Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3

(1)

Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3

Objectifs :

1. Primitive d'une f° continue sur un intervalle :

→ Savoir déterminer des primitives des f° usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

[une primitive F de la fonction continue et positive f étant connue, on a ∫

a b

f (t )dt =F(b) – F(b)].

2. Primitives de u'e

^u

et u'u

ⁿ

.

→ Savoir déterminer les primitives de u'e

^u

, u'u

ⁿ

, n entier relatif ≠ -1, u '

√ ^u u strictement positive, et u ' u ^u

strictement positive.

3. Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque :

→ Savoir calculer une intégrale, savoir utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire.

[La formule ∫

a b

f (t ) dt =F(b) – F(b) est généralisée à une fonction continue de signe quelconque].

4. Linéarité, positivité, relation de Chasles

5. Connaître le théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

[On peut démontrer ce théorème dans le cas d'un intervalle fermé borné, en admettant que la fonction a un minimum – cas général admis – faire remarquer que certaines f° n'ont pas de primitive explicite : exp(-x²)]

Cours n°1

I) Primitive

Propriété n°1 (admise)

Toute fonction continue sur un intervalle [a;b] est bornée et atteint ses bornes.

Définition n°1

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.

Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que

…... = …...

Exemple n°1 :

Soit f : x → 4x ² . Déterminer une primitive de f.

...

(2)

2/15 T.S. 2015 – Chap.11 : Calcul intégral Partie 2/2

...

Exemple n°2

Soient φ(x) = (x ² – 4x + 6)e ^x et ψ(x)=(x ² – 2x + 2)e ^x . Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

Propriété n°2 (liste des primitives usuelles)

Fonction Primitive Domaine de

validité f(x) = k (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k x ⁿ (k ∈ R, n ∈ N)

F(x)= ...

... + ...

...

f(x) = k

x ⁿ (k ∈ R, n ∈ N, n / 2) F(x)= ... ...

... + ...

...

f(x)= k

x (k ∈ R)

F(x)=... + ... ...

f(x)= k e x (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k

√ ^x (k ∈ R)

F(x)= ...+ ... ...

f(x) = k cos (x) (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k sin (x) (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

Exemple n°3

Calculer des primitives des fonctions suivantes : f(x) = 3x ² + 2x ³ – 5 ; g(x)= 5

x + 4 ; h(x) = 2 x ² + 6

√ ^x ; j(x) = 3e ^x – cos(x) +4sin(x)

...

2/15

(3)

...

II) Propriétés des primitives

Propriété n°3 (existence de primitives)

Toute fonction continue sur un intervalle I admet …... primitives sur I .

Démonstration

Soit f une fonction continue sur [a;b] et m son minimum (la propriété n°...

prouve son existence).

On pose φ(x)=f(x) – m .

f(x) / m. Donc f(x) – m...

On peut donc définir Φ(x)= ∫

a x

φ (t ) dt , et Φ'(x)=...

Soit F : x → …...

Alors F'(x)=... = f(x).

Propriété n°4 (Lien entre les primitives)

Soient deux primitives F 1 et F 2 d'une même fonction f. Alors F 1 (x) – F 2 (x) = …. ,

(4)

4/15 T.S. 2015 – Chap.11 : Calcul intégral Partie 2/2

…...

Démonstration

Avec les mêmes notations que dans la propriété, on a : F 1 '

(x) =... et F 2 '

(x) =...

Donc F 1 '

(x) – F 2 '

(x) = …....

Donc F 1 (x) – F 2 (x) = …... , …...

Propriété n°5 (Condition d'unicité de la primitive)

Soient x 0 ∈ I et y 0 deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction f déﬁnie et continue sur I , il en existe une seule qui vériﬁe la condition ...

Démonstration

Existence :

Soit G une primitive de f . Posons F(x)=G(x) – G(x 0 ) + y 0 .

D'après la propriété précédente, F est …...

De plus F(x 0 )=...=...

Unicité :

Soient F 1 et F 2 deux primitives de f telles que F 1 (x 0 ) =... et F 2 (x 0 ) =...

Alors F 1 (x) – F 2 (x) = …...., …...

Pour x = x 0 : …... Donc k = ….

Donc …...

Exemple n°4

Calculer les primitives demandées :

a. F est une primitive de f(x) = 3x ² + 2x ³ – 5 telle que F(3)=0 ; b. G est une primitive de g(x)= 5

x + 4 telle que G(-1)=2 ; c. H est une primitive de h(x) = 2

x ² + 6

√ ^x ; j(x) = 3e ^x – cos(x) +4sin(x) telle que H(0)=0.

...

4/15

(5)

...

Exercice n°1

Ex.5 p.176

Exercice n°2

Ex.6 p.176

Exercice n°3*

Ex.49 p.179

Exercice n°4*

Ex.56 p.179 et Ex.57 p.179

Cours n°2

III) Relation entre intégrales et primitives

Propriété n°6 : Lien entre intégrale et primitive d'une f° positive

Soit f une fonction continue et positive sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b]. Alors ∫

a b

f (t ) dt =... – …... noté aussi [ F (t )] _a ^b

Démonstration

Voir chapitre 8.

Exemple n°5

Soit f(x)=x ³ . Calculer I = ∫

0 3

f (t ) dt .

...

(6)

(7)

...

Définition n°2

Soit f une fonction continue sur [a;b] et F une primitive de f sur [a;b] . Alors on

pose ∫

a b

f (t ) dt =... – …... noté aussi [ F (t )] _a ^b

Exemple n°6

Soit f(x)=x ³ – cos(x). Calculer I = ∫

0 3

f ( t) dt .

...

IV) Primitives et opérations

Dans la suite, f est une fonction continue sur un intervalle I. F désigne une primitive de f sur cet intervalle. D F désigne le domaine de définition de F .

De même, u et v sont des fonctions continues et U et V sont des primitives

respectives de u et v .

Propriété n°7 : Additions et soustractions

a. Si f = u + v , alors F= …. + ….. où …...

b. Si f = u – v , alors F= …. – ….. où …...

Démonstration

...

Propriété n°8 : Non compatibilité du produit et du quotient

a. Si f = u × v , alors …. × ….. …...

(8)

7/15 T.S. 2015 – Chap.11 : Calcul intégral Partie 2/2 b. Si f = u

v , alors ....

.... .…...

Démonstration

...

Propriété n°9 : Primitives particulières

a. Si f est de la forme f = u U ⁿ , n ∈ N, alors F = 1

... …... , D F = I.

b. Si f est de la forme f = u

U ⁿ , n ∈ N, n ≥ 2 , alors F = – 1

...

1 ... , D F = I\

{0}

c. Si f est de la forme f = u

U , alors F = …... , D F = I\{x tel que U(x)<0}

d. Si f est de la forme f = u

√ ^U , alors F = …... , D F = I\{x tel que U(x)<0}

e. Si f est de la forme f = ue ^U , alors F = …... , D F = I

Démonstration

...

7/15

(9)

...

Exemple n°7

Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.

f(x) = (2x – 1) ³ sur R ; h(x) = 1

( 2 x−1) ² sur I = ] ¹ 2 ;+∞ [ ^{; g(x) =} _x ² ^x ₋₁ sur I = ]1; +∞[.

...

(10)

(11)

...

Exercice n°5

Ex.11 p.176

Exercice n°6

Ex.12 p.176

Exercice n°7*

Ex.65 p.180 et 66 p.180

Exercice n°8*

Ex.68 p.180 et 69 p.180

Exercice n°9*

Ex.71 p.180 et 73 p.180

Cours n°3

V) Relation de Chasles Propriété n°10

f est une fonction continue sur un intervalle I. a, b, et c sont trois réels appartenant à I . Alors :

∫

a b

f (t ) dt + ∫

b c

f (t ) dt =...

Démonstration

Soit F une primitive de f sur I .

Alors ∫

a b

f (t ) dt =..., ∫

b c

f (t )dt =... et

...

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Propriété n°11 (admis)

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I.

Si f(x)>g(x) sur I, alors ... … ...

VI) Intégrale et aire Propriété n°12

f est une fonction continue et négative sur un intervalle I=[a;b] . Soit c sa courbe représentative. Alors l'aire du domaine situé entre c et l'axe des abscisses, sur l'intervalle I est …...

Démonstration

Soit g(x) = – f(x).

...

Exemple n°8

Soit I = ∫

0 1 e ^2t

1+e ² ^t dt et J = ∫

0 1 1

1+ e ² ^t dt . a. Calculer I.

b. Calculer I + J.

c. En déduire J.

...

(18)

11/15 T.S. 2015 – Chap.11 : Calcul intégral Partie 2/2

...

Exercice n°10

Ex.93 p.182

Exercice n°11

Dans chaque cas, exprimer l'aire du domaine colorié sous la forme d'une intégrale. (On ne demande pas de calculer l'intégrale).

11/15

(19)

(20)

12/15 T.S. 2015 – Chap.11 : Calcul intégral Partie 2/2

Exercice n°12*

Calculer les intégrales suivantes :

a. I = ∫

−1 4

(t−1) ² dt b. J = ∫

0 π

e ^cos(t) sin( t) dt c. ∫

1 2 1

(2 t −1) ² dt d. ∫

1 2 2 t ² −1

t dt

Exercice n°13*

Calculer les intégrales suivantes : a. I = ∫

√ ²

√ ³ t

√ ^t ² ⁻¹ ^dt ^b. ^{J =} ^∫ ⁻²

1 u( u ² −1) ² du c. ∫

−4

−3 t +1

(t ² + 2 t ) ² dt d. ∫

−1 1

e ^t−e

^t

dt

Exercice n°14*

Ex.32 p.177

Exercice n°15*

Ex.30 p.177

Exercice n°16*

Ex.34 p.177

Exercice n°17**

Ex.102 p.183

Exercice n°18***

Sujet A p.191

Exercice n°19***

Ex.153 p.194

12/15

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(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Indices et résultats

Ex.1(5 p.176) : F(x) = 1

2 x ² ; G(x) = 1

3 x ³ ; H(x) = 1

2 x ² + 1 3 x ³ Ex.2(6 p.176) : F(x) = 7x ; G(x) = 1

4 x ⁴ ; H(x) = 7x – 2x ⁴ .

Ex.3(49 p.179) : 1.a. F(2) représente l'aire sous la courbe représentative de la fonction inverse entre les droites d'équation x=1 et x=2. b. F(2)<F(3) 2. F'(x)= 1

x 3.a.

F est croissante sur [1;+ ∞[.

Ex.4(56&57 p.179) : Ex56 : 1.Calculer F'(x) . 2. F 1 (x) = x ln x – x + 1. Ex57 : 1.Calculer F'(x) . 2. F(x) = (x+1) ln (x+1) – x.

Ex.5(11 p.176) : F(x) = sin x – cos x et F(x) = 1

3 sin(3x).

Ex.6(12 p.176) : 1. F(x) = e ^x² et G(x) = e ^x²-x 2. F(x) = e ^x² – 1 et G(x) = e ^x²-x – 1.

Ex.7(65&66 p.176) : Ex65 :F(x) = 2x ³ + 11 lnx, G(x) = 11

2 x ² − 3x ⁻¹ et H(x) = – 7 3 . Ex.8(68&69 p.176) : Ex68 :F(x) = – 1

2 e ^-x², , G(x) = ln(x ² + 1) et H(x) = 4 √ ² ^x ² ⁺¹ Ex69 : F(x)

= 1

12 (x ² + 2x) ⁶ , G(x) = 3

10 (x ² – 5) et H(x) = – 1

6 (x ² – 5) ^-3 .

Ex.9(71&73 p.176) : Ex71 : 1. F'(x) = 2x ln x + x – x = f(x) 2. G(x) = x ² ln x – x ² . 3. G 1 (x) = x ² ln x – x ² +1. Ex73 : 1. f(x) = x ² – x + 3 + x

x ² +1 2. F(x)= 1 3 x ³ – 1

2 x ² + 3x + 1

2 ln(x ² + 1). 3.

G(x) = F(x) – 1.

Ex.10(93 p.176) : 1. I= 1

2 ln 3 . 2. I + J = 1 . 3. J = 1– 1 2 ln 3 . Ex.11 : 1. ∫

0 3

g (t )− f (t ) dt 2. ∫

−1 0

g (t )− f ( t) dt + ∫

0 1

f (t )−g (t ) dt 3. ∫

−2 0

f (t)− g (t ) dt +

∫

0 1

g (t )− f (t ) dt 4. ∫

−1 1

− f (t ) dt + ∫

1 2

f (t ) dt Ex.12 : Dans le désordre : 8

3 ; 15

8 –2 ln 2 ; 1 3 ; 0.

Ex.13 : Dans le désordre : 1 e

1 e

− 1

e ^e ; √ ²⁻¹ ^; ⁻⁹ ₂ ^; ⁻⁵ ₄₈ ^.

Ex.14(32 p.177) :1. 2.a. 4 2.b.4 2.c. 4 cm².

(28)

14/15 T.S. 2015 – Chap.11 : Calcul intégral Partie 2/2

Ex.15(30 p.177) : Indications : ∫

n

n+1 1

n+ 1 dt = 1 n+1 ∫

n n+1

dt = 1

n+ 1 [t ] _n ⁿ ⁺¹ = 1 n+ 1

Ex.16(34 p.177) : 1. 2.a. 1 2

Ex.17(102 p.183) : 1.a. croissante sur R ^- , décroissante sur R ⁺ . 1.b. – 2.b. + 3.b. g(n)

≥ J n ≥ g(n+1) 3.d. 0.

Ex.18(Sujet A p.191) : Partie A : cf p.172 Partie B : 1.a. + ∞ 1.b. f 1 est croissante sur R ⁺ . 2.b.I 1 =2 ln 2 – 1. 3.a. Indications : sur [0;1], 0 ≤ x ⁿ ≤ 1.... 3.b. décroissante. 3.c.

0. Ex.19(153 p.194) : Partie A : ∫

a b

f ' (t ) dt= f ( b)− f ( a) Partie B 3.c.1 Partie C 1. I = 1 4 e ² + 1

4 ; J = –2 ; K = 1 2. L = e – 2 ; M = π ² – 4 ; N = ⁽⁻¹⁾ ^– ^e

π

2 .

14/15

(29)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C... (format Cn°de chap.n° d'interrogation)

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :

Ex.n° : …… / …… / …… / ...… / …… / …… / ...…

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