Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3Objectifs :

(1)

Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3 Objectifs :

Niveau a eca n

C11.a ¹ Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées et de conditions initiales.

C11.b ¹ R.O.C : démonstration de l'existence de primitives C11.c ¹ Connaître et utiliser le tableau des primitives

des fonctions usuelles.

C11.d ¹ Savoir déterminer l'intégrale d'une fonction.

C11.e ¹ Connaître le tableau des primitives usuelles et savoir l'utiliser.

C11.f ¹ Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Cours n°1

I) Primitive

Propriété n°1 (admise)

Toute fonction continue sur un intervalle [a;b] (donc un intervalle fermé) est bornée et atteint ses bornes.

Définition n°1

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I .

Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que

…... = …...

Exemple n°1 :

Soit f : x → 4x ² . Déterminer une primitive de f.

...

Exemple n°2

Soient φ(x) = (x ² – 4x + 6)e ^x et ψ(x)=(x ² – 2x + 2)e ^x . Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

(2)

Propriété n°2 (liste des primitives usuelles)

Fonction Primitive Domaine de

validité

f(x) = k (k ∈ R ) F(x)=... + ... ...

f(x) = $k x ⁿ $ (k ∈ R , n ∈ Z \{- 1})

F(x)= ...

... + ...

...

f(x)= ^k

x = $ k x ^-1 $ (k ∈ R )

F(x)=... + ... ...

f(x)= k e x (k ∈ R ) F(x)=... + ... ^...

f(x) = ^k

√ ^x ⁼ ^$ ^{k x}

-1/2 $ (k ∈ R )

F(x)= ...+ ... ...

..

f(x) = k cos (x) (k ∈ R ) F(x)=... + ... ^...

f(x) = k sin (x) (k ∈ R ) F(x)=... + ... ^...

Exemple n°3

Calculer des primitives des fonctions suivantes :

f(x) = 3x ² + 2x ³ – 5 ; g(x)= ⁵

x + 4 ; h(x) = ² x ² + ⁶

√ ^x ; j(x) = 3e ^x – cos(x) +4sin(x)

...

II) Propriétés des primitives

Propriété n°3 (existence de primitives)

Toute fonction continue sur un intervalle I admet …... primitives sur I .

Démonstration [R.O.C]

(3)

Soit f une fonction continue sur [a;b] et m son minimum (la propriété n°... prouve son existence).

On pose φ(x) = f(x) – m .

f(x)  m . Donc f(x) – m...

On peut donc définir Φ (x) = ∫

a x

φ (t ) dt , et Φ' (x) =...

Soit F : x → …...

Alors F'(x)=... = f(x).

Propriété n°4 (Lien entre les primitives)

Soient deux primitives F 1 et F 2 d'une même fonction f . Alors F 1 (x) – F 2 (x) = …. ,

…... .

Démonstration

Avec les mêmes notations que dans la propriété, on a :

F 1 ' (x) =... et F 2 ' (x) =...

Donc F 1 ' (x) – F 2 ' (x) = …....

Donc F 1 (x) – F 2 (x) = …... , …...

Propriété n°5 (Condition d'unicité de la primitive)

Soient x 0 et y 0 deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et continue sur I , il en existe une seule qui vérifie la

condition ... . Démonstration

Existence :

Soit G une primitive de f . Posons F(x)=G(x) – G(x 0 ) + y 0 .

D'après la propriété précédente, F est …...

De plus F(x 0 )=...=...

Unicité :

Soient F 1 et F 2 deux primitives de f telles que F 1 (x 0 ) =... et F 2 (x 0 ) =...

Alors F 1 (x) – F 2 (x) = …...., …...

Pour x = x 0 : …... Donc k = ….

Donc …...

Exemple n°4

Calculer les primitives demandées :

a. F est une primitive de f(x) = 3x ² + 2x ³ – 5 telle que F(3)=0 ; b. G est une primitive de g(x)= ⁵

x + 4 telle que G(1)=2 ; c. H est une primitive de h(x) = ²

x ² + ⁶

√ ^x telle que H(1)=1

d. J est une primitive de j(x) = 3e ^x – cos(x) +4sin(x) telle que J(0)=0.

...

(4)

...

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Interrogation n°1 Objectifs :

C11.a_Niv1 : Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées et de conditions initiales.

C11.b_Niv1 : R.O.C : démonstration de l'existence de primitives.

C11.c_Niv1 : Connaître et utiliser le tableau des primitives des fonctions usuelles.

Exercice n°1

Ex.5 p.176

Exercice n°2

Ex.6 p.176

Exercice n°3*

Ex.49 p.179

Exercice n°4*

Ex.56 p.179 et Ex.57 p.179

Cours n°2

III) Relation entre intégrales et primitives

Propriété n°6 : Lien entre intégrale et primitive d'une f°

positive

Soit f une fonction continue et positive sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b] . Alors ∫

a b

f (t ) dt =... – …... noté aussi [ F ( t )] _a ^b

Démonstration

Voir chapitre 8.

Exemple n°5

Soit f(x)=x ³ . Calculer I = ∫

0 3

f (t ) dt .

...

(5)

...

Définition n°2

Soit f une fonction continue sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b] . Alors on pose

∫

a b

f (t ) dt =... – …... noté aussi [ F (t )] _a ^b

Exemple n°6

Soit f(x)=x ³ – cos(x) . Calculer I = ∫

0 3

f (t ) dt .

...

IV) Primitives et opérations

Dans la suite, f est une fonction continue sur un intervalle I . F désigne une primitive de f sur cet intervalle. D F désigne le domaine de définition de F .

De même, u et v sont des fonctions continues et U et V sont des primitives respectives de u et v .

Propriété n°7 : Additions et soustractions

a. Si f = u + v , alors F= …. + ….. où

…...

b. Si f = u – v , alors F= …. – ….. où

…...

Démonstration

...

Propriété n°8 : Non compatibilité du produit et du quotient

a. Si f = u × v , alors …. × ….. …...

b. Si f = ^u

v ^{, alors} ....

.... . …...

Démonstration

...

Propriété n°9 : Primitives particulières

On nomme u la dérivée de U (ou U une primitive de u ).

(6)

a. Si f est de la forme f = ...U ⁿ , n ∈ N, alors F = ¹

... ^…... ^, D F = I . b. Si f est de la forme f = ^...

U ⁿ ^, n ∈ N, n ≥ 2 , alors F = – ¹ ...

1 ... ^, D F = I\{0}

c. Si f est de la forme f = ^...

U ^{, alors} F = …... , D F = I\{x tel que U(x)<0}

d. Si f est de la forme f = ^...

√ ^U ^{, alors} F = …... , D F = I\{x tel que U(x)<0}

e. Si f est de la forme f = ...e ^U , alors F = …... , D F = I Démonstration

...

...………

...

...……….

Exemple n°7

Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.

f(x) = (2x – 1) ³ sur R ; h(x) = ¹

(2 x− 1) ² ^sur I =$ ] /f{1;2} \; + ∞ [ $ ; g(x) = ^x

x ² −1 ^sur I = ] 1; +∞[ .

...

(7)

...

...……….

...

...………..

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Interrogation n°2 Objectifs :

C11.d_Niv1 : Savoir déterminer l'intégrale d'une fonction.

C11.e_Niv1 : Connaître le tableau des primitives usuelles et savoir l'utiliser.

Exercice n°5

Ex.11 p.176

Exercice n°6

Ex.12 p.176

Exercice n°7*

Ex.65 p.180 et 66 p.180

Exercice n°8*

Ex.68 p.180 et 69 p.180

Exercice n°9*

Ex.71 p.180 et 73 p.180

Cours n°3

V) Relation de Chasles Propriété n°10

f est une fonction continue sur un intervalle I . a , b , et c sont trois réels appartenant à

I . Alors :

∫

a b

f (t )dt + ∫

b c

f (t )dt =...

Démonstration

(8)

Soit F une primitive de f sur I . Alors ∫

a b

f (t ) dt =..., ∫

b c

f (t )dt =... et

...

Propriété n°11 (admis)

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I .

Si f(x)>g(x) sur I , alors ... … ...

VI) Intégrale et aire Propriété n°12

f est une fonction continue et négative sur un intervalle I=[a;b] . Soit c sa courbe représentative. Alors l'aire du domaine situé entre c et l'axe des

abscisses, sur l'intervalle I est …...

Démonstration

Soit g(x) = – f(x).

...

Exemple n°8

Soit f la fonction définie par f(x)=(x – 1)(x – 3) . Déterminer l'aire délimitée par les

droites x=0 , x=4 , y=0 et la courbe représentative de f .

(9)

...

Exemple n°9

Soit I = ∫

0 1 e ^2t

1+e ² ^t dt et J = ∫

0 1 1

1+e ² ^t dt . a. Calculer I .

b. Calculer I + J . c. En déduire J .

...

(10)

...

...…

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Interrogation n°3 Objectifs :

C11.f_Niv1 : Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Exercice n°10

Ex.93 p.182

Exercice n°11

Dans chaque cas, exprimer l'aire du domaine colorié sous la forme d'une intégrale.

(On ne demande pas de calculer l'intégrale).

Exercice n°12*

Calculer les intégrales suivantes : a. I = ∫

− 1 4

(t − 1) ² dt b.

J = ∫

0 π

e ^cos(t) sin (t ) dt

c. ∫

1 2 1

(2 t−1) ² dt d. ∫

1 2 2 t ² −1

t dt

Exercice n°13*

Calculer les intégrales suivantes : a. I = ∫

√ 2

√ 3

t

√ ^t ² ⁻¹ ^dt ^b. ^{J =} ^∫ ⁻ ²

1 u(u ² − 1) ² du c. ∫

−4

− 3

t +1

(t ² + 2 t ) ² dt d. ∫

− 1 1

e ^t− ^e

^t

dt

Exercice n°14*

Ex.32 p.177

Exercice n°15*

Ex.30 p.177

(11)

Exercice n°16*

Ex.34 p.177

Exercice n°17**

Ex.102 p.183

Exercice n°18***

Sujet A p.191

Exercice n°19***

Ex.153 p.194

(12)

Indices et résultats

Ex.1(5 p.176) : F(x) = ¹

2 x ² ; G(x) = ¹

3 x ³ ; H(x) = ¹

2 x ² + ¹ 3 x ³

Ex.2(6 p.176) : F(x) = 7x ; G(x) = ¹

4 x ⁴ ; H(x) = 7x – 2x ⁴ .

Ex.3(49 p.179) : 1.a. F(2) représente l'aire sous la courbe représentative de la fonction inverse entre les droites d'équation x=1 et x=2 . b. F(2)<F(3) 2. F'(x)= ¹

x ^3.a.

F est croissante sur [1;+ ∞[ .

Ex.4(56&57 p.179) : Ex56 : 1.Calculer F'(x) . 2. F 1 (x) = x ln x – x + 1. Ex57 : 1.Calculer

F'(x) . 2. F(x) = (x+1) ln (x+1) – x .

Ex.5(11 p.176) : F(x) = sin x – cos x et F(x) = ¹

3 sin(3x) .

Ex.6(12 p.176) : 1. F(x) = e ^x² et G(x) = e ^x²-x 2. F(x) = e ^x² – 1 et G(x) = e ^x²-x – 1 . Ex.7(65&66 p.176) : Ex65 : F(x) = 2x ³ + 11 lnx , G(x) = ¹¹

2 x ² − 3x ⁻¹ et H(x) = – ⁷ 3 ^. Ex.8(68&69 p.176) : Ex68 : F(x) = – ¹

2 e ^-x², , G(x) = ln(x ² + 1) et H(x) = 4 √ ² ^x ² ⁺¹ ^{Ex69 :}

F(x) = ¹

12 (x ² + 2x) ⁶ , G(x) = ³

10 (x ² – 5) et H(x) = – ¹

6 (x ² – 5) ^-3 .

Ex.9(71&73 p.176) : Ex71 : 1. F'(x) = 2x ln x + x – x = f(x) 2. G(x) = x ² ln x – x ² . 3. G 1 (x)

= x ² ln x – x ² +1 . Ex73 : 1. f(x) = x ² – x + 3 + ^x

x ² + 1 ^2. F(x)= ¹ 3 x ³ – ¹

2 x ² + 3x + ¹

2 ln(x ² + 1) . 3. G(x) = F(x) – 1 .

Ex.10(93 p.176) : 1. I= ¹

2 ln 3 . 2. I + J = 1 . 3. J = 1– ¹ 2 ln 3 . Ex.11 : 1. ∫

0 3

g (t )− f ( t) dt 2. ∫

− 1 0

g (t )− f (t ) dt + ∫

0 1

f (t )−g ( t) dt 3. ∫

−2 0

f ( t)−g (t ) dt +

∫

0 1

g (t )− f (t ) dt 4. ∫

− 1 1

− f (t ) dt + ∫

1 2

f (t ) dt Ex.12 : Dans le désordre : 8

3 ^; 15

8 –2 ln 2 ; 1 3 ^; 0.

Ex.13 : Dans le désordre : 1 e

1 e

− 1

e ^e ^; √ ²⁻¹ ^; ⁻ ₂ ⁹ ^; ⁻ ₄₈ ⁵ ^.

Ex.14(32 p.177) :1. 2.a. 4 2.b.4 2.c. 4 cm².

(13)

Ex.15(30 p.177) : Indications : ∫

n

n+1 1

n+ 1 dt = 1 n+1 ∫

n n+1

dt= 1

n+ 1 [t ] _n ⁿ⁺¹ = 1 n+1

Ex.16(34 p.177) : 1. 2.a. 1 2

Ex.17(102 p.183) : 1.a. croissante sur R ^- , décroissante sur R ⁺ . 1.b. – 2.b. + 3.b. g(n) ≥ J n ≥ g(n+1) 3.d. 0 .

Ex.18(Sujet A p.191) : Partie A : cf p.172 Partie B : 1.a. + ∞ 1.b. f 1 est croissante sur R ⁺ . 2.b. I 1 =2 ln 2 – 1 . 3.a. Indications : sur [0;1] , 0 ≤ x ⁿ ≤ 1.... 3.b. décroissante. 3.c.

0. Ex.19(153 p.194) : Partie A : ∫

a b

f ' (t ) dt= f (b)− f (a ) Partie B 3.c. 1 Partie C 1. I = ¹ 4 e ² + ¹

4 ^; J = –2 ; K = 1 2. L = e – 2 ; M = π ² – 4 ; N = ⁽⁻ ¹⁾ ^– ^e ^π

2 ^.

(14)

(15)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C. ;C. ;C. ;C. ;C. ;C.

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n° : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°

Cours n° : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

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* Je veux repasser les interrogations :

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* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n° : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°

Cours n° : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°

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Date d’aujourd’hui : ...

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Se tester C. : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n° : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°

Cours n° : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°

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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n° : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°

Cours n° : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°

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Cours n° : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°

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