Chapitre 12 – Calcul intégral –Activité Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 12 – Calcul intégral - Activité
ACTIVITE 1
Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle [a;b] telle qu’il existe des réels a0 a1, a2, …an de [a;b] avec a=a0<a1
<a2<…<an=b.
Si, ┐x☻
]
ai;ai+1[
(avec i un entier naturel compris entre 0 et n−1), f est constante, alors on dit que f est une fonction en escalier.On donne ci-contre la représentation graphique, dans un repère orthonormé d’unité graphique 5mm, d’une fonction en escalier f définie sur [-2;10].
1- On donne les premiers éléments de l’expression algébrique de f.
Compléter le système
f(-2)=2┐x☻]-2;0[, f(x)=1
…
.
2 - On note x0=-2, x1=0, x2=1, …, x7=10 et on appelle Ai (i entier variant de 0 à 6) l’aire de l’ensemble des points M(x;y) du plan tels que xi<x<xi+1 et 0ÂyÂf(x). Enfin, on appelle A=
∑
i=0 6
Ai.
a. H a c h u r e r s u r l e g r a p h i q u e , l e d o ma i n e a y a n t p o u r a i r e A e t d é t e r mi n e r g r a p h i q u e me n t A e n cm2. b. Vérifier que A=
∑
i=0 6
(
xi+1−xi)
×ci où ci est la valeur prise par f sur l’intervalle]
xi;xi+1[
.3- On note Bi l’aire de l’ensemble Ei des points M(x;y) du plan tels que x=xi et 0ÂyÂf
( )
xi (pour i variant de 0 à 6).Quelle est la nature des ensembles Ei, on déduire la valeur de Bi.
4- En déduire que l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses er les droites d’équations x=-2 et x=10 est A.
Remarque : On verra dans ce chapitre que pour une fonction positive sur un intervalle [a;b], l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b s’appelle intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a;b] et se note
⌡ ⌠
a b
f(x) dx .
ACTIVITE 2
L’objectif de cette activité est de tenter d’évaluer l’aire A du domaine du plan délimité par la courbe représentative de la fonction carrée, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1.
On cherche donc à déterminer une valeur approchée de l’aire du domaine hachuré sur la figure ci-contre.
0 1
1
x y
4 6 8 10
-2 4
0 2
2
x y
Chapitre 12 – Calcul intégral –Activité Page 2 sur 2 1- Un encadrement grossier
a. Donner un encadrement de l’aire A en "petits carreaux".
b. Sachant qu’un petit "carreau" à une aire de 0,25 cm2, donner un encadrement de A.
2- Une approche plus fine
On partage l’intervalle [0;1] en n intervalles de longueur 1
n (avec n un entier naturel non nul) à l’aide des nombres a0=1, a1=1 n ,
…,ak= k n ,…,a
n
=1.
Sur chaque intervalle
[
ak;ak+1]
(avec k☻{0;1;…;n−1}, on construit les rectangles Rk et R′k des hauteurs respectives f( )
ak etf
(
ak+1)
. On appelle Un et Vn les sommes respectives des aires des rectangles Rk et R′k. A. Exemple avec n=5a. Sur le graphique précédent, représenter les rectangles Rk (en vert) et R′k (en rouge) lorsque k☻{0;1;2;3;4}.
b. En déduire un encadrement à 10-2 près de l’aire A du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction carrée, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=1.
B. Cas général : n est quelconque.
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, Un=1
n
[
f( )
a0 +f( )
a1 +…+f(
an−1) ]
et Vn=n1[
f( )
a1 +f( )
a2 +…+f( )
an]
.b. En déduire un encadrement de l’aire A en fonction de n.
c. Montrer par récurrence que pour tout entier n non nul,
∑
k=1 n
k2 = n(n+1)(2n+1)
6 .
d. Exprimer Un et Vn en fonction de n et prouver que les deux suites
( )
Un et( )
Vn convergent vers la même limite.e. En déduire la valeur exacte de A. Remarques :
On pourrait montrer que les suites
( )
Un et( )
Vn sont adjacentes.Généralisation : Pour une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b peut être approchée en l’encadrant par deux suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement.
0 1
1
x y
