Chapitre n°10: Calcul intégral, partie 1/3 Objectifs :
Niveau a eca n
C10.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
C10.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f
Activité d'approche n°1 :
Le plan P est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗ i , ⃗ j ) d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b .
Dans chaque cas, on considère une fonction f définie et positive sur [a;b] . c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ) .
d
fle domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x=a et x=b .
Cas n°1 : f est une fonction constante positive sur [a;b] .
Soit c un réel positif tel que, pour tout
x appartenant à [a;b] , f(x)=c .
a. Déterminer l’aire a du domaine d
fen cm².
...
...
...
On appelle a ( donc l’aire du domaine) l’aire du domaine) aire du domaine) du domaine) domaine du domaine) ’ ) l’intégrale de f entre a et b et on note : a =
∫
a bf ( x ) dx .
b. Soit M un point de [DC] et x
Mson abscisse. Soit F la fonction qui à x
Massocie
l'aire du domaine d
Mdélimité par le segment [DM] , l’axe des abscisses et les
droites d’équation x=a et x=x
M. Exprimer F(x
M)) .
...
...
c. Dériver F par rapport à x
M. Que constate-t-on ?
...
...
Cas n°2 : f est une fonction de la forme f (x)=mx + p , où m et p sont des réels fixés avec m non nul.
On suppose de plus que f est positive sur l’intervalle [a;b] .
a. Déterminer l’aire a du domaine
d
fen cm².
...
...
...
...
...
...
...
...
b. Soit M un point de [DC] et x
Mson abscisse. Soit F la fonction qui à x
Massocie l'aire du domaine d
Mdélimité par le segment [DM] , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=x
M. Exprimer F(x
M)) .
...
...
...
...
...
...
...
c. Dériver F par rapport à x
M. Que constate-t-on ?
...
...
...
...
...
...
Activité d'approche n°2
Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x
2. On veut déterminer a = ∫
0 1
f ( x ) dx
1. De quel domaine s'agit-il ?
...
...
...
...
2. En utilisant le quadrillage de la figure ci-contre, donner un
encadrement de a en
« petits carreaux ».
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. OI et OJ sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.
...
...
...
...
...
4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de longueur 1
n , où n est un entier naturel non nul. Les bornes des intervalles sont appelées a
0= 0 , a
1= 1 n , a
2= 2
n ,... , a
k= k
n , …., a
n= 1.
Sur chaque intervalle, on construit des rectangles R
min(k) de hauteurs f (a
k) , qui ne « dépasse pas » la courbe.
De même, on des rectangles R
max(k) de hauteurs f (a
k+1) , qui « dépassent » la courbe.
On appelle U
nla somme des aires des rectangles R
min(k) et V
nla somme des aires des rectangles R
max(k) , pour k variant de 0 à n – 1 .
1. Calculer U
4et V
4 ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…...
…...
2. Conjectures pour n quelconque.
Illustration avec Geogebra
3. Dans le cas général, exprimer U
net V
nen fonction n .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Dans le cas général, donner un encadrement de a .
...
...
...
...
5. Établir par récurrence que :
∑
k=1 nk
2= n ( n+1 ) ( 2 n +1 ) 6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a .
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...
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...
...
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...
Cours n°1
Chapitre n°10: Calcul intégral, partie 1/3
I) Intégrale d'une fonction continue positive Définition n°1
Soit une fonction f définie, continue et positive sur [a;b] .
c désigne la courbe représentative de f dans le repère (O; ⃗ i , ⃗ j ) .
d
fdésigne le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b .
On appelle intégrale de f entre a et b …... de d
f. Ce nombre est noté ∫
a b
f ( x ) dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
Exemple n°1 :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1 4 x + 2 et c
fsa représentation graphique. Déterminer ∫
2 6
f ( x ) dx .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°1 - C10.1 (/4)
Objectifs :
Nivea u
1 2 3 4
C10.a 1 savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 (/4) :
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f (x) = 1
7 x + 2 et c
fsa représentation graphique. Déterminer géométriquement ∫
2 6
f ( x ) dx
...
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Résultats
72 7
Interrogation n°1 Objectifs :
C10.a_Niv1 : savoir calculer une intégrale géométriquement.
Exercice n°1 Ex.2 p.176 Exercice n°2
Ex.4 p.176 Exercice n°3
Ex.38 p.178 Exercice n°4
Ex.39 p.178
Cours n°2
II) Fonction définie par une intégrale Propriété n°1
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] , la fonction F définie sur [a ; b] par F(x)= ∫
a x
f ( t ) dt est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est
…...
Démonstration :
On ne démontre ce théorème que dans le cas où f
est strictement croissante et positive sur [a ; b] . On définit : F(x)= ∫
a x
f ( t ) dt
a x
0
x
0
+h
M N
P
S
R Q
1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité
T(h)= F(x
0+ h) – F(x
0).
2. Encadrer T(h) par les aires de deux rectangles : ...
...
3. Calculer, en fonction de h, f(x
0) et f(x
0+ h) , les aires de MNPS et de MNQR .
…...
…...
...
4. En déduire un encadrement de T ( h ) h .
...
...
...
...
...
5. Conclure.
...
...
...
...
...
...
Définition n°2
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I .
Une primitive de f sur I est une fonction F , dérivable sur I , telle que F' = f .
Exemple n°2 :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x)=4x + 4 .
...
...
...
Exemple n°3 :
Démontrer que la fonction F définie sur ]–∞ ; 3[ par F ( x ) = 2 x − 4
3 − x est une primitive de
f définie sur ] – ∞ ; 3[ par f ( x ) = 2 ( 3 − x )
2.
...
...
...
...
Se Tester n°2 - C10.2 (/4)
Objectifs :
Nivea
u 1 2 3 4
C10.b 1 savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive
d'une fonction f.
Exercice n°1 (/2) :
Déterminer une primitive de la fonction f définie sur IR par :
f(x)=–4x –8 .
...
...
...
Exercice n°2 (/2) :
Démontrer que la fonction F définie par 2 x +2
7− x est une primitive de la fonction f
définie par f(x)= 16
( 7 − x )
2...
...
... ...
...
...
Résultats
Ex.1 : 2,5 x² + 8x + k , k R .
Ex.2 : résultats donnés.
Interrogation n°2 Objectifs :
C10.b_Niv1 : savoir démontrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f.
(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques) Exercice n°5
Ex.5 p.176 Exercice n°6
Ex.6 p.176 Exercice n°7
Ex.7 p.176 Exercice n°8
Ex.14 p.176 Exercice n°9
Ex.17 p.176 Exercice n°10
Ex.20 p.176 Exercice n°11
Soit la fonction F définie sur [0;8] par F(x) = ∫
0
x
