Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3 Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j )d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b.
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b]. c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].
Soit c un réel positif tel que, pour tout
x appartenant à [a;b], f(x)=c.
a. Déterminer l’aire a du domaine df en cm².
...
...
...
On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a =
∫
a b
f (x)dx .
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].
a. Déterminer l’aire a du domaine
df en cm².
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x2. On veut déterminer a =
∫
0 1
f (x)dx 1. De quel domaine s'agit-il ?
...
...
...
...
2. En utilisant le quadrillage de la figure ci-contre, donner un
encadrement de a en
« petits carreaux ».
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
...
...
...
...
...
4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul.Les bornes des intervalles sont appelées a0 = 0, a1 = 1
n , a2
= 2
n ,... , ak = k
n , …., an = 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles Rmin(k) de hauteurs f (ak), qui ne « dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles Rmax(k) de hauteurs f (ak+1), qui « dépassent » la courbe.
On appelle Un la somme des aires des rectangles Rmin(k) et Vn la somme des aires des rectangles Rmax(k) , pour k variant de 0 à n – 1.
1. Calculer U4 et V4 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer Un et Vn en fonction n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.
...
...
...
...
5. Établir par récurrence que :
∑
k=1 nk2= n(n+1) (2n+1) 6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1
Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df désigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
On appelle intégrale de f entre a et b …... de df. Ce nombre est noté
∫
a b
f (x)dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4 x + 2 et cf sa représentation graphique. Déterminer
∫
2 6
f (x)dx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°1 - C9.1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 (/4) :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4x + 1 et cf sa représentation
graphique. Déterminer géométriquement
∫
2 6
f (x)dx
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C9.a_Niv1 :savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)=
∫
a x
f (t)dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est
…...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f
est strictement croissante et positive sur [a ; b]. On définit : F(x)=
∫
a x
f (t)dt
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité
T(h)= F(x0 + h) – F(x0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x0) et f(x0 + h), les aires de MNPS et de MNQR.
…...
…...
a x
0 x
0+h
M N
P S R Q
...
4. En déduire un encadrement de T(h) h .
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, telle que F' = f.
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.
...
...
...
Exemple n°3 :
Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ ; 3[ par F(x)=2x−4
3−x est une primitive de f définie sur ]–∞ ; 3[ par f (x)= 2
(3−x)2 .
...
...
...
...
Se Tester n°2 - C9.2 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f.
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par :
f(x)=2 +3.
...
...
...
Exercice n°2 (/2) :
Démontrer que la fonction F définie par 4x+1
3−x est une primitive de la fonction f
définie par f(x)= 21
(4−x)2
...
...
......
...
...
Interrogation n°2 Objectifs :
C9.b_Niv1 :savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f.
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques) Exercice n°5
Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Ex.54 p.179
Résultats ou indices
Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.
Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.
Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.
Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.
Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x3 ; 1
2 x2 ; 1 2 x2 +1
3 x3
Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x4 ; 7x ; 1 4 x4. Ex.7 (7 p.176) : … – 1.
Ex.8 (14 p.176) : /
Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8
Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].
Ex.12** (Approfondissement p.187)
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3 Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j )d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b.
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b]. c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].
Soit c un réel positif tel que, pour tout
x appartenant à [a;b], f(x)=c.
a. Déterminer l’aire a du domaine df en cm².
...
...
...
On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a =
∫
a b
f (x)dx .
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].
a. Déterminer l’aire a du domaine
df en cm².
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x2. On veut déterminer a =
∫
0 1
f (x)dx 1. De quel domaine s'agit-il ?
...
...
...
...
2. En utilisant le quadrillage de la figure ci-contre, donner un
encadrement de a en
« petits carreaux ».
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
...
...
...
...
...
4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul.Les bornes des intervalles sont appelées a0 = 0, a1 = 1
n , a2
= 2
n ,... , ak = k
n , …., an = 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles Rmin(k) de hauteurs f (ak), qui ne « dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles Rmax(k) de hauteurs f (ak+1), qui « dépassent » la courbe.
On appelle Un la somme des aires des rectangles Rmin(k) et Vn la somme des aires des rectangles Rmax(k) , pour k variant de 0 à n – 1.
1. Calculer U4 et V4 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer Un et Vn en fonction n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.
...
...
...
...
5. Établir par récurrence que :
∑
k=1 nk2= n(n+1) (2n+1) 6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1
Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df désigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
On appelle intégrale de f entre a et b …... de df. Ce nombre est noté
∫
a b
f (x)dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4 x + 2 et cf sa représentation graphique. Déterminer
∫
2 6
f (x)dx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°1 - C9.1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 (/4) :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4x + 2 et cf sa représentation
graphique. Déterminer géométriquement
∫
2 6
f (x)dx
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C9.a_Niv1 :savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)=
∫
a x
f (t)dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est
…...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f
est strictement croissante et positive sur [a ; b]. On définit : F(x)=
∫
a x
f (t)dt
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité
T(h)= F(x0 + h) – F(x0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x0) et f(x0 + h), les aires de MNPS et de MNQR.
…...
…...
a x
0 x
0+h
M N
P S R Q
...
4. En déduire un encadrement de T(h) h .
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, telle que F' = f.
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.
...
...
...
Exemple n°3 :
Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ ; 3[ par F(x)=2x−4
3−x est une primitive de f définie sur ]–∞ ; 3[ par f (x)= 2
(3−x)2 .
...
...
...
...
Se Tester n°2 - C9.2 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f.
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par :
f(x)=-5x -2.
...
...
...
Exercice n°2 (/2) :
Démontrer que la fonction F définie par 6x+5
7−x est une primitive de la fonction f
définie par f(x)= 56
(6−x)2
...
...
......
...
...
Interrogation n°2 Objectifs :
C9.b_Niv1 :savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f.
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques) Exercice n°5
Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Ex.54 p.179
Résultats ou indices
Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.
Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.
Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.
Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.
Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x3 ; 1
2 x2 ; 1 2 x2 +1
3 x3
Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x4 ; 7x ; 1 4 x4. Ex.7 (7 p.176) : … – 1.
Ex.8 (14 p.176) : /
Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8
Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].
Ex.12** (Approfondissement p.187)
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
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Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations :
C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
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Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗i , ⃗j )d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b.
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b]. c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b].
Soit c un réel positif tel que, pour tout
x appartenant à [a;b], f(x)=c.
a. Déterminer l’aire a du domaine df en cm².
...
...
...
On appelle a l’intégrale de f entre a et b et on note : a =
∫
a b
f (x)dx .
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b].
a. Déterminer l’aire a du domaine
df en cm².
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et xM son abscisse. Soit F la fonction qui à xM associe l'aire du domaine dM délimité par le segment [DM], l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=xM . Exprimer F(xM)).
...
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à xM. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x2. On veut déterminer a =
∫
0 1
f (x)dx 1. De quel domaine s'agit-il ?
...
...
...
...
2. En utilisant le quadrillage de la figure ci-contre, donner un
encadrement de a en
« petits carreaux ».
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
...
...
...
...
...
4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul.Les bornes des intervalles sont appelées a0 = 0, a1 = 1
n , a2
= 2
n ,... , ak = k
n , …., an = 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles Rmin(k) de hauteurs f (ak), qui ne « dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles Rmax(k) de hauteurs f (ak+1), qui « dépassent » la courbe.
On appelle Un la somme des aires des rectangles Rmin(k) et Vn la somme des aires des rectangles Rmax(k) , pour k variant de 0 à n – 1.
1. Calculer U4 et V4 .
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer Un et Vn en fonction n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.
...
...
...
...
5. Établir par récurrence que :
∑
k=1 nk2= n(n+1) (2n+1) 6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°9: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1
Soit une fonction f définie et positive sur [a;b].
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗i , ⃗j ).
df désigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
On appelle intégrale de f entre a et b …... de df. Ce nombre est noté
∫
a b
f (x)dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
4 x + 2 et cf sa représentation graphique. Déterminer
∫
2 6
f (x)dx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°1 - C9.1 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 (/4) :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
9x + 6 et cf sa représentation
graphique. Déterminer géométriquement
∫
2 6
f (x)dx
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C9.a_Niv1 :savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)=
∫
a x
f (t)dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est
…...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f
est strictement croissante et positive sur [a ; b]. On définit : F(x)=
∫
a x
f (t)dt
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité
T(h)= F(x0 + h) – F(x0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x0) et f(x0 + h), les aires de MNPS et de MNQR.
…...
…...
a x
0 x
0+h
M N
P S R Q
...
4. En déduire un encadrement de T(h) h .
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F, dérivable sur I, telle que F' = f.
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4.
...
...
...
Exemple n°3 :
Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ ; 3[ par F(x)=2x−4
3−x est une primitive de f définie sur ]–∞ ; 3[ par f (x)= 2
(3−x)2 .
...
...
...
...
Se Tester n°2 - C9.2 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C9.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f.
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par :
f(x)=-9x +7.
...
...
...
Exercice n°2 (/2) :
Démontrer que la fonction F définie par 9x+3
5−x est une primitive de la fonction f
définie par f(x)= 72
(9−x)2
...
...
......
...
...
Interrogation n°2 Objectifs :
C9.b_Niv1 :savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f.
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques) Exercice n°5
Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Ex.54 p.179
Résultats ou indices
Ex.1 (2 p.176) : 1. f(x)=x. 2. 3. 4,5.
Ex.2 (4 p.176) : 1. 2. 2/3.
Ex.3 (38 p.178) : 1. 2.6 et 4.
Ex.4 (39 p.178) : 1. 2. I=2 et J=1,5.
Ex.5 (5 p.176) : dans le désordre : 1 3 x3 ; 1
2 x2 ; 1 2 x2 +1
3 x3
Ex.6 (6 p.176) : dans le désordre : 7x – 2x4 ; 7x ; 1 4 x4. Ex.7 (7 p.176) : … – 1.
Ex.8 (14 p.176) : /
Ex.9 (17 p.176) : 4;8;4;7 Ex.10 (20 p.176) : 8
Ex.11 (54 p.179) : décroissante sur ]- ∞ ;-4].
Ex.12** (Approfondissement p.187)
