Chapitre n°8: Calcul intégral, partie 1/3
Objectifs :
1. Connaître la définition de l'intégrale d'une f° continue et positive sur [a;b] comme aire sous la courbe. [calcul approché d'aire de parabole, d'hyperbole,etc, possible] .
2. Connaître la notation
∫
a b
f(x)dx .
3. Connaître le théorème : Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors la fonction F définie par F(x)=
∫
a x
f(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.[ On peut présenter le principe de démonstration quand f est positive et croissante].
[Approfondissements possibles : calcul du volume d'un solide]
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j ) d’unité graphique 1 cm.
a et b désignent deux réels tels que a < b.
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b]. c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].
Soit c un réel positif tel que, pour tout x appartenant à [a;b], f(x)=c.
a. Déterminer l’aire a du domaine df en cm².
...
...
...
On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a =
∫
a b
f (x)dx .
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].
a. Déterminer l’aire a du domaine df en cm².
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x2.
On veut déterminer a =
∫
0 1
f(x)dx 1. De quel domaine s'agit-il ?
...
...
2. En utilisant le
quadrillage de la figure ci-contre, donner un encadrement de a en
« petits carreaux ».
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3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
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4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul. Les bornes des intervalles sont appelées a0 = 0, a1 = 1
n , a2
= 2
n ,... , ak = k
n , …., an = 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles Rmin(k) de hauteurs f (ak), qui ne « dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles Rmax(k) de hauteurs f (ak+1), qui « dépassent » la courbe.
On appelle Un la somme des aires des rectangles Rmin(k) et Vn la somme des aires des rectangles Rmax(k) , pour k variant de 0 à n – 1.
1. Calculer U4 et V4 .
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…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer Un et Vn en fonction n.
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...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.
...
...
...
5. Etablir par récurrence que :
∑
k=1 nk2=n(n+1)(2n+1) 6
...
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6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.
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Cours n°1
Chapitre n°8: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1
Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df désigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
On appelle intégrale de f entre a et b …... de df.
Ce nombre est noté
∫
a b
f (x)dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4 x + 2 et cf sa représentation
graphique. Déterminer
∫
2 6
f (x)dx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)=
∫
a x
f (t)dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est …...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f
est strictement croissante et positive sur [a ; b].
P S R Q
On définit : F(x)=
∫
a
f (t)dt
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité T(h)= F(x0 + h) – F(x0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x0) et f(x0 + h), les aires de MNPS et de MNQR.
…...
…...
4. En déduire un encadrement de T(h) h .
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, telle que F' = f.
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.
...
...
Exemple n°3
Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ ; 3[ par F(x)=2x−4
3−x est une primitive de f définie sur ]–∞ ; 3[ par f (x)= 2
(3−x)2 .
...
...
...
...
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques)
Exercice n°5 Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Ex.54 p.179
Résultats ou indices
Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.
Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.
Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.
Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.
Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x3 ; 1
2 x2 ; 1 2 x2 + 1
3 x3 Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x4 ; 7x ; 1
4 x4. Ex.7 (7 p.176) : … – 1.
Ex.8 (14 p.176) : / Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8
Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].
Ex.12** (Approfondissement p.187)
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail à faire pour la prochaine fois :
Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...
* Je veux repasser le contrôle n°...
Travail à faire pour la prochaine fois :
Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
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* Je veux repasser le contrôle n°...
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Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…
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