Chap 17 : Calcul intégral (Partie 2)

Chap 17 : Calcul intégral (Partie 2)

Mathématiques

A. OLLIVIER

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que les dérivéesu^′ etv^′ sont conti- nues surI. Alors,

Théorème(Intégration par parties)

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que les dérivéesu^′ etv^′ sont conti- nues surI. Alors,

Z b a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Théorème(Intégration par parties)

Démonstration :

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx =

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx = Z b

a

u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x) dx

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx = Z b

a

u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x) dx

= Z b

a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx = Z b

a

u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x) dx

= Z b

a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx et donc, comme la fonctionuv est une primitive de(uv)^′, on a :

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx = Z b

a

u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x) dx

= Z b

a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx et donc, comme la fonctionuv est une primitive de(uv)^′, on a :

Z b a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx =

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx = Z b

a

u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x) dx

= Z b

a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx et donc, comme la fonctionuv est une primitive de(uv)^′, on a :

Z b a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a

Démonstration : Les fonctionsuetv étant dérivables, le produit uv est dérivable et(uv)^′=u^′v+uv^′.

De plus, les fonctionsu,v,u^′etv^′ étant continues, la dérivée du produit(uv)^′ =u^′v+uv^′ est aussi continue

Z b a

(u(x)v(x))^′dx = Z b

a

u^′(x)v(x) +u(x)v^′(x) dx

= Z b

a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx et donc, comme la fonctionuv est une primitive de(uv)^′, on a :

Z b a

u^′(x)v(x)dx + Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x v^′(x) =e^x

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x

v^′(x) =e^x ⇒

(u^′(x) =1 v(x) =e^x

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x

v^′(x) =e^x ⇒

(u^′(x) =1 v(x) =e^x

Z 1 0

x×e^xdx =

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x

v^′(x) =e^x ⇒

(u^′(x) =1 v(x) =e^x

Z 1 0

x×e^xdx = [x(e^x)]¹₀− Z 1

0

1×(e^x)dx

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x

v^′(x) =e^x ⇒

(u^′(x) =1 v(x) =e^x

Z 1 0

x×e^xdx = [x(e^x)]¹₀− Z 1

0

1×(e^x)dx

=1e¹−0e⁰−[e^x]¹₀

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x

v^′(x) =e^x ⇒

(u^′(x) =1 v(x) =e^x

Z 1 0

x×e^xdx = [x(e^x)]¹₀− Z 1

0

1×(e^x)dx

=1e¹−0e⁰−[e^x]¹₀

=e¹−

e¹−e⁰

CalculonsI= Z 1

0

x×e^xdx

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI.

On suppose de plus que u^′ et v^′ sont continues sur I.

Alors, Z b

a

u(x)v^′(x)dx = [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx Propriété(Intégration par partie)

(u(x) =x

v^′(x) =e^x ⇒

(u^′(x) =1 v(x) =e^x

Z 1 0

x×e^xdx = [x(e^x)]¹₀− Z 1

0

1×(e^x)dx

=1e¹−0e⁰−[e^x]¹₀

Soient f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a;b] deRtelles que, pour toutx de[a;b], f(x)≥g(x)

Propriété

Soient f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a;b] deRtelles que, pour toutx de[a;b], f(x)≥g(x)

L’aire de la surface délimitée par les courbes C_f et C_g et les droites d’équationx =aetx =bvaut :

Z b a

(f(x)−g(x))dx Propriété

Soient f etg deux fonctions continues sur un intervalle[a;b] deRtelles que, pour toutx de[a;b], f(x)≥g(x)

L’aire de la surface délimitée par les courbes C_f et C_g et les droites d’équationx =aetx =bvaut :

Z b a

(f(x)−g(x))dx Propriété

Exemple

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

1 2

−1

−2

−1 1 2 3 4 5

0

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

1 2 3 4 5

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

1 2

−1

−2

−1 1 2 3 4 5

0

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

1 2 3 4 5

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

1 2

−1

−2

−1 1 2 3 4 5

0

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

A= Z 2

−1

(−2x²+2x +4)dx

1 2 3 4 5

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

A= Z 2

−1

(−2x²+2x +4)dx

A=

−2×x³

3 +x²+4x 2

−1

1 2

−1

−2

−1 1 2 3 4 5

0

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

A= Z 2

−1

(−2x²+2x +4)dx

A=

−2×x³

3 +x²+4x 2

−1 1

2 3 4 5

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

A= Z 2

−1

(−2x²+2x +4)dx

A=

−2×x³

3 +x²+4x 2

−1

A= 20 3 −

1 2

−1

−2

−1 1 2 3 4 5

0

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

A= Z 2

−1

(−2x²+2x +4)dx

A=

−2×x³

3 +x²+4x 2

−1

A= 20 3 −

−7 3

u.a.

1 2 3 4 5

Exemple

Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinie surRpar

f(x) =−x²+2x+4etg(x) =x²et les droites d’équation x =−1 etx =2.

A= Z 2

−1

(f(x)−g(x))dx

A= Z 2

−1

(−x²+2x+4)−(x²) dx

A= Z 2

−1

(−2x²+2x +4)dx

A=

−2×x³

3 +x²+4x 2

−1

A= 20 3 −

−7 3

u.a.

A=9 u.a. ^{−2 −1 1 2}

−1 1 2 3 4 5

0

Soitf une fonction continue sur[a;b].

Sia≤bet simetM sont deux réels tels quem≤f(x)≤ Mpour toutx ∈[a;b], alors

. . . .

et sia<b, . . . . Théorème

Soitf une fonction continue sur[a;b].

Sia≤bet simetM sont deux réels tels quem≤f(x)≤ Mpour toutx ∈[a;b], alors

(b−a)m≤ Z b

a

f(x)dx ≤(b−a)M

et sia<b, . . . . Théorème

Soitf une fonction continue sur[a;b].

Sia≤bet simetM sont deux réels tels quem≤f(x)≤ Mpour toutx ∈[a;b], alors

(b−a)m≤ Z b

a

f(x)dx ≤(b−a)M

et sia<b, m≤ 1 b−a

Z b a

f(x)dx ≤M Théorème

Soitf une fonction continue sur l’intervalle[a;b].

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a;b] le nombre

. . . . Définition

Soitf une fonction continue sur l’intervalle[a;b].

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a;b] le nombre

µ= 1 b−a

Z b a

f(x)dx Définition

Exemple

La valeur moyenne sur[−1;1]de la fonction carré est :

Exemple

La valeur moyenne sur[−1;1]de la fonction carré est :

µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx

Exemple

La valeur moyenne sur[−1;1]de lafonction carréest :

µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx

µ= 1

2 Z 1

−1

x²dx

Exemple

La valeur moyenne sur[−1;1]de lafonction carréest :

µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx

µ= 1

2 Z 1

−1

x²dx

µ= 1

2 x³

3 ¹

−1

Exemple

La valeur moyenne sur[−1;1]de lafonction carréest :

µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx

µ= 1

2 Z 1

−1

x²dx

µ= 1

2 x³

3 ¹

−1

µ= 1

2 1

3 −

−1 3

Exemple

La valeur moyenne sur[−1;1]de lafonction carréest :

µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx

µ= 1

2 Z 1

−1

x²dx

µ= 1

2 x³

3 ¹

−1

µ= 1

2 1

3 −

−1 3

1