Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 10 (14/12 – 18/12)
Chapitre 8 : Continuité, dérivation et études de fonctions
Ce chapitre est à vocation essentiellement technique et calculatoire. Les élèves doivent maîtriser les différentes tech- niques de dérivation, avec assurance et efficacité, et savoir mener une démarche complète d’étude de fonction. Le cadre d’étude est celui des fonctions d’un sous-ensemble deRà valeurs dansR, ou éventuellementC.
On pourra reposer des exercices relatifs à ce chapitre, par exemple en rapport avec le chapitre suivant.
Chapitre 9 : Fonctions usuelles
1. Logarithme, exponentielle, puissances
‚ Fonctionln, dérivées successives, concavité, inégalitélnp1`xq ďx, équivalent classique,lnpabq “lnpaq`lnpbq.
‚ Fonctionexp, dérivées successives, convexité, inégalité exge1`x, équivalent classique,ea`b “eaeb.
‚ Fonctions puissancesxa, règles d’exponentiation (xaxb,pxyqa,pxaqb,xn1 “ ?nx...)
‚ Théorèmes de croissances comparées en`8et 0.
‚ Logarithme en baseb, expression en fonction deln. Dérivée.
2. Fonctions trigonométriques circulaires
‚ Sinus, dérivées successives, propriétés de convexité, inégalités classiques sinpxq ď x, sinpxq ě 2πx sur des intervalles adéquats. Équivalent classique.
‚ Cosinus, dérivées successives, propriétés de convexité, équivalent classique.
‚ Tangente, dérivée, propriétés de convexité, équivalent en0. Inégalités classiques.
‚ Révision de toutes les formules de trigonométrie.
3. Réciproques des fonctions trigonométriques circulaires Les courbes sont à bien mémoriser.
‚ Arctan, dérivée, valeurs particulières et limites, propriétés de convexités, inégalités classiques, équivalent en 0. Compositions detanetArctan. Utilisation pour des calculs de primitives.
‚ Arcsin: même topo
‚ Arccos: même topo 4. Fonctions hyperboliques
‚ sh, ch, th. Propriétés (dérivées successives de sh et ch, dérivée de th, convexité, limites, équivalents clas- siques). Identitéch2´sh2“1.
‚ Les formules de trigonométrie hyperbolique ne sont pas au programme. Il faut savoir qu’elles existent et ressemblent beaucoup aux formules similaires pour les fonctions trigonométriques, afin de pouvoir les redémontrer en cas de besoin. Nous avons traité l’exemple deshpa`bqen nous appuyant sur la décomposition en partie paire et impaire de l’exponentielle.
‚ (HP) Un mot surArgsh,Argchet Argth.
Chapitre 10 : Calcul intégral
L’intégration n’est abordée dans ce chapitre que sous un angle calculatoire. Il n’est pas dans l’esprit de ce chapitre de donner des exercices théoriques sur les intégrales. Le point de départ du cours est le théorème fondamental du calcul intégral, démontré en admettant certaines propriétés des intégrales.
NB : Pas d’exercice sur ce chapitre cette semaine. Uniquement le cours.
1. Calcul intégral et primitivation
‚ Le point de départ (liste de résultats admis provisoirement)
˚ Croissance, positivité et stricte positivité de l’intégrale (admis)
˚ Inégalité triangulaire intégrale(admis)
‚ Primitives
˚ Notion de primitive, unicité à constante près sur un intervalle.
˚ Existence d’une primitive d’une fonction continue. Expression intégrale d’une primitive d’une fonction continue (Newton)
˚ Théorème fondamental du calcul des intégrales (expression de l’intégrale comme variation d’une primi- tive).
‚ Techniques élémentaires de primitivation
˚ Primitives des fonctions usuelles, et de composées. Usage de la primitivation « à vue ».
˚ Méthode : primitivation des inverses de trinômes.
2. Techniques de calcul intégral
‚ Intégration par parties
˚ Formule d’IPP et d’IPP itérée pour le calcul intégral.
˚ Formule de Taylor avec reste intégral.
˚ Inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordrenpour une fonctionCn`1.
˚ Expression de l’IPP pour la primitivation. Primitive de ln.
‚ Changement de variables
˚ Formule de changement de variables.
˚ Intégrales de fonctions impaires, paires.
‚ Dérivation d’intégrales dépendant de leurs bornes
˚ Formule de dérivation
˚ Intégrale d’une fonction périodique sur une période.
