Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3Objectifs :

(1)

Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3 Objectifs :

Niveau a eca n

C11.a 1 Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées et de conditions initiales.

C11.b 1 R.O.C : démonstration de l'existence de primitives C11.c 1 Connaître et utiliser le tableau des primitives des

fonctions usuelles.

C11.d 1 Savoir déterminer l'intégrale d'une fonction.

C11.e 1 Connaître le tableau des primitives usuelles et savoir l'utiliser.

C11.f 1 Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Cours n°1

I) Primitive

Propriété n°1 (admise)

Toute fonction continue sur un intervalle

[a;b]

(donc un intervalle fermé) est bornée et atteint ses bornes.

Définition n°1

Soit

f

une fonction définie et continue sur un intervalle

I

.

Une primitive de

f

sur

I

est une fonction

F

définie et dérivable sur

I

telle que

…... = …...

Exemple n°1 :

Soit

f : x → 4x

². Déterminer une primitive de

f.

...

Exemple n°2

Soient

φ(x) = (x

²

– 4x + 6)e

^x et

ψ(x)=(x

²

– 2x + 2)e

^x. Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

1/67

(2)

Propriété n°2 (liste des primitives usuelles)

Fonction Primitive Domaine de

validité

f(x) = k (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k xn (k ∈ R, n ∈ Z\{- 1})

F(x)=

...

+ ...

...

f(x)=

k

x

= k x-1 (k ∈ R)

F(x)=... + ... ...

f(x)= k ex (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) =

k

√ x

= k x-1/2 (k ∈ R)

F(x)= ...+ ...

...

f(x) = k cos (x) (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k sin (x) (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

Exemple n°3

Calculer des primitives des fonctions suivantes :

f(x) = 3x

²

+ 2x

³

– 5

;

g(x)= 5

x + 4

;

h(x) = 2 x

²

+ 6

√ x ; j(x) = 3e

^x

– cos(x) +4sin(x)

...

II) Propriétés des primitives

Propriété n°3 (existence de primitives)

I

admet …... primitives sur

I

.

(3)

Démonstration [R.O.C]

Soit

f

une fonction continue sur

[a;b]

et

m

son minimum (la propriété n°... prouve son existence).

On pose

φ(x)

=

f(x) – m

.

f(x)  m

. Donc

f(x) – m...

On peut donc définir Φ

(x)

=

∫

a x

φ ( t ) dt

, et Φ'

(x)

=...

Soit

F

:

x → …...

Alors

F'(x)=... = f(x).

Propriété n°4 (Lien entre les primitives)

Soient deux primitives

F

1 et

F

2 d'une même fonction

f

. Alors

F

1

(x) – F

2

(x) = ….

,

…...

.

Démonstration

Avec les mêmes notations que dans la propriété, on a :

F

1'

(x) =...

et

F

2'

(x) =...

Donc

F

1'

(x) – F

2'

(x) = …....

Donc

F

1

(x) – F

2

(x) = …... , …...

Propriété n°5 (Condition d'unicité de la primitive)

Soient

x

0 et

y

0 deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction

f

définie et continue sur

I

, il en existe une seule qui vérifie la

condition ...

. Démonstration

Existence :

Soit

G

une primitive de

f

. Posons

F(x)=G(x) – G(x

0

) + y

0.

D'après la propriété précédente,

F

est …...

De plus

F(x

0

)=...=...

Unicité :

Soient

F

1 et

F

2 deux primitives de

f

telles que

F

1

(x

0

) =...

et

F

2

(x

0

) =...

Alors

F

1

(x) – F

2

(x) = …...., …...

Pour

x = x

0 : …... Donc

k = ….

Donc …...

Exemple n°4

Calculer les primitives demandées :

a.

F

est une primitive de

f(x) = 3x

²

+ 2x

³

– 5

telle que

F(3)=0

; b.

G

g(x)= 5

x + 4

telle que

G(1)=2

; c.

H

h(x) = 2

x

²

+ 6

√ x

telle que

H(1)=1

3/67

(4)

d.

J

j(x) = 3e

^x

– cos(x) +4sin(x)

telle que

J(0)=0.

...

Se Tester n°1 - C11.1 (/22) Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1

^{[15 pts]}

Définition

^{[1 pt]}

Soit

f

I

.

Une primitive de

f

sur

I

est une fonction

F

I

telle que

…... = …...

Propriété n°3 (existence de primitives)

^{[1 pt]}

I

admet …... primitive... sur

I

.

Démonstration [R.O.C]

^{[5 pts]}

Soit f

[a;b]

et

m

son minimum (la propriété n°1 prouve son existence).

...

(5)

...

Propriété (liste des primitives usuelles)

^{[8 pts]}

Pour chaque fonction, donner les primitives correspondantes ainsi que leurs domaines de validité (

k

est un nombre réel quelconque) :

1. f ( _x ) _=k _cos ( _x ) 2. f ( x ) = k

x 3. f ( x ) = k

x

ⁿ

4. f ( x ) = k

√ ^x

5. f ( x ) =k e

^x

6. f ( x ) =k 7. f ( x ) =k x

ⁿ

8. f ( x ) =k sin ( x )

...

5/67

(6)

...

Exercice n°2

^{[7 pts]}

1. Soit

f : x → 8x

f.

...

2. Soient

f ( x ) = ( 4 x

²

– 4 x+5 ) e

^xet

g ( x ) = ( 4 x ²−12 x+17 ) e

^x

Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

3. Calculer des primitives des fonctions suivantes :

f(x) = 2x

²

+ 5x

³

– 9

;

g(x)= 7

x + 7

;

h(x) = 6 x

²

+ 9

√ x ; j(x) = 4e

^x

– 5cos(x) + 2sin(x)

...

(7)

...

4. Calculer la primitive

F

de

f(x) = 2x

²

+ 9x

³

– 4

telle que

F(-1)=2.

...

...…

7/67

(8)

Indices et résultats Ex.1 : voir cours.

Ex.2 : 1.

8 3 x

³

+ k , k  ℝ

2. Réponse donnée 3.

2 3 x

³

+ 5

4 x

⁴

−9 x+ k , k  ℝ ; 7 ln ( x ) + 7 x+ k , k  ℝ ; − 6

x + 18 √ ^x ⁺ ^{k , k}  ℝ ; 4 e

^x

−5 sin ( x ) −¤ os ( x ) + k , k  ℝ

4.

2 3 x

³

+ 9

4 x

⁴

−4 x+ 21 4

Interrogation n°1 Objectifs :

C11.a_Niv1 : Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées et de conditions initiales.

C11.b_Niv1 : R.O.C : démonstration de l'existence de primitives.

C11.c_Niv1 : Connaître et utiliser le tableau des primitives des fonctions usuelles.

Exercice n°1

Ex.5 p.176

Exercice n°2

Ex.6 p.176

Exercice n°3*

Ex.49 p.179

Exercice n°4*

Ex.56 p.179 et Ex.57 p.179

Cours n°2

III) Relation entre intégrales et primitives

Propriété n°6 : Lien entre intégrale et primitive d'une f°

positive

Soit

f

une fonction continue et positive sur

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors

∫

a b

f ( t ) dt =... –

…... noté aussi

[ F ( t ) ]

_a^b

Démonstration

Voir chapitre 8.

Exemple n°5

Soit

f(x)=x

³. Calculer

I = ∫

0 3

f ( t ) dt

.

...

(9)

...

Définition n°2

Soit

f

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors on pose

∫

a b

f ( _t ) _dt =... –

…... noté aussi

[ F ( t ) ]

_a^b

Exemple n°6

Soit

f(x)=x

³

– cos(x)

. Calculer

I = ∫

0 3

f ( t ) dt

.

...

IV) Primitives et opérations

Dans la suite,

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

F

désigne une primitive de

f

sur cet intervalle.

D

F désigne le domaine de définition de

F

.

De même,

u

et

v

sont des fonctions continues et

U

et

V

sont des primitives respectives de

u

et

v

.

Propriété n°7 : Additions et soustractions

a. Si

f = u + v

, alors

F= …. + …..

où

…...

b. Si

f = u – v

, alors

F= …. – …..

où

…...

Démonstration

...

Propriété n°8 : Non compatibilité du produit et du quotient

a. Si

f = u × v

, alors

…. × …..

…...

b. Si

f = u

v

, alors

....

.

…...

Démonstration

9/67

(10)

...

Propriété n°9 : Primitives particulières

On nomme

u

la dérivée de

U

(ou

U

une primitive de

u

).

a. Si

f

est de la forme

f = ...U

ⁿ,

n ∈

N, alors

F = 1

...

^…... ^,

D

F

= I

. b. Si

f

est de la forme

f = ...

U

ⁿ ^,

n ∈

N,

n ≥ 2

, alors

F = – 1 ...

1 ...

^,

D

F

= I\{0}

c. Si

f

est de la forme

f = ...

U

^{, alors}

F = …...

,

D

F

= I\{x

tel que

U(x)<0}

d. Si

f

est de la forme

f = ...

√ ^U

^{, alors}

F = …...

,

D

F

= I\{x

tel que

U(x)<0}

e. Si

f

est de la forme

f = ...e

^U, alors

F = …...

,

D

F

= I Démonstration

...

...………

...

...……….

Exemple n°7

Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.

(11)

f(x) = (2x – 1)

³sur

R

;

h(x) = 1

( 2 x −1 )

² ^sur

^{I =}

¿

¿ ¿ 1

2 ;+∞ ¿ ¿ ¿

;

g(x) = x

x

²

−1

sur

I = ]1;

+∞[

.

...

...……….

...

...………..

Se Tester n°2 - C11.2 (/8) Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1

^[1,5pt]

Soit

f(x)=2x

⁷. Calculer

I = ∫

0 3

f ( t ) dt

.

...

Exercice n°2

^[1,5pt]

11/67

(12)

Soit

f(x)=6x

²

– 7cos(x)

. Calculer

I = ∫

0 3

f ( _t ) _dt

.

...

...…

Exercice n°3 [5pts]

f(x) = ( 2 x – 1 )

⁸sur

R

;

h ( x ) = 1

8 x−1

^sur

I = ] ¹ ⁸ ^; ^+∞ [

^;

^g ⁽ ^x ⁾ ⁼ ³ ^x ^x ^²−1

^sur

^I ⁼ ] ¹ ³ ^; ^+∞ [ ^.

...

...…

...

...…

C11.d_Niv1 : Savoir déterminer l'intégrale d'une fonction.

C11.e_Niv1 : Connaître le tableau des primitives usuelles et savoir l'utiliser.

Exercice n°5

Ex.11 p.176

Exercice n°6

Ex.12 p.176

(13)

Exercice n°7*

Ex.65 p.180 et 66 p.180

Exercice n°8*

Ex.68 p.180 et 69 p.180

Exercice n°9*

Ex.71 p.180 et 73 p.180

Cours n°3

V) Relation de Chasles Propriété n°10

f

I

.

a

,

b

, et

c

sont trois réels appartenant à

I

. Alors :

∫

a b

f ( t ) dt + ∫

b c

f ( t ) dt

=...

Démonstration

Soit

F

une primitive de

f

sur

I

. Alors

∫

a b

f ( t ) dt

=...,

∫

b c

f ( t ) dt

=... et

...

Propriété n°11 (admis)

Soit

f

et

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

.

Si

f(x)>g(x)

sur

I

, alors ... … ...

VI) Intégrale et aire Propriété n°12

f

est une fonction continue et négative sur un intervalle

I=[a;b]

. Soit c sa courbe représentative. Alors l'aire du domaine situé entre c et l'axe des

abscisses, sur l'intervalle

I

est …...

Démonstration

Soit

g(x) = – f(x).

...

13/67

(14)

...

Exemple n°8

Soit

f

la fonction définie par

f(x)=(x – 1)(x – 3)

. Déterminer l'aire délimitée par les droites

x=0

,

x=4

,

y=0

et la courbe représentative de

f

.

...

Exemple n°9

Soit

I = ∫

0 1

e

²^t

1 +e

²^t

dt

^et

J = ∫

0

1

1 1+ e

^2t

dt

.

(15)

a. Calculer

I

. b. Calculer

I + J

. c. En déduire

J

.

...

...…

Se tester n°3 - C11.3(/5)

Objectifs :

Niveau a eca n

Définition : Lien entre intégrale et primitive d'une f°

^{[1 pt]}

Soit f

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors on pose

∫

a b

f ( t ) dt =... …

…... noté aussi

…...

Exercice n°1

[4 pts]

Soit

f

f(x)=(x – 3)(x – 1)

x = 0

,

x = 2

,

y = 0

f

.

...

15/67

(16)

...

C11.f_Niv1 : Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Exercice n°10

Ex.93 p.182

Exercice n°11

Dans chaque cas, exprimer l'aire du domaine colorié sous la forme d'une intégrale.

(On ne demande pas de calculer l'intégrale).

Exercice n°12*

Calculer les intégrales suivantes : a.

I = ∫

−1 4

( _t ₋₁ )

²

_dt

(17)

b.

J = ∫

0 π

e

^cos⁽^t⁾

sin ( t ) dt

c.

∫

1

2

1 ( 2 t −1 )

²

^dt

^d.

∫

1 2 2

t

²

−1

t dt Exercice n°13*

I = ∫

√2

√3

t

√ ^t

²

⁻¹ ^dt

^b.

^{J =} ∫

−2 1

u ( u

²

−1 )

²

du

c.

∫

−4

−3

t +1

( t

²

+2 t )

²

^dt

^d.

∫

−1 1

e

^t^−e^t

dt Exercice n°14*

Ex.32 p.177

Exercice n°15*

Ex.30 p.177

Exercice n°16*

Ex.34 p.177

Exercice n°17**

Ex.102 p.183

Exercice n°18***

Sujet A p.191

Exercice n°19***

Ex.153 p.194

17/67

(18)

Indices et résultats

Ex.1(5 p.176) :

F(x) = 1

2 x

²;

G(x) = 1

3 x

³;

H(x) = 1

2 x

²

+ 1 3 x

³

Ex.2(6 p.176) :

F(x) = 7x

;

G(x) = 1

4 x

⁴;

H(x) = 7x – 2x

⁴.

Ex.3(49 p.179) : 1.a.

F(2)

représente l'aire sous la courbe représentative de la fonction inverse entre les droites d'équation

x=1

et

x=2

. b.

F(2)<F(3)

2.

F'(x)= 1

x

^3.a.

F

est croissante sur

[1;+ ∞[

.

Ex.4(56&57 p.179) : Ex56 : 1.Calculer

F'(x)

. 2.

F

1

(x) = x ln x – x + 1.

Ex57 : 1.Calculer

F'(x)

. 2.

F(x) = (x+1) ln (x+1) – x

.

Ex.5(11 p.176) :

F(x) = sin x – cos x

et

F(x) = 1

3 sin(3x)

.

Ex.6(12 p.176) : 1.

F(x) = e

^x² et

G(x) = e

^x²-x2.

F(x) = e

^x²

– 1

et

G(x) = e

^x²-x

– 1

. Ex.7(65&66 p.176) : Ex65 :

F(x) = 2x

³

+ 11 lnx

,

G(x) = 11

2 x

²

− 3x

⁻¹et

H(x) = – 7 3

. Ex.8(68&69 p.176) : Ex68 :

F(x) = – 1

2 e

^-x²,,

G(x) = ln(x

²

+ 1)

et

H(x) = 4 √ ² ^x

²

⁺¹

^{Ex69 :}

F(x) = 1

12 (x

²

+ 2x)

⁶,

G(x) = 3

10 (x

²

– 5)

et

H(x) = – 1

6 (x

²

– 5)

^-3.

Ex.9(71&73 p.176) : Ex71 : 1.

F'(x) = 2x ln x + x – x = f(x)

2.

G(x) = x

²

ln x – x

². 3.

G

1

(x)

= x

²

ln x – x

²

+1

. Ex73 : 1.

f(x) = x

²

– x + 3 + x

x

²

+1

^2.

F(x)= 1 3 x

³

– 1

2 x

²

+ 3x + 1

2 ln(x

²

+ 1)

. 3.

G(x) = F(x) – 1

.

Ex.10(93 p.176) : 1.

I= 1

2 ln 3

. 2.

I + J = 1

. 3.

J = 1– 1 2 ln 3

. Ex.11 : 1.

∫

0 3

g ( t ) − f ( t ) dt

2.

∫

−1 0

g ( t ) − f ( t ) dt + ∫

0 1

f ( t ) − g ( t ) dt

3.

∫

−2 0

f ( t ) − g ( t ) dt +

∫

0 1

g ( t ) − f ( t ) dt

4.

∫

−1 1

− f ( t ) dt + ∫

1 2

f ( t ) dt

Ex.12 : Dans le désordre :

8 3

^;

15 8 –2 ln 2

;

1 3

^;

0.

Ex.13 : Dans le désordre :

1 e

− 1

e

^e^;

√ ²⁻¹

^;

⁻⁹

2

^;

−5 48

^.

Ex.14(32 p.177) :1. 2.a. 4 2.b.4 2.c. 4 cm².

(19)

Ex.15(30 p.177) : Indications :

∫

n

n+1

1 n+1 dt = 1 n+1 ∫

n n+1

dt = 1

n+1 [ t ]

_nⁿ⁺¹

= 1 n+1

Ex.16(34 p.177) : 1. 2.a.

1 2

Ex.17(102 p.183) : 1.a. croissante sur R^-, décroissante sur R⁺. 1.b.

–

2.b.

+

3.b.

g(n) ≥ J

n

≥ g(n+1)

3.d.

0

.

Ex.18(Sujet A p.191) : Partie A : cf p.172 Partie B : 1.a.

+ ∞

1.b.

f

1 est croissante sur R⁺. 2.b.

I

1

=2 ln 2 – 1

. 3.a. Indications : sur

[0;1]

,

0 ≤ x

ⁿ

≤ 1....

3.b. décroissante. 3.c.

0.

Ex.19(153 p.194) : Partie A :

∫

a b

f ' ( _t ) _dt = f ( _b ) − f ( _a )

Partie B 3.c.

1

Partie C 1.

I = 1 4 e

²

+ 1

4

;

J = –2

;

K = 1

2.

L = e – 2

;

M = π

²

– 4

;

N = ( −1 ) – e

^π

2

^.

19/67

(20)

(21)

21/67

(22)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

(23)

Chapitre n°11: Calcul intégral Partie 2/3 Objectifs :

Niveau a eca n

Cours n°1

I) Primitive

Propriété n°1 (admise)

[a;b]

(donc un intervalle fermé) est bornée et atteint ses bornes.

Définition n°1

Soit

f

I

.

Une primitive de

f

sur

I

est une fonction

F

I

telle que

…... = …...

Exemple n°1 :

Soit

f : x → 4x

f.

...

Exemple n°2

Soient

φ(x) = (x

²

– 4x + 6)e

^x et

ψ(x)=(x

²

– 2x + 2)e

^x. Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

23/67

(24)

Propriété n°2 (liste des primitives usuelles)

Fonction Primitive Domaine de

validité

f(x) = k (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k xn (k ∈ R, n ∈ Z\{- 1})

F(x)=

...

+ ...

...

f(x)=

k

x

= k x-1 (k ∈ R)

F(x)=... + ... ...

f(x)= k ex (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) =

k

√ x

= k x-1/2 (k ∈ R)

F(x)= ...+ ...

...

f(x) = k cos (x) (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

f(x) = k sin (x) (k ∈ R) F(x)=... + ... ...

Exemple n°3

Calculer des primitives des fonctions suivantes :

f(x) = 3x

²

+ 2x

³

– 5

;

g(x)= 5

x + 4

;

h(x) = 2 x

²

+ 6

√ x ; j(x) = 3e

^x

– cos(x) +4sin(x)

...

II) Propriétés des primitives

Propriété n°3 (existence de primitives)

I

admet …... primitives sur

I

.

(25)

Démonstration [R.O.C]

Soit

f

[a;b]

et

m

son minimum (la propriété n°... prouve son existence).

On pose

φ(x)

=

f(x) – m

.

f(x)  m

. Donc

f(x) – m...

On peut donc définir Φ

(x)

=

∫

a x

φ ( t ) dt

, et Φ'

(x)

=...

Soit

F

:

x → …...

Alors

F'(x)=... = f(x).

Propriété n°4 (Lien entre les primitives)

Soient deux primitives

F

1 et

F

2 d'une même fonction

f

. Alors

F

1

(x) – F

2

(x) = ….

,

…...

.

Démonstration

Avec les mêmes notations que dans la propriété, on a :

F

1'

(x) =...

et

F

2'

(x) =...

Donc

F

1'

(x) – F

2'

(x) = …....

Donc

F

1

(x) – F

2

(x) = …... , …...

Propriété n°5 (Condition d'unicité de la primitive)

Soient

x

0 et

y

0 deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction

f

définie et continue sur

I

, il en existe une seule qui vérifie la

condition ...

. Démonstration

Existence :

Soit

G

une primitive de

f

. Posons

F(x)=G(x) – G(x

0

) + y

0.

D'après la propriété précédente,

F

est …...

De plus

F(x

0

)=...=...

Unicité :

Soient

F

1 et

F

2 deux primitives de

f

telles que

F

1

(x

0

) =...

et

F

2

(x

0

) =...

Alors

F

1

(x) – F

2

(x) = …...., …...

Pour

x = x

0 : …... Donc

k = ….

Donc …...

Exemple n°4

Calculer les primitives demandées :

a.

F

f(x) = 3x

²

+ 2x

³

– 5

telle que

F(3)=0

; b.

G

g(x)= 5

x + 4

telle que

G(1)=2

; c.

H

h(x) = 2

x

²

+ 6

√ x

telle que

H(1)=1

25/67

(26)

d.

J

j(x) = 3e

^x

– cos(x) +4sin(x)

telle que

J(0)=0.

...

Se Tester n°1 - C11.1 (/22) Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1

^{[15 pts]}

Définition

^{[1 pt]}

Soit

f

I

.

Une primitive de

f

sur

I

est une fonction

F

I

telle que

…... = …...

Propriété n°3 (existence de primitives)

^{[1 pt]}

I

admet …... primitive... sur

I

.

Démonstration [R.O.C]

^{[5 pts]}

Soit f

[a;b]

et

m

son minimum (la propriété n°1 prouve son existence).

...

(27)

...

Propriété (liste des primitives usuelles)

^{[8 pts]}

Pour chaque fonction, donner les primitives correspondantes ainsi que leurs domaines de validité (

k

est un nombre réel quelconque) :

1. f ( _x ) _=k 2. f ( x ) = k

√ x 3. f ( x ) =k cos ( x ) 4. f ( x ) = k

x

ⁿ

5. f ( _x ) _{=k x}

ⁿ

6. f ( x ) =k e

^x

7. f ( x ) = k

x 8. f ( x ) =k sin ( x )

...

27/67

(28)

...

Exercice n°2

^{[7 pts]}

1. Soit

f : x → 9x

f.

...

2. Soient

f ( x ) = ( 7 x

²

– 9 x +5 ) e

^x et

g ( x ) = ( 7 x ²− 23 x+ 28 ) e

^x

Démontrer qu'une des fonctions est une primitive de l'autre.

...

3. Calculer des primitives des fonctions suivantes :

f(x) = 8x

²

+ 8x

³

– 6

;

g(x)= 7

x + 1

;

h(x) = 3 x

²

+ 8

√ x ; j(x) = 2e

^x

– 4cos(x) + 4sin(x)

...

(29)

...

4. Calculer la primitive

F

de

f(x) = 3x

²

+ 7x

³

– 4

telle que

F(2)=0.

...

...…

29/67

(30)

Indices et résultats Ex.1 : voir cours.

Ex.2 : 1.

3 x

³

+ k , k  ℝ

2. Réponse donnée 3.

8 3 x

³

+2 x

⁴

−6 x+ k , k  ℝ ; 7 ln ( x ) + x+ k , k  ℝ ; − 3

x + 16 √ ^x ⁺ ^{k , k}  ℝ ; 2 e

^x

− 4 sin ( x ) −¤ os ( x ) +k , k  ℝ

4.

x

³

+ 7

4 x

⁴

− 4 x + 58 3

C11.a_Niv1 : Savoir déterminer une primitive par lecture inverse du tableau des dérivées et de conditions initiales.

C11.b_Niv1 : R.O.C : démonstration de l'existence de primitives.

C11.c_Niv1 : Connaître et utiliser le tableau des primitives des fonctions usuelles.

Exercice n°1

Ex.5 p.176

Exercice n°2

Ex.6 p.176

Exercice n°3*

Ex.49 p.179

Exercice n°4*

Ex.56 p.179 et Ex.57 p.179

Cours n°2

III) Relation entre intégrales et primitives

Propriété n°6 : Lien entre intégrale et primitive d'une f°

positive

Soit

f

une fonction continue et positive sur

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors

∫

a b

f ( t ) dt =... –

…... noté aussi

[ F ( t ) ]

_a^b

Démonstration

Voir chapitre 8.

Exemple n°5

Soit

f(x)=x

³. Calculer

I = ∫

0 3

f ( t ) dt

.

...

(31)

...

Définition n°2

Soit

f

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors on pose

∫

a b

f ( _t ) _dt =... –

…... noté aussi

[ F ( t ) ]

_a^b

Exemple n°6

Soit

f(x)=x

³

– cos(x)

. Calculer

I = ∫

0 3

f ( t ) dt

.

...

IV) Primitives et opérations

Dans la suite,

f

I

.

F

désigne une primitive de

f

sur cet intervalle.

D

F désigne le domaine de définition de

F

.

De même,

u

et

v

sont des fonctions continues et

U

et

V

sont des primitives respectives de

u

et

v

.

Propriété n°7 : Additions et soustractions

a. Si

f = u + v

, alors

F= …. + …..

où

…...

b. Si

f = u – v

, alors

F= …. – …..

où

…...

Démonstration

...

Propriété n°8 : Non compatibilité du produit et du quotient

a. Si

f = u × v

, alors

…. × …..

…...

b. Si

f = u

v

, alors

....

.

…...

Démonstration

31/67

(32)

...

Propriété n°9 : Primitives particulières

On nomme

u

la dérivée de

U

(ou

U

une primitive de

u

).

a. Si

f

est de la forme

f = ...U

ⁿ,

n ∈

N, alors

F = 1

...

^…... ^,

D

F

= I

. b. Si

f

est de la forme

f = ...

U

ⁿ ^,

n ∈

N,

n ≥ 2

, alors

F = – 1 ...

1 ...

^,

D

F

= I\{0}

c. Si

f

est de la forme

f = ...

U

^{, alors}

F = …...

,

D

F

= I\{x

tel que

U(x)<0}

d. Si

f

est de la forme

f = ...

√ ^U

^{, alors}

F = …...

,

D

F

= I\{x

tel que

U(x)<0}

e. Si

f

est de la forme

f = ...e

^U, alors

F = …...

,

D

F

= I Démonstration

...

...………

...

...……….

Exemple n°7

(33)

f(x) = (2x – 1)

³sur

R

;

h(x) = 1

( 2 x −1 )

² ^sur

^{I =}

¿

¿ ¿ 1

2 ;+∞ ¿ ¿ ¿

;

g(x) = x

x

²

−1

sur

I = ]1;

+∞[

.

...

...……….

...

...………..

Se Tester n°2 - C11.2 (/8) Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1

^[1,5pt]

Soit

f(x)=2x

⁶. Calculer

I = ∫

0 3

f ( t ) dt

.

...

Exercice n°2

^[1,5pt]

33/67

(34)

Soit

f(x)=5x

⁸

– 4cos(x)

. Calculer

I = ∫

0 3

f ( _t ) _dt

.

...

...…

Exercice n°3 [5pts]

f(x) = ( 2 x – 1 )

⁷sur

R

;

h ( x ) = 1

5 x−1

^sur

I = ] ¹ ⁵ ^; ^+∞ [

^;

^g ⁽ ^x ⁾ ⁼ ⁷ ^x ^x ^²−1

^sur

^I ⁼ ] ¹ ⁷ ^;+∞ [ ^.

...

...…

...

...…

C11.d_Niv1 : Savoir déterminer l'intégrale d'une fonction.

C11.e_Niv1 : Connaître le tableau des primitives usuelles et savoir l'utiliser.

Exercice n°5

Ex.11 p.176

Exercice n°6

Ex.12 p.176

(35)

Exercice n°7*

Ex.65 p.180 et 66 p.180

Exercice n°8*

Ex.68 p.180 et 69 p.180

Exercice n°9*

Ex.71 p.180 et 73 p.180

Cours n°3

V) Relation de Chasles Propriété n°10

f

I

.

a

,

b

, et

c

sont trois réels appartenant à

I

. Alors :

∫

a b

f ( t ) dt + ∫

b c

f ( t ) dt

=...

Démonstration

Soit

F

une primitive de

f

sur

I

. Alors

∫

a b

f ( t ) dt

=...,

∫

b c

f ( t ) dt

=... et

...

Propriété n°11 (admis)

Soit

f

et

g

deux fonctions continues sur un intervalle

I

.

Si

f(x)>g(x)

sur

I

, alors ... … ...

VI) Intégrale et aire Propriété n°12

f

est une fonction continue et négative sur un intervalle

I=[a;b]

. Soit c sa courbe représentative. Alors l'aire du domaine situé entre c et l'axe des

abscisses, sur l'intervalle

I

est …...

Démonstration

Soit

g(x) = – f(x).

...

35/67

(36)

...

Exemple n°8

Soit

f

f(x)=(x – 1)(x – 3)

x=0

,

x=4

,

y=0

f

.

...

Exemple n°9

Soit

I = ∫

0 1

e

²^t

1 +e

²^t

dt

^et

J = ∫

0

1

1 1+ e

^2t

dt

.

(37)

a. Calculer

I

. b. Calculer

I + J

. c. En déduire

J

.

...

...…

Se tester n°3 - C11.3(/5)

Objectifs :

Niveau a eca n

Définition : Lien entre intégrale et primitive d'une f°

^{[1 pt]}

Soit f

[a;b]

et

F

une primitive de

f

sur

[a;b]

. Alors on pose

∫

a b

f ( t ) dt =... …

…... noté aussi

…...

Exercice n°1

[4 pts]

Soit

f

f(x)=(x – 7)(x – 2)

x = 0

,

x = 3

,

y = 0

f

.

...

37/67

(38)

...

C11.f_Niv1 : Savoir déterminer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction.

Exercice n°10

Ex.93 p.182

Exercice n°11

Dans chaque cas, exprimer l'aire du domaine colorié sous la forme d'une intégrale.

(On ne demande pas de calculer l'intégrale).

Exercice n°12*

I = ∫

−1 4

( _t ₋₁ )

²

_dt

(39)

b.

J = ∫

0 π

e

^cos⁽^t⁾

sin ( t ) dt

c.

∫

1

2

1 ( 2 t −1 )

²

^dt

^d.

∫

1 2 2

t

²

−1

t dt Exercice n°13*

I = ∫

√2

√3

t

√ ^t

²

⁻¹ ^dt

^b.

^{J =} ∫

−2 1

u ( u

²

−1 )

²

du

c.

∫

−4

−3

t +1

( t

²

+2 t )

²

^dt

^d.

∫

−1 1

e

^t^−e^t

dt Exercice n°14*

Ex.32 p.177

Exercice n°15*

Ex.30 p.177

Exercice n°16*

Ex.34 p.177

Exercice n°17**

Ex.102 p.183

Exercice n°18***

Sujet A p.191

Exercice n°19***

Ex.153 p.194

39/67