Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 11 (04/01 – 08/01)
Après avoir donné un exercice sur le thème principal (intégration), on pourra donner un exercice de révision sur les thèmes abordées depuis les dernières vacances (chapitres rappelés ci-dessous).
Chapitre 6 : Rationnels et réels Chapitre 7 : Nombres complexes
Chapitre 8 : Continuité, dérivation et études de fonctions
Ce chapitre est à vocation essentiellement technique et calculatoire. Les élèves doivent maîtriser les différentes tech- niques de dérivation, avec assurance et efficacité, et savoir mener une démarche complète d’étude de fonction. Le cadre d’étude est celui des fonctions d’un sous-ensemble deRà valeurs dansR, ou éventuellementC.
Chapitre 9 : Fonctions usuelles Chapitre 10 : Calcul intégral
L’intégration n’est abordée dans ce chapitre que sous un angle calculatoire. Il n’est pas dans l’esprit de ce chapitre de donner des exercices théoriques sur les intégrales. Le point de départ du cours est le théorème fondamental du calcul intégral, démontré en admettant certaines propriétés des intégrales.
1. Calcul intégral et primitivation
‚ Le point de départ (liste de résultats admis provisoirement)
˚ Croissance, positivité et stricte positivité de l’intégrale (admis)
˚ Inégalité triangulaire intégrale(admis)
‚ Primitives
˚ Notion de primitive, unicité à constante près sur un intervalle.
˚ Existence d’une primitive d’une fonction continue. Expression intégrale d’une primitive d’une fonction continue (Newton)
˚ Théorème fondamental du calcul des intégrales (expression de l’intégrale comme variation d’une primi- tive).
‚ Techniques élémentaires de primitivation
˚ Primitives des fonctions usuelles, et de composées. Usage de la primitivation « à vue ».
˚ Méthode : primitivation des inverses de trinômes.
2. Techniques de calcul intégral
‚ Intégration par parties
˚ Formule d’IPP et d’IPP itérée pour le calcul intégral.
˚ Formule de Taylor avec reste intégral.
˚ Inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordrenpour une fonctionCn`1.
˚ Expression de l’IPP pour la primitivation. Primitive de ln.
‚ Changement de variables
˚ Formule de changement de variables.
˚ Intégrales de fonctions impaires, paires.
‚ Dérivation d’intégrales dépendant de leurs bornes
˚ Formule de dérivation
˚ Intégrale d’une fonction périodique sur une période.
3. Rapide introduction aux intégrales impropres
NB : Il n’est pas attendu à ce stade que les élèves maîtrisent parfaitement toutes les techniques d’étude des intégrales impropres. Le but de ce paragraphe est uniquement de donner quelques outils permettant de se débrouiller si une intégrale impropre apparaît au détour d’un chemin. L’étude systématique des intégrales généralisées est au programme de Spé.
‚ Convergence d’une intégrale d’une fonction continue sur ra, br.
‚ Théorème de comparaison pour l’étude de la convergence d’intégrales de fonctions positives : inégalité,O (notation introduite à l’occasion, les élèves n’en ont pas de réelle pratique pour le moment),o (à peu près la même remarque),„(de même).
‚ Intégrales de Riemann en`8et en0.
‚ Pour cette année, il est demandé aux élèves de revenir systématiquement à une intégrale sur un segment pour réaliser une IPP ou un changement de variables.
NB : Nous avons démontré en parallèle les résultats similaires pour l’étude de la convergence des séries, et nous avonns admis les propriétés de convergence des séries de Riemann
Chapitre 11 : Équations différentielles linéaires
Conformément au programme, ne sont traitées ici que les EDL du premier ordre à coefficients variables et les EDL du second ordre à coefficients constants.
NB : uniquement le cours cette semaine(pas encore d’exercice traité en classe) 1. Généralités sur les EDL
‚ Notion d’équation différentielle.
‚ Équations différentielles linéaires, systèmes d’équations linéaires.
‚ Théorème de structure pour une EDL. Les élèves doivent savoir que l’ensemble des solutions est obtenu en ajoutant une solution particulière à l’ensemble des solutions de l’équation homogène, et que l’ensemble des solutions de l’EH est stable par CL. La terminologie d’espace affine a été évoquée, sans plus.
‚ Principe de superposition.
2. EDL d’ordre 1
‚ Les élèves doivent savoir se ramener à la formey1“apxqy`b, quitte à restreindre le domaine d’étude à une union d’intervalles disjoints et ensuite à recoller les solutions si c’est possible.
‚ Résolution de l’équation homogèney1“apxqy.
‚ Méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière dey1 “apxqy`bpxq.
‚ Théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas des EDL d’ordre 1.
3. EDL d’ordre 2 à coefficients constants
‚ Recherche d’une solution de l’ED homogène sous forme exponentielle.
‚ Recherche de l’ensemble des solutions de l’ED homogène par une méthode du type variation de la constante.
Méthode à retenir pour pouvoir l’adapter à des situations où les coefficients ne sont pas constants (la connaissance d’une solution particulière de l’EH donne accès à toutes les solutions)
‚ Polynôme caractéristique. Expression des solutions dans C d’une EDL homogène d’ordre 2 à coefficients constants.
‚ Description des solutions réelles d’une EDL homogène d’ordre 2 à coefficients constants réels.
‚ Théorème de Cauchy-Lipschitz pour les EDL homogènes d’ordre 2 à coefficients constants.
‚ Recherche d’une solution particulière d’une équation avec second membre, dans les situations particulières suivantes :
fpxq “Ppxqeλx, fpxq “Ppxqcospωtq fpxq “Ppxqsinpωtq,
oùPest un polynôme. Les élèves doivent notamment savoira priori le degré du polynômeQdans l’expression de la solution recherchée suivant l’ordre de multiplicité deλen tant que racine du polynôme caractéristique.
