CALCUL INTÉGRAL (Partie 2)
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pFKzXZrMVxs
I. Aire délimitée par deux courbes
Méthode : Calculer l'aire délimitée par les courbes de deux fonctions continues et positives
Vidéo https://youtu.be/oRSAYNwUiHQ
On considère les fonctions f et g définies par f(x)=x2+1 et g(x)=−x2+2x+5 .
On admet que pour tout x de [−1;2] , on a f(x)≤ g(x).
Déterminer l'aire délimitée par les courbes représentatives de f et de g sur l'intervalle [−1;2] .
On calcule la différence de l'aire sous la courbe représentative de g et de l'aire sous la courbe représentative de
f .
Cela revient à calculer la différence des intégrales :
A=
∫
−1 2
g(x)dx−
∫
−1 2
f(x)dx
Ig=
∫
−1 2
g(x)dx
¿
∫
−1 2
−x2+2x+5dx
¿
[
−13 x3+x2+5x]
−1 2¿−1
3×23+22+5×2−
(
−13 (−1)3+(−1)2+5×(−1))
¿15
If=
∫
−1 2
f(x)dx
¿
∫
−1 2
x2+1dx
¿
[
13x3+x]
−1 2¿1
3×23+2−
(
13(−1)3+(−1))
¿6
Donc : A=Ig−If=15−6=9u . a .
Remarque : Une autre méthode, un peu plus rapide, consisterait à utiliser la linéarité de l’intégrale.
A=
∫
−1 2
g(x)dx−
∫
−1 2
f(x)dx
¿
∫
−1 2
−x2+2x+5dx−
∫
−1 2
x2+1dx
¿
∫
−1 2
−x2+2x+5−x2−1dx
¿
∫
−1 2
−2x2+2x+4dx=…=9
II. Valeur moyenne d'une fonction
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ;b] avec a ≠ b . On appelle valeur moyenne de f sur [a ;b] le nombre réel :
m= 1 b−a
∫
a b
f(x)dx
Interprétation géométrique :
L'aire sous la courbe représentative de f (en rouge ci-dessous) est égale à l'aire sous la droite d'équation y=m (en bleu), entre a et b.
Exemple :
Calculons la valeur moyenne de la fonction f définie par f(x)=3x2−4x+5 sur l'intervalle [1 ; 10].
m= 1 10−1
∫
1 10
3x2−4x+5dx
¿1
9
[
x3−2x2+5x]
110¿1
9
( (
103−2×102+5×10)
−(
13−2×12+5×1) )
=19(850−4)=846 9 =94
Méthode : Calculer une valeur moyenne d'une fonction Vidéohttps://youtu.be/oVFHojz5y50
On modélise à l'aide d'une fonction le nombre de malades lors d'une épidémie.
Au
x
-ième jour après le signalement des premiers cas, le nombre de malades est égale à f (x)=16x2−x3 .Déterminer le nombre moyen de malades chaque jour sur une période de 16 jours.
m= 1
16−0
∫
0 16
f(x)dx
¿ 1 16
∫
0 16
16x2−x3dx
¿ 1
16
[
163 x3−14 x4]
0 16¿ 1
16
(
163 ×163−1 4×164)
¿1024 3 ≈341
Le nombre moyen de malades chaque jour est environ égal à 341.
III. Intégration par parties
Théorème : Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ;b] . Alors, on a :
∫
a bu '(x)v(x)dx=
[
u(x)v(x)]
a b−∫
a b
u(x)v '(x)dx
Démonstration au programme : Vidéohttps://youtu.be/v3TdIdu0sgk
uv est dérivable sur [a ;b] et on a : (uv)'=u'v+u v'
Les fonctions uv ' , u ' v et (uv)' sont continues sur [a ;b] , donc :
[
u(x)v(x)]
a b=∫
a b
(uv)'(x)dx
¿
∫
a b
(
u'v+u v')
(x)dx u (¿¿' v)(x)dx+∫
a b
(u v')(x)dx
¿
∫
a b
¿
¿
∫
a b
u'(x)v(x)dx+
∫
a b
u(x)v '(x)dx D’où :
∫
a bu '(x)v(x)dx=
[
u(x)v(x)]
a b−∫
a b
u(x)v '(x)dx
Méthode : Calculer une intégrale en intégrant par parties Vidéo https://youtu.be/uNIpYeaNfsg
Vidéo https://youtu.be/vNQeSEb2mj8
Vidéo https://youtu.be/xbb3vnzF3EA
Calculer les intégrales suivantes : A=
∫
0 π 2
xsinx dx B=
∫
0 π 2
x2cosx dx C=
∫
1 e2
lnx dx
A=
∫
0 π 2
xsinx dx
v u ’ ➽ Ce choix n’est pas anodin ! L’idée est ici de ne plus laisser de
facteur x dans l’expression qu’il restera à intégrer. Il faudrait donc dériver x .
On pose : v(x)=x → v'(x)=1
u'(x)=sinx →u(x)=−cosx
Ainsi, en intégrant par parties, on a : A=
∫
0 π 2
u '(x)v(x)dx=
[
u(x)v(x)]
0 π 2−∫
0 π 2
u(x)v '(x)dx
¿[−cosx × x]0
π 2−
∫
0 π 2
−cosx ×1dx
¿[−xcosx]0
π 2+
∫
0 π 2
cosx dx
¿−π 2cosπ
2+0×cos 0+[sinx]0
π 2
¿sinπ
2−sin 0=1
B=
∫
0 π 2
x2cosx dx v u ’
On pose : v(x)=x2→ v'(x)=2x u'(x)=cosx → u(x)=sinx
Ainsi, en intégrant par parties, on a : B=
∫
0 π 2
u '(x)v(x)dx=
[
u(x)v(x)]
0 π 2−∫
0 π 2
u(x)v '(x)dx
¿
[
sinx × x2]
0 π 2−∫
0 π 2
sinx ×2x dx
¿
[
x2sinx]
0 π 2−2∫
0 π 2
xsinx dx
Or, dans le terme de droite, on reconnait l’intégrale A de la question précédente qui a été calculée par parties. Il s’agit ici d’une double intégration par parties.
On a donc :
B=
(
π2)
2sinπ2−02sin 0−2×1¿π2 4 −2
C=
∫
1 e2
1×lnx dx u ’ v
On pose : v(x)=lnx → v'(x)=¿ 1 x u'(x)=1→ u(x)=x
Ainsi, en intégrant par parties, on a : C=
∫
1 e2
u'(x)v(x)dx=
[
u(x)v(x)]
1 e2−
∫
1 e2
u(x)v'(x)dx
¿[xlnx]1e2−
∫
1 e2
x 1 xdx
¿e2lne2−1 ln 1−
∫
1 e2
1dx
¿e2×2 lne−[x]1e
2
¿e2×2−e2+1
¿e2+1
IV. Intégrales et suites
Méthode : Étudier une suite d’intégrales Vidéo https://youtu.be/8I0jA4lClKM
On considère la suite d’intégrales
(
In)
définie pour tout entier n , par : In=∫
1 e
x(lnx)ndx 1) Calculer I0 .
2) A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que : In+1=e2 2−n+1
2 In
3) A l’aide d’un programme écrit en Python, conjecturer la limite de la suite
(
In)
.1) Pour n=0 , on a : I0=
∫
1 e
x dx=
[
12 x2]
1 e=1 2e2−1
212=e2−1 2
2) L’objectif est d’exprimer In+1 en fonction de In. In+1=
∫
1 e
x(lnx)n+1dx u ’ v
On pose : v(x)=(lnx)n+1→ v'(x)=(n+1)×1
x×(lnx)n u'(x)=x →u(x)=1
2x
2
Ainsi, en intégrant par parties, on a : In+1=
∫
1 e
u'(x)v(x)dx=
[
u(x)v(x)]
1 e−∫
1 e
u(x)v'(x)dx
¿
[
12x2(lnx)n+1]
1 e−
∫
1 e 1
2x
2
(n+1)×1
x×(lnx)ndx
¿1 2e
2
(lne)n+1−1 2×1
2
(ln1)n+1−n+1 2
∫
1 e
x(lnx)ndx
¿e2 2−n+1
2 In Donc :
In+1=e2 2−n+1
2 In 3)
On conjecture que : lim
n →+∞In=+∞
Remarque : En fait cette conjecture n’est pas exacte !
Pour en savoir plus, regarder ceci : https://youtu.be/8I0jA4lClKM?t=831 Cela devrait démarrer à 13:56.
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