 2 1

2 3

b) F( )x 1(x - x ) -

4 2 2 1

4

2 2

c) F( )x 1e ^x ^- ^x - 2

1 2

2 ³ 2

69 a) f est dérivable sur ]– 1 ; + ∞[, donc f est continue sur ]– 1 ; +∞[.

b) Pour tout x  – 1,

2 3

1

2 1 3

1

2 5

1

x x

( ) f( )

c) Les primitives de f sur ]– 1 ; + ∞[ sont les fonctions F : x  2x + 3ln(x + 1) + C avec C nombre réel.

d) F(x) = 2x + 3ln(x + 1) – 2 – 3ln 2

70 a) f est dérivable sur  donc f est continue sur .

b) Pour tout x ∈ ,

(8)

A 10

3 16

3 10

3

A = 12.

82 a) 4 1 1

4 3 12 2

2 2 2

-x - x € x € x b) f et g sont continues sur  donc sur [0 ; 2].

De plus, f et g sont positives sur [0 ; 2].

f( )x xd x x

0

2 3

0 2

4 3

16

Ú

^È_Î^Í ^- ^˘_˚^˙ 3^; g( )x x xd -È x

ÎÍ

˘

˚˙

Ú

0

2 3

0

1 2

12

4 3

c) L’aire en u.a., comprise entre _f et _g est :

2 2 16

3 4

3 8

0 2 0

2f( )x xd - g( )x xd È

ÎÍ ˘

˚˙ È - ÎÍ

˘

˚˙

Ú Ú

83 a) f(x) = (e^x – 1)(e^x – 2) e^x – 1  0 ⇔ x  0

e^x – 2  0 ⇔ x  ln 2

x 0 ln 2 1

e^x – 1 + +

e^x – 2 – +

f(x) – +

b) L’aire, en u.a., du domaine cherché est :

 -

-È -

ÎÍ

Ú

^ln ^[ f^{( )]}x x

Ú

ln f^{( )}x x x

x x

d d

e e

0 2

2 1

1 2

2 3 2 ˘˘

˚˙ È - ÎÍ

˘

˚˙

0 2

2

1 1

2 3 2

ln

e ^x e^x x

 -4 2 2- 5 - -

2 1

2 ² 3 2 4 2 2

ln e e ln

 15 - -

2 4 2 1

2 ² 3

ln e e

84 a) f( )x xd f( )x xd f( )x xd

- -

Ú

- -

2 3

2 0

0 3

4 3 1

b) ( ( ) ( )) ( ) ( )

(

3 2 3 2

3

2 3

2 3 2

f x - g x x 3f x x- gx x ¥

- - -

Ú

^d

Ú

^d

Ú

^d

-- - ¥ -1) 2 4 11 c) f( )x xd f( )x xd

0 2

2

0 4

-

Ú

^-

Ú

-

85 a) I J

Ú

0 ¹ ¹⁶ ^{4 2}

16 dx ln ln

ln

I- J

ÈÎ ˘˚

-

Ú

3 4 4

20

0 16 0

16 e

e_x ^x dx ln(e^x )

ln ln

55ln42 2ln b) x y

x y - x Ì

Ó €

ÌÔÔ ÓÔ Ô

3 2 2

4 2

7

2 2

1

2 2

ln ln

ln ln y c) I= 7

2ln et 2 J= 1 2ln2

0

0 0

77 a) i t

t

t t

( ) , , , ,

ln

€ -

€ €

- -

0 75 1 5 1 5 0 75

1 2

2 50

50 50

e e

t₀ 2

50 0 014 ln ª

, s

b) Q - e d È e

ÎÍ

˘

˚˙

- -

Ú

0^ln ^{( ,}^{1 5 1 5}^, ⁵⁰ ⁾ ^{1 5}^, ^{1 5}₅₀^, 2

50 t t t 50t

00 2 50

3 2 100

3 200

3 100

ln

ln -

Q 6 2 3- ª ¥ ^-

200 5 8 10 ³

ln ,

78 a) a_n

nh n h

n h nh nh

ÈÎ ˘˚

-

Ú

^{e d} ^e

e e e

x x x

( ) ( )

( )

1 1

1 ÈÎee^h-1˘˚

b) Pour tout n ∈ ,

a_n+1 = e^(n+1)h[e^h – 1] = e^h e^nh[e^h – 1] = e^ha_n (a_n) est une suite géométrique de raison q = e^h et de premier terme a₀ = e^h – 1.

c) e^h  1 (car h ∈ *), donc lim

n an

Æ .

L’aire sour la courbe tend vers + ∞.

79 f est continue et négative sur ]– 2 ; + ∞[ donc éga- lement sur [0 ; 1].

L’aire du domaine, en u.a., est donc : [ ( )]

( )

-

È ÎÍ

˘

˚˙ -

Ú

0 ^f ^{x x}^d _x ^d^x _x

1

2 0

1 0

4 2

4 3

6 3

11 2

Ú

3

80 a) A - d d

-È -

ÎÍ ˘

˚˙

-

Ú

^f^{( )}^{x x}

Ú

^, ^f^{( )}^{x x}

x x x

1 2

3 2

3 1 5

3 2

2 2

11 2

3 3 2

2 3 1 5

2 2

È -

ÎÍ ˘

˚˙

x x x

,

A 22

7 3 2

3 2

22 7 A= 65

7

b) A

Ú

03^f^{( )}^{x x}d

Ú

^[-^f^{( )]}^{x x}d

Ú

^f^{( )}^{x x}d

3

3 2 p

pp

p p

A ÈÎsin² cos ˘˚ -₀³ ÈÎ sin² -cos ˘˚

3

x + x ^p x x _p^p

ÈÎsin² cos ˘˚

3

x x p2 p

A 5-

4 1 1 5

4 1 1

A= 9 2

81 La fonction x  x² – x – 2 est négative sur [0 ; 2]

et positive sur [2 ; 4] donc l’aire du domaine en u.a. est :

A - d d

-È

ÎÍ ˘

˚˙

Ú

^[ ^f^{( )]}^{x x} ^f^{( )}^{x x}

x x x

2 4 0

2

3 2

0 2

3 2 2 xx³ x² x

2 4

3 - 2 -2 È

ÎÍ ˘

˚˙

(9)

90 a) – x  f(x)  x² donc :

(- ) ( )

Ú

1 ^{x x}^d

Ú

^{x x}^d

Ú

^{x x}^d

2

1

2 2

1

 f  2

c’est-à-dire È- ÎÍ ˘

˚˙ È

ÎÍ ˘

˚˙

Ú

^{( )}

x² x x x

1 2

1

2 3

1 2

2  f d  3

donc - ² ₂¹

Ú

1 ^{( )} ⁸₃- ¹₃

 2f x xd  d’où - ³₂

Ú

1 ^{( )} ⁷₃

 2f x xd 

b) 1 1

x2 f( )x  x donc 1 1

2 1

2

1 2 1

2

x dx

Ú

f( )x xd 

Ú

xdx

Ú

donc È- ÎÍ

˘

˚˙

Ú

^{( )} ^ln

1

1 2

x  f x xd  x donc 1

2 2

1



Ú

2f( )x xd ln 91 a) Pour tout xŒÈ

ÎÍ

˘ 0 ˚˙

; 2p , 0  cos x  1 1  1 + cos x  2

1 1 1cosx 2

b) 1 1 cos 2

02

dx x xd dx

p p p

Ú

^

Ú

^

Ú

donc p ^p p

2 1

2 2

02



Ú

^cos^{x x}^d 

92 a) Pour tout x ∈ [0 ; 1], 1  1 + x  2, donc : 1

2 1

1 1

 

+x . b) 1

2

1

1 1

0 0

0 dt d d

t t t

 

Ú

^x ^x ^x

1

2xln(1+x)x donc pour x = 1, 1

2ln21. 93 a) Sur [– 5 ; – 2], f(x)  0, donc f( )t dt

-

Ú

-5

2 0.

Sur [0 ; 3], f(x)  0, donc f( )t dt

0

3 0

Ú

^ ^.

b) Pour tout x ∈ [0 ; 1], 0  f(x)  2, donc

0 2 2

0 1 0

1

0

dt

Ú

f( )t dt 1 dt

Ú Ú

, c'est-à-dire :

0 2

0



Ú

1f( )t ^dt ^.

Pour tout x ∈ [1 ; 2], 1  f(x)  2, donc 1 2

1

Ú

2f t t( ) d ^.

94 a) f¢( ) - ( - )

x x x

x

x x x

e ² e e

4 4

2 2

.

Pour tout x∈ [1 ; 2], f¢(x)  0 donc f est strictement décroissante sur [1 ; 2].

b) Pour tout x ∈ [1 ; 2], f(1)  f(x)  f(2) c’est-à-dire :

e e e

 ^x  x²

2

4.

c) e e

d e

 ^x  x₂ x

1

2 2

Ú

4 ^.

95 a) ¢ f ( )

( ) ,

x x

1

1₂ 0 f est donc strictement croissante sur [0 ; 1].

86 a) J I-

Ú

06^p¹dx ₆p

I J

- - -

Ú

06^sin_cos^x_x ^cos_sin^x_x^d^x _c^sin^x ^cos^x p

oos sin ln(cos sin )

x x x

x x

- -ÈÎ - ˘˚

Ú

06 06

p

d

I J - Ê -

ËÁ

ˆ

¯˜ - Ê - ËÁ

ˆ

ln 3 ln ln ¯˜

2 1

2 1 3 1

2

b) I - - Ê -

ËÁ ˆ ln ¯˜

p 12

1 2

3 1 2

J - Ê -

ËÁ ˆ

¯˜

p 12

1 2

3 1 ln 2

87 |t² t t| d |t t t| d |t t t| d

1

2 2

1

0 2

0

2 2 2 2

- - -

- -

Ú Ú Ú

Ú

-(t² - t t)

Ú

( t t- ²) t

0 2 1

0 2 d 2 d

È - ÎÍ ˘

˚˙ È - ÎÍ ˘

˚˙

-

t³ t₂ t t

1 0

2 3

0 2

3 3

4 3

= 8 3

88 a) Pour tout x∈ [–1 ; 2], x² – x – 2  0 donc : (x² x ) x

1

2 - -2 0

Ú

- ^d ^ ^.

b) Pour tout x ∈ [– 1 ; 0], xe^–x  0, donc

Ú

_-1xe d^-^x x^⁰

0 .

c) Pour tout xŒÈ ÎÍ

˘

˚˙

1

2; , ln 1 x²  0, donc ln1 x x²

2

1 d 0

Ú

^.

d) Pour tout xŒÈ ÎÍ

˘

˚˙

p p

4 2; , cos x sin(2x)  0, donc : cos sin( )x 2x x 0

4

2 d 

p p

Ú

^.

89 a) Pour tout x  1, t ln t  0 sur [1 ; x] donc F(x)  0.

Pour tout 0  x  1, F( )x -

Ú

_x¹^tln^{t t}d ^.

Pour tout t ∈ [x ; 1], t ln t  0, donc F(x)  0. Ainsi pour tout x  0, F(x)  0.

b) F¢(x) = x ln x et F(1) = 0.

La fonction xa 1 x x x

4(2 ²ln - ² 1) s’annule en 1 et a pour dérivée la fonction :

x x x x

x x x x

a 1

4 4 2 1

2 2

ln ¥ - ln

Ê

ËÁ ˆ

¯˜ , d’où F( )x 1( x lnx x- )

4 2 ² ² 1.

c) On a vu que pour tout x 0, F(x)  0, donc 1

4(2x²lnx x- ² 1)0, c’est-à-dire lnx 1 x 2

1 2 ² - .

8 Calcul intégral

Chapitre 8

Calcul intégral

3. Activités d’approche

• Activité 1

1. Page d’ouverture

• Énigme

• Énigme

2. Vérifier les acquis

4. Pour s’exercer

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

• Activité 2

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

5. Accompagnement personnalisé

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú Ú

Ú

Ú

Ú Ú Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

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• ^{Activité 1}

• ^Énigme

• ^Énigme

• ^{Activité 2}