E334 – Les triangles impossibles
Après avoir choisi un point M à l’intérieur du côté BC d’un triangle équilatéral ABC et tracé la projection du point B en O sur la demi-droite AM, Zig s’adresse à Puce en ces termes :
"Le rapport r₁ de la plus grande distance à la plus petite distance qui séparent M des deux points B et C ainsi que le rapport r₂ = aire du triangle ABC / aire du triangle BOC sont deux entiers. Je te donne la seule valeur de r₂. Quelle est la valeur de r₁ ?"
Puce (après quelques minutes de réflexion) : "Je ne sais pas répondre"
Zig : "Tu as raison. Sache que le rapport r₃ = aire du triangle MAB/ aire du triangle MOC est encore un nombre entier".
Puce : "Maintenant, je sais répondre".
Déterminer le rapport r₄ = aire du triangle MAC / aire du triangle MOB.
Solution par Patrick Gordon
On distinguera selon que M est plus proche de C que de B ou l'inverse.
1. M est plus proche de C que de B O est alors intérieur au triangle ABC.
En utilisant le fait que le rapport des aires de deux triangles de même base est celui de leurs hauteurs ou de toutes longueurs proportionnelles à ces dernières, on établit aisément que :
r1 = MB / MC (par définition) r2 = MA / MO
Puis, comme :
aire MAB / aire MOC = (aire MAB / aire MOB) × (aire MOB / aire MOC)
= MA / MO × MB / MC il vient :
r3 = r1 r2
2. M est plus proche de B que de C O est alors extérieur au triangle ABC.
En procédant comme au (1), on établit aisément que : r1 = MC / MB (par définition)
r2 = MA / MO Puis, comme :
aire MAB / aire MOC = (aire MAB / aire MOB) × (aire MOB / aire MOC)
= MA / MO × MB / MC il vient :
r3 = r2 /r1
Si l'on est dans le cas n°1, la donnée de r2 et de ce que r1 et r2 sont entiers suffit à calculer r1
comme nous le verrons ci-après, et la donnée de ce que r3 est entier aussi n'apporte aucune information supplémentaire puisque r3 = r1 r2. On peut donc d'ores et déjà être certain que l'on se trouve dans le cas n°2 car on ne voit pas comment Puce ne trouverait d'abord pas, puis trouverait dès lors qu'on ne lui apporterait aucune information supplémentaire.
Si l'on est dans le cas n°2, comme r3 = r2 /r1, la donnée de ce que r3 est entier aussi apporte une information supplémentaire.
Reste à s'assurer que cette information supplémentaire lève bien l'indétermination.
Il nous faut pour cela calculer r1 et r2. On peut le faire en fonction d'un même paramètre. Nous prendrons, dans les deux cas, l'angle t = MAB, qui suffit à déterminer la figure à une
homothétie près. Le calcul est, en principe, superflu dans le cas 1, mais nous le ferons tout de même, à titre de vérification.
Dans le cas n°1 On établit aisément que :
r1 = sin t / sin (/3 – t)
r2 = sin (/3) / sin t cos (2/3 – t)
Si r1 est un entier = p, en développant son expression ci-dessus, on obtient une relation entre sin t et cos t qui permet d'exprimer tan t en fonction de p, soit :
1) tan t = p√3 / (p+2)
De même, si r2 est un entier = q, en développant son expression ci-dessus, on obtient : q sin t (– ½ cost + √3/2 sint) = √3/2
soit :
2) q√3/2 sin²t – q/2 sint cost = √3/2
Or sin²t et le produit sint cost peuvent s'exprimer en fonction de tan t. En reportant (1) dans (2), et en ordonnant sous forme d'une équation en p, il vient :
3) (2 – q) p² + (2 + q) p + 2 = 0
Cette équation n'a de solution entière positive en p que pour q = 7 ; la solution en p est alors p = 2.
Ainsi, la donnée de ce que r1 et r2 sont entiers suffit à trouver r1 et r2 sans même la donnée de r2.
Dans le cas n°2
Calculons r1 et r2 en fonction d'un même paramètre. Nous prendrons là encore l'angle t = MAB.
On établit cette fois que : r1 = sin (/3 – t) / sin t
r2 = sin t cos (/3 + t) / sin (/3)
Si r1 est un entier = p, en développant son expression ci-dessus, on obtient la même relation entre sin t et cos t qui permet d'exprimer de la même manière tan t en fonction de p, soit :
1bis) tan t = √3 / (2p+1)
De même, si r2 est un entier = q, en développant son expression ci-dessus, on obtient une relation entre sin²t, et le produit sint cost :
4) q/2 sint cost – q√3/2 sin²t = √3/2
Or sin²t et le produit sint cost peuvent s'exprimer en fonction de tan t. En reportant (1bis) dans (4), et en ordonnant sous forme d'une équation en p, il vient :
5) 2 p² + (2–q) p + 2+q = 0.
Cette équation n'a de solution rationnelle positive en p que si son discriminant q² – 12q –12 est un carré, ce qui n'est possible que pour les valeurs entières positives de q = 13, 14, 19.
À ces valeurs q = 13, 14, 19 correspondent respectivement les valeurs entières de p : 7; (2 et 4); 3.
Autre méthode : en ordonnant sous forme d'une équation en q, il vient : q = 2 (p²+p+1) / (p–1).
On retrouve bien, pour les valeurs de p = 2, 3, 4, 7, les valeurs respectives de q = 14, 13, 14, 19.
Il n'y a ambiguïté qu'entre p = r1 = 2 et 4, auxquels correspond le même q = r2 = 14, mais on a vu que, dans ce cas n°2 :
r3 = r2 /r1
Or 14 est divisible par 2 mais non par 4.
Zig a donc donné à Puce la valeur r2 = 14. Puce a hésité entre r1 = 2 et 4, mais quand Zig lui a dit que r3 = r2 /r1 est un entier, il a compris que r1 = 2
Quant à r4, par un raisonnement similaire à celui fait pour r2 et r3, on établit que, dans le cas n°2 :
r4 = r2 r1 = 28
En effet r4 = aire MAC / aire MOB = aire MAC / aire MCO × aire MCO / aire MOB
= MA / MO × MC /MB = r2 r1
Récapitulation On est dans le cas n°2
r1 = 2 r2 = 14 r3 = 7 r4 = 28
