∫ ∫ Cours n°1 Chapitre n°17 : Calcul intégral Partie 2Objectifs :

(1)

Chapitre n°17 : Calcul intégral Partie 2 Objectifs :

Niveau C17.

a

1 Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

C17.

b

1 Savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.

Cours n°1

I) Propriétés des primitives

Propriété n°1 (Lien entre les primitives)

Soient deux primitives

F

1 et

F

2 d'une même fonction

f

. Alors

F

1

(x) – F

2

(x) = ….

,

…...

^.

Démonstration

Avec les mêmes notations que dans la propriété, on a :

F

1'

(x) =...

et

F

2'

(x) =...

Donc

F

1'

(x) – F

2'

(x) = …....

Donc

F

1

(x) – F

2

(x) = …... , …...

Propriété n°2 (Condition d'unicité de la primitive)

Soient

x

0 et

y

0 deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction

f

déﬁnie et continue sur

I

, il en existe une seule qui vériﬁe la

condition ...

.

II) Relation entre intégrales et primitives Définition n°2

Soit

f

une fonction continue sur

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors on pose

∫

a b

f (t)dt

=... –

…... noté aussi [F(t)]_a^b

Exemple n°1

Soit

f(x)=x

³

– cos(x)

. Calculer I=

∫

0 3

f (t)dt .

...

(2)

...

III) Relation de Chasles Propriété n°4 (admis)

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

a

,

b

, et

c

sont trois réels appartenant à

I

. Alors :

∫

a b

f (t)dt

+ ∫

b c

f (t)dt =...…

∫

a b

f (t)dt +

∫

a b

g(t)dt = ……….….

Propriété n°5 (admis)

Soit

f

et

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

.

Si

f(x)>g(x)

sur

I

, alors ... … ...

VI) Intégrale et aire Propriété n°12

f

est une fonction continue et négative sur un intervalle

I=[a;b]

. Soit c sa courbe représentative. Alors l'aire du domaine situé entre c et l'axe des

abscisses, sur l'intervalle

I

est …...

Exemple n°8

Soit

f

la fonction définie par

f(x)=(x – 1)(x – 3)

. Déterminer l'aire délimitée par les droites

x=0

,

x=4

,

y=0

et la courbe représentative de

f

.

...

(3)

...

Exemple n°9

Soit

I = ∫

0 1 e^2t

1+e^2tdt et

J = ∫

0

1 1

1+e^2tdt

. a. Calculer

I

.

b. Calculer

I + J

. c. En déduire

J

.

...

...…

Se tester n°1 - C17.1 (/4)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C12.a ¹ Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Exercice n°1

[4 pts]

(4)

Soit

f

f(x)=(x – 4)(x –8)

x = 0

,

x =9

,

y = 0

f

.

...

(5)

Indices et résultats Ex.1 : 679

3

Interrogation n°1 Objectifs :

C17.a_Niv1 : R.O.C : démonstration de l'existence de primitives.

C17.b_Niv1 : Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Exercice n°1

Ex.93 p.182

Exercice n°2

Dans chaque cas, exprimer l'aire du domaine colorié sous la forme d'une intégrale.

(On ne demande pas de calculer l'intégrale).

Exercice n°3*

Calculer les intégrales suivantes : a.

I = ∫

−1 4

(t−1)²dt b.

J =

∫

0

π e^cos⁽^t⁾

sin

(t)dt

c.

∫

1

2 1

(2t−1)²dt d.

∫

1 2 2 t²−1

t dt

Exercice n°4*

Calculer les intégrales suivantes : a.

I = ∫

√2

√3

t

√

^t²⁻¹^dt ^b.

^{J =} ∫

−2 1

u(u²−1)²du

c.

∫

−4

−3 t+1

(t²+2t)²dt d.

∫

−1 1

e^t−e^tdt

Exercice n°5*

Ex.32 p.177

Exercice n°6*

Ex.30 p.177

(6)

Activité d’approche n°1

Soit

f

la fonction définie sur l’intervalle

[-1;1,5]

par

f(x)=x

³

– x + 2.

On cherche à déterminer le rectangle qui aura pour aire l’aire sous la courbe de cette fonction, entre -1 et 1,5 :

(7)

1. Calculer l’aire

A

sous la courbe, entre -1 et 1,5.

………

2. Quelle doit-être la valeur de la hauteur du rectangle pour l’aire de ce rectangle soit égale à

A

?

………

3. D’une manière plus générale, si

A

est l’aire sous la courbe d’une fonction

f

entre

a

et

b

, comment calculer la hauteur du rectangle ayant la même aire que

A

?

………

Cette valeur est appelée valeur moyenne de

f

entre

a

et

b

.

Cours n°2

I) Valeur moyenne Définition n°1

Soit

f

une fonction continue sur un intervalle

[a;b]

. On appelle valeur moyenne de la fonction

f

sur l'intervalle

[a;b]

le nombre

M

défini par :

(8)

M =………...

Exemple n°1

Calculer la valeur moyenne sur

[0;2]

de la fonction

f

définie par :

f(x)=3x

²

+ 1

.

...

Se tester n°1 - C17.1 (/4)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C12.a ¹ Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Exercice n°1

[4 pts]

Soit

f

f(x)=(x – 4)(x –7)

x = 0

,

x =8

,

y = 0

f

.

...

(9)

...

(10)

Indices et résultats Ex.1 : 419

3

Interrogation n°1 Objectifs :

C17.c_Niv1 : Savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle.

Exercice n°7

Ex.37 p.177

Exercice n°8

Ex.36 p.177

Exercice n°9

Ex.113 p.184

Exercice n°10

Ex.115 p.184

Exercice n°11**

Sujet D p.192

Exercice n°12**

Sujet E p.192

Exercice n°13**

Ex.150 p.193

Exercice n°14**

Ex.151 p.193

Exercice n°15*

Ex.34 p.177

Exercice n°16**

Ex.102 p.183

Exercice n°17***

Sujet A p.191

Exercice n°18***

Ex.153 p.194

(11)

Indices et résultats

Ex.1(93 p.176) : 1.

I=

¹

2

ln 3

. 2.

I + J = 1

. 3.

J = 1–

¹

2

ln 3

. Ex.2 : 1.

∫

0 3

g(t)−f (t)dt 2.

∫

−1 0

g(t)−f (t)dt

+ ∫

0 1

f (t)−g(t)dt

3.

∫

−2 0

f (t)−g(t)dt

+ ∫

0 1

g(t)−f (t)dt 4.

∫

−1 1

−f (t)dt

+ ∫

1 2

f (t)dt

Ex.3 : Dans le désordre : 8 3 ; 15

8

–2 ln 2

; 1 3 ;

0.

Ex.4 : Dans le désordre : 1 e

1 e

− 1

e^e ; √2−1 ; −9 2 ; −5

48 .

Ex.5(32 p.177) :1. 2.a. 4 2.b.4 2.c. 4 cm².

Ex.6(30 p.177) : Indications :

∫

n

n+1 1

n+1dt= 1 n+1

∫

n n+1

dt= 1

n+1^[t]_nⁿ⁺¹= 1 n+1

Ex.n°7 (Ex.37 p.177) : 1.

f

est décroissante sur [-1;1]. 2.

e – e

^-1. 3.a. 1

2

(e – e

^-1

)

3.b.

La valeur moyenne est a hauteur du rectangle

MLKN

. Ex.n°8 (Ex.36 p.177) : 1. 4 2. 1 3. 1

4

(e

²

– e

^-2

)

Ex.n°9 (Ex.113 p.184) : 1. 1

9

(e

¹²

– e

³

)

2.

18 082

. Ex.n°10 (Ex.115 p.184) :

V= b+a+3 =

^f ⁽^a⁾⁺₂ ^f⁽^b⁾ .

Ex.n°11** (Sujet D p.192) : 1.a.

F

1

(x) = 4 ln(e

^x

+ 7)

1.b. 4

ln

⁷

(ln14 – ln8)

. 2.

f

n

(0) = 0,5

∀

^{pour tout}

n

. 3.a.

x = ln

⁷

n . 4.

u

n

= m

.

Ex.n°12** (Sujet E p.192) : 1.a.

f '(x) =

¹⁻

ln

(x+3)

(x+3⁾² 1.b. lim

x→∞

f(x)=0 1.c.

f'(x)<0....

2.a.

n<x<n+1 et f

est décroissante... 2.b. Intégrer les inégalités... 2.c. Théorème des gendarmes... 3.a.

F'(x) = 2 f(x).

3.b.

I

n

=

¹₂

[(ln(n+3))

²

– (ln 3)

²

]

4.a. Relation de Chasles... 4.b. lim

n→∞ S_n=+∞ .

(12)

Ex.n°13** (Ex.150 p.193) : 1.a.

f

est croissante sur

]–∞;0]

et décroissante ailleurs.

1.b. le maximum de

f

est

1

. 1.c.

2.a.

F(x)

est une aire. 2.b.

F

est croissante sur R. 2.c.

2.d. √2

π

2

Ex.n°14** (Ex.151 p.193) : 1.a.

f

est décroissante sur

]–∞;0]

et croissante ailleurs. 1.b.

2.

S(a)=

^e^a^−e^−a

2 . 3. Factoriser ou développer...

4.

L= ∫

0 2

√

⁽^f ⁽^x⁾⁾²^dx

^{= S(2).}

Ex.15(34 p.177) : 1. 2.a.1 2

Ex.16(102 p.183) : 1.a. croissante sur R^-, décroissante sur R⁺. 1.b.

–

2.b.

+

3.b.

g(n)

≥ J

n

≥ g(n+1)

3.d.

0

.

Ex.17(Sujet A p.191) : Partie A : cf p.172 Partie B : 1.a.

+ ∞

1.b.

f

1 est croissante sur R⁺. 2.b.

I

1

=2 ln 2 – 1

. 3.a. Indications : sur

[0;1]

,

0 ≤ x

ⁿ

≤ 1....

3.b. décroissante.

3.c.

0.

Ex.18(153 p.194) : Partie A :

∫

a b

f '(t)dt=f(b)−f (a) Partie B 3.c.

1

Partie C 1.

I =

¹

4

e

²

+

¹

4

;

J = –2

;

K = 1

2.

L = e – 2

;

M = π

²

– 4

;

N =

⁽⁻¹⁾^–^e^π

2 .

(13)

(14)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

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* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

--- TRAVAIL PERS. (2 travaux min.+ résumé de cours) : - Chap n°… , Activité n°…, : Question n° : … / … / … - Chap n°… , Cours n°… : Exemple n° : … / … / … - Chap n° … , Résumé du Cours n° : ...

- Chap n°… , Se tester du Cours n°… Ex. n° : … / … / - Chap n°…, Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

- Chap n°…, Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

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(15)