Correction de l’exercice 6

Chapitre 12 : Calcul intégral – correction exercice 6 Page 1 sur 2

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction de l ’ exercice 6

1. Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)=-x²+6x−5 et soit C_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,Åi,Åj) : Unités : 1 cm pour les abscisses et 0,5 cm pour les ordonnées donc 1ua=1×0,5=0,5cm²

(a) Signe de f :

f est un trinôme et son discriminant est ∆=36−4×(-1)×(-5) =36−20=16=4². Donc f admet deux racines réelles : x1=-6+4

-2 =1 et x₂=-6−4

-2 =5 et f est du signe du coefficient de son terme de plus haut degré cad négatif à l’extérieur des racines :

Ainsi,

 



^{┐x☻]-õ;1[∟]5;+õ[ , f(x)<0}

┐x☻{1;5} , f(x)=0

┐x☻]1;5[ , f(x)>0 (b) Déterminons l’aire du domaine délimité par C

f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=2 et x=3 :

┐x☻[2;3], f(x)>0 donc l’aire du domaine délimité par C

f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=2 et x=3 est égale à : A

1=

⌡ ⌠

2 3

f(x)dx ua=

 

 

−1

3x³+3x²−5x

2 3

ua=-27

3 +27−15+8

3−12+10 ua =11 3 u a Or, 1ua=0 ,5cm² donc A

1 = 11

3 ×1 2=11

6 cm² (c) Déterminons l’aire du domaine délimité par C

f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-2 et x=0 :

┐x☻[-2;0], f(x)<0 donc l’aire du domaine délimité par C_f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-2 et x=0 est égale à : A₂= -

⌡ ⌠

-2 0

f(x)dx ua =-

 

 

−1

3x³+3x²−5x

-2 0

u a =-

 

 

0−⁸

3+12+10 ua=74 3 u a Or, 1u a=0,5cm² donc A

2 =74

3 ×1 2=37

3 cm² (d) Déterminons l’aire du domaine délimité par C

f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-1 et x=4 :

┐x☻[-1;1], f(x)<0 et ┐x☻[1;4], f(x)>0 donc l’aire du domaine délimité par C

f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-1 et x=4 est égale à :

A₃= -

⌡ ⌠

-1

1f(x)dx+

⌡ ⌠

1 4

f(x)dx u a=-

 

 

−1

3x³+3x²−5x

-1 1 +

 

 

−1

3x³+3x²−5x

1 4

ua =-

 

 

-¹

3+3−5−¹

3−3−5 −64

3 +48−20+1

3−3+5 ua=-

 

 

-²

3−10 −63

3 +30 ua =-61

3 +40 ua=59 3 u a Or, 1u a=0,5cm² donc A

3 =59

3 ×1 2=59

6 cm²

2. Soit g la fonction définie sur Ë par g(x)=-

(

^x2+4x−5

)

e^-2x et soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unités 2cm.

Unités : 2cm donc 1ua=2×2=4cm²

a. Déterminer le signe de g(x) en fonction des valeurs de x.

Sont u:x→x²+4x−5. u est un trinôme du second degré dont le discriminant est ∆=36>0 donc u admet deux racines réelles distinctes x1=-4−6

2 =-5 et x_é=-4+6

2 =1 et u est du signe du coefficient de son terme de degré 2 sauf entre les racines donc

 



^{u(x)>0ñx☻]-õ;-5[∟]1;+õ[}

u(-5)=u(1)=0 u(x)<0ñx☻]-5,1[

Or, ┐x, e^-2x>0 donc

 



^{g(x)>0ñx☻]-5;1[}

g(-5)=g(1)=0

g(x)<0ñx☻]-õ;-5[∟]1;+õ[

Chapitre 12 : Calcul intégral – correction exercice 6 Page 2 sur 2 b. Soit G la fonction définie sur Ë par G(x)=

 

 

x² 2 +^5x

2 −⁵ 4 e

-2x

. Montrer que G est une primitive de g sur Ë. G est dérivable sur Ë comme produit de fonctions dérivables sur Ë et

┐x G′(x)=

 

 

x+⁵ 2 e

-2x−2

 

 

x² 2+^5x

2 −⁵ 4 e

-2x

=

 

 

x+⁵

2−x²−5x+⁵ 2 e

-2x=-

(

^x2+4x−5

)

e^-2x =g(x) Donc G est bien une primitive de g sur Ë.

c. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=4.

┐x☻[1;4], g(x)Â0 donc l’aire du domaine délimité par C

g, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1 et x=4 est égale à A₁=-

⌡ ⌠

1 4

g(x) dx u a =-

 

 

G(x)

1

4 u a = -(G(4)−G(1) )u a=- 67 4 e^-8+7

4e^-2u a Or, 1ua=4cm² donc A

1=7e^-2−67e^-8 cm²

d. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=-2 et x=0.

┐x☻[-2;0]; g(x)Ã0 donc l’aire du domaine délimité par C_g, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=-2 et x=0 est égale à A₂=

⌡ ⌠

-2 0

g(x) dxu a=

 

 

G(x)

-2

0u a=(G(0)−G(-2))u a=-5 4+17

4 e⁴ua Or, 1u a=4cm² donc A₂=17e⁴−5 cm² .

e. Déterminer, en unités d’aire puis en cm ², l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=2.

┐x☻[0;1] g(x)Ã0 et ┐x☻[1;2] g(x)Â0 donc l’aire du domaine délimité par C

g l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0 et x=2 est égale à A

3=

⌡ ⌠

0 1

g(x) dx−

⌡ ⌠

1 2

g(x) dx u a =

 

 

G(x)

0 1−

 

 

G(x)

1 2

u a

=G(1)−G(0)−(G(2)−G(1))u a=2G(1)−G(0)−G(2)ua=7 2e^-2+5

4−23 4 e^-4 ua Or, 1ua=4cm² donc A₃=14e^-2−23e^-4+5 .

3. Soit h la fonction définie sur Ë par h(x)=x+1+e^-x et soit C_h sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,Åi,Åj) : Unités : 0,5 cm donc 1u a=0,5×0,5=0,25cm²

(e) Démontrons que la droite ∆ d’équation y=x+1 est asymptote oblique à C_h au voisinage de +õ et étudions la position de C_h par rapport à ∆ sur [0;+õ[ :

lim

x↔+õ h(x)−(x+1)= lim

x↔+õe^-x= lim

X↔-õe^X=0

Donc la droite ∆ d’équation y=x+1 est asymptote oblique à C_h au voisinage de +õ .

De plus ┐x☻Ë, h(x)−(x+1) =e^-x>0 cad h(x)>(x+1) donc C_h est strictement au dessus de ∆ sur Ë.

(f) Calculons l’aire du domaine délimité par C_h, ∆ et les droites d’équations x=1 et x=3 :

On a montré que ┐x☻Ë, h(x)−(x+1)>0 donc l’aire du domaine délimité par C_h, ∆ et les droites d’équations x=1 et x=3 est égale à :

A =

⌡ ⌠

1

3h(x)−(x+1)dx ua=

⌡ ⌠

1 3

e^-xdx u a =

 

 

−e^-x

1

3 u a =-e^-3+e^-1 u a=1 e−1

e³ u a=e²−1 e³ u a. Or, 1u a=0,25cm² donc A =1

4×e²−1

e³ = e²−1 4e³ cm²