Chapitre 12 – Calcul intégral

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 12 – Calcul intégral

I. Intégrale d’une fonction continue

1- Aire sous la courbe et intégrale

Le plan est rapporté à un repère orthogonal

(

0;Åi;Åj

)

.

On considère les points I, J et K tels que ÄOI= Åi, ÄOJ= Åj et OIKJ soit un rectangle.

On appelle unité d’aire l’aire du rectangle OIKJ.

Définition :

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] (avec aÂb) et soit C sa courbe représentative dans le repère (O;Åi;Åj) (C est donc au dessus de l’axe des abscisses).

L’aire du domaine D , en unité d’aire), délimité par C_{, l’}axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b est le réel noté

⌡ ⌠

a b

f(x) dx.

Ce réel est appelé intégrale de a à b de f.

Remarques :

•

⌡ ⌠

a b

f(x) dx s’appelle aussi "somme de a à b de f(x)dx".

• a et b sont appelées les bornes de l’intégrale et x est une variable muette càd que

⌡ ⌠

a b

f(x) dx=

⌡ ⌠

a b

f(t) dt=

⌡ ⌠

a b

f(u) du

• Le domaine D est caractérisé par l’ensemble des point M(x;y) du plan tels que : _^aÂxÂb 0ÂyÂf(x)

• Si a=b alors logiquement

⌡ ⌠

a a

f(x) dx=0 Définition :

• Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] (avec aÂb) et soit C sa courbe représentative.

• Si f est négative sur [a;b] alors

⌡ ⌠

a b

f(x) dx=-Aire(D) (où D est le domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.

• Cas général :

⌡ ⌠

a b

f(x) dx=Aire

( )

^{D1 −Aire}

( )

^{D2 (où D1} est le domaine situé au dessus de l’axe des abscisses, délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b et D₂ est le domaine situé en dessous de l’axe des

abscisses, délimité par C_{, l’}axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.

Définition :

Par convention, si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b] alors

⌡ ⌠

a b

f(x) dx=-

⌡ ⌠

b a

f(x) dx 2- Valeur moyenne

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] (avec a<b).

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a;b], le réel µ= 1 b−a

⌡ ⌠

a b

f(x) dx .

II. Intégrale et primitive

1- Primitive s’annulant en a.

Théorème (démonstration au programme, cf annexe) :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a un élément quelconque de I.

La fonction Φ définie sur I par Φ(t)=

⌡ ⌠

a t

f(x) dx est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.

Remarques :

• On ne peut pas employer la même lettre pour une borne de l’intégrale et la variable muette.

• La fonction Φ est donc dérivable et de dérivée f : Φ′=f 2- Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.

Théorème (Principe de démonstration à connaître – voir annexe) :

Soit f est une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous les réels a et b de I, on a :

⌡ ⌠

a b

f(x) dx=F(b)−F(a) où F est une primitive quelconque de f sur I. Remarque : on écrit

⌡ ⌠

a b

f(x) dx=

 

 

F(x)

a b

III. Propriétés de l’intégrale (propriétés admises)

Relation de Chasles

Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous les réels a, b et c de I, on a :

⌡ ⌠

a

cf(x) dx=

⌡ ⌠

a b

f(x) dx+

⌡ ⌠

b c

f(x) dx.

Linéarité

Propriété : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, et soit α un réel. Pour tous les réels a et b de I, on a :

•

⌡ ⌠

a b

(f+g)(x) dx=

⌡ ⌠

a b

f(x) dx+

⌡ ⌠

a b

g(x) dx et

•

⌡ ⌠

a b

(αf)(x) dx=α

⌡ ⌠

a b

f(x) dx.

Signe d’une intégrale

Si aÂb Si aÃb

Si fÃ0 sur I

⌡ ⌠

a

bf(x) dxÃ0

⌡ ⌠

a b

f(x) dxÂ0 Si fÂ0 sur I

⌡ ⌠

a

bf(x) dxÂ0

⌡ ⌠

a b

f(x) dxÃ0

Intégration d’inégalités

Propriété : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que aÂb.

Si ┐x☻[a;b], f(x)Âg(x) alors

⌡ ⌠

a b

f(x) dxÂ

⌡ ⌠

a b

g(x) dx.

Inégalités de la moyenne :

Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I.

• S’il existe deux réels m et M tels que mÂfÂM et si aÂb alors m(b−a)Â

⌡ ⌠

a b

f(x) dxÂM(b−a).

• S’il existe un réel M positif tel que

| |

^fÂM sur I alors

 

 

⌡ ⌠

a b

f(x) dx ÂM

|

^b−a

|

Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables et à dérivées continues sur un intervalle I alors u v est dérivable sur I.

On a donc (u v)′=u′v+uv′ d’où u v′=(uv)′−u′v

Les fonctions u′v, uv′ et (u v)′ sont continues sur I donc pour tous les réels a et b de I :

⌡ ⌠

a b

u(x)v′(x) dx=

⌡ ⌠

a b

(u v)′(x)−u′(x)v(x)dx =

⌡ ⌠

a b

(u v)′(x) dx−

⌡ ⌠

a b

u′(x)v(x) dx.

Propriété : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que u′ et v′ soient continues sur I.

Pour tous les réels a et b de I, on a :

⌡ ⌠

a b

u(x)v′(x) dx=

 

 

u(x)v(x)

a b−

⌡ ⌠

a b

u′(x)v(x) dx.

Exemple : Calculer, en utilisant une intégration par parties,

⌡ ⌠

1 2

(x+1)lnxdx.

Soient u et v les fonctions dérivables à dérivées continues sur [1;2] telles que :



 

^u(x)=lnx donc u′(x)=¹ x v′(x)=x+1 donc v(x)=^x2

2+x. Alors

⌡ ⌠

1

2(x+1)lnxdx=

 

 

 

 

x²

2+x lnx

1 2−

⌡ ⌠

1 2

 

 

x²

2+x ×¹

xdx=4 ln2−0−

⌡ ⌠

1 2x

2+1 dx=4 ln2−

 

 

x² 4+x

1 2

=4 ln2−

 

 

1+2−¹

4−1 =4 ln2−7 4

IV. Exercices

Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

⌡ ⌠

-1 3

(

x³−5x²+8 dx

) ⌡ ⌠

0 3

e^(-5x+1)dx

⌡ ⌠

2

3 6x+3

(

^x2+x+1

)

^4dx

⌡ ⌠

-1

2 x

3x²+2dx

⌡ ⌠

-^π 4 π 31

2cos(x)sin⁵(x) dx

⌡ ⌠

-^π 4 π

4tan(x) dx

⌡ ⌠

1 3ln(x)

x dx

⌡ ⌠

1 -2 2e^x

e^x+1dx

⌡ ⌠

4 -2 1

xlnxdx Exercice 2

Calculer dans chaque cas la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle indiqué : f(x)=5x⁴−3x²+1 sur I=[-3;2]. ; f(x)=- 7x

x²+3 sur I=[-2;0].

Exercice 3 Soit I=

⌡ ⌠

0

1 x

1+x²d x et J=

⌡ ⌠

0

1 x³

1+x²dx.

1. Calculer I.

2. Calculer I+J et en déduire la valeur de J.

Exercice 4

Soit f la fonction définie p o ur xý1 par f(x)= x−2 (x−1)².

1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout xý1, f(x)= a

(x−1)²+ b x−1. 2. Calculer

⌡ ⌠

-1 0

f(t) dt

Exercice 5 Soit I=

⌡ ⌠

0

1 dx

x²+2 et soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x)=ln

(

^{x+ x2+}2

)

. Calculer la dérivée de f et en déduire la valeur de I.

Exercice 6

1- Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)=-x²+6x−5 et soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal

(

^O;Åi;Åj

)

(unités : 1cm pour 1 unité en abscisses et 0,5 cm pour une unité en ordonnée).

a. Etudier le signe de f.

b. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C_{, l’}axe des abscisses et les droites d’équations x=2 et x=3.

c. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-2 et x=0.

d. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-1 et x=4.

2- Soit g la fonction définie sur Ë par g(x)=-

(

^x2+4x−5

)

^e-2x et soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unités 2cm.

a. Déterminer le signe de g(x) en fonction des valeurs de x.

b. Soit G la fonction définie sur Ë par G(x)=

(

^x2−3x+1

)

^e-2x. Montrer que G est une primitive de g sur Ë.

c. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=4.

d. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C_{, l’}axe des abscisses et les droites d’équations x=-2 et x=0.

e. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=2.

3- Soit h la fonction définie sur Ë par h(x)=x+1+e^-x et soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unités 0,5 cm.

a. Montrer que la droite ∆ d’équation y=x+1 est asymptote oblique à C au voisinage de +õ et étudier la position relative de C par rapport à ∆ sur [0;+õ[.

b. Déterminer, en unités d’aire puis en cm³, l’aire du domaine délimité par C, ∆ et les droites d’équations x=1 et x=3.

Pour la question 3 : on remarquera que si f et g sont deux fonctions continues sur [a;b] (aÂb).

Si ┐x☻[a;b], f(x)−g(x)Ã0 (càd C

f est au dessus de C

g) alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par C_f, C_g et les droites d’équations x=a et x=b est

⌡ ⌠

a b

(f(x)−g(x))dx.

Exercice 7

A l’aide d’une (ou plusieurs) intégration(s) par parties : 1. Calculer

⌡ ⌠

0 π

2tsintdt ;

⌡ ⌠

1 x

tlntdt ;

⌡ ⌠

0 1

(2−t)e^tdt ;

⌡ ⌠

0 π

8e^-2xcos(2x) dx ;

⌡ ⌠

0 -1

(

3t²−t+1

)

e^tdt 2. Calculer la primitive de la fonction logarithme népérien qui s’annule en e.

Exercice 8

1- Montrer que pour tout tÃ0, on a : 1−t²Â1Â1+t³. 2- En déduire que pour tout tÃ0, 1−t 1

1+tÂ1−t+t². 3- Calculer pour tout réel xÃ0, l’intégrale

⌡ ⌠

0

x 1

1+tdt 4- En déduire que pour tout réel xÃ0 : x−x²

2 Âln(1+x)Âx−x² 2 +x³

3 5- Calculer alors lim

x↔0 x>0

ln(1+x)

x (cette limite doit vous être familière) Exercice 9

Soit

( )

^In la suite d’intégrales définie pour n☻É par In=

⌡ ⌠

0 1

tⁿcos(t)dt.

1- Montrer que la suite

( )

^In est décroissante.

2- Trouver une relation de récurrence entre In et In−2 pour nÃ2.

3- Calculer I0 et I1. En déduire I2 et I3.

4- Montrer que pour tout nÃ1, 0ÂI_n 1 n+1. 5- Déterminer la limite de la suite

( )

^In . Exercice 10

Soit f la fonction définie sur Ë par f(t)=te¹⁻

t 2. Pour tout entier nÃ2, on pose In=

⌡ ⌠

2 n

f(t) dt et Jn=

⌡ ⌠

n n+1

f(t) dt.

1- Déterminer le sens de variation de f.

2- Etudier le sens de variation de la suite

( )

^{In .}

3- Calculer I_n en fonction de n à l’aide d’une intégration par parties et en déduire la limite de

( )

^In .

4- Démontrer que pour tout entier nÃ2, on a : f(n+1)ÂJ_nÂf(n). Déterminer alors le sens de variation de la suite

( )

^{Jn et}

sa limite.

5- Déterminer Sn=

∑

k=2 n−1

J_k en fonction de n.

Exercice 11

On considère la fonction F définie sur [0;+õ[ par F(x)=

⌡ ⌠

0

x 1+te^-tdt.

1- Etudier le sens de variation de F.

2- a. Développer

(

^t+1− 2

)

² et démontrer que pour tout réel tÃ0, t+1Ât+3 2 2 b. En déduire que, pour tout réel xÃ0, F(x)Â 1

2 2

⌡ ⌠

0

x(t+3)e^-tdt 3- Démontrer que pour tout réel xÃ0, F(x)Ã 2 (Aide : utiliser une I.P.P) 4- On considère la suite

( )

^vn définie pour tout entier naturel n par v_n=

⌡ ⌠

0 n

f(t) dt.

a. Etudier le sens de variation de la suite

( )

^{vn .}

b. Démontrer que la suite

( )

^vn converge et que sa limite l satisfait 0Âl 2 (On ne demande pas de calculer l) Exercice 12

1 - Après avoir étudié le sens de variation de la fonction h définie sur [0;+õ[ par h(t)=ln(1+t)−t, montrer que ┐tÃ0 ln(1+t)Ât

2- So it f la fonction définie sur [0;+õ[ par f(x)=ln

(

^1+xe-x

)

de courbe représentative C dans un repère orthogonal. On note A(λ) l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=λ avec λÃ0. Déterminer le sens de variation de la fonction A sur [0;+õ[.