Chapitre 10 : Fonctions usuelles

Chapitre 10 : Fonctions usuelles

I – Fonctions affines et linéaires :

Définition 1: On appelle fonction linéaire toute fonction définie surℝ par : f x=m x où m est un nombre réel.

Propriété 1: Soit f une fonction linéaire avec f x=m x :

• Si m0 , alors f est croissante surℝ.

• Si m0 , alors f est décroissante surℝ.

Propriété 2 : Soit f une fonction linéaire avec f x=m x, alors la représentation graphique de f dans un repèreO,i ,jest une droite passant par l'origine.

Exemples : Donner les variations et le tracé des fonctions f et g, définies par : f x=3x , gx=−1

2x.

Définition 2 : On appelle fonction affine toute fonction définie surℝpar : f x=m xp où m et p sont des nombres réels.

Propriété 3 : Soit f une fonction affine avec f x=m xp :

• Si m0 , alors f est croissante sur ℝ.

• Si m0, alors f est décroissante sur ℝ.

Propriété 4 : Soit f une fonction affine avec f x=m xp, alors la représentation graphique de f dans un repère O,i ,j est la droite d'équation y=m xp.

Exemples : Donner les variations et le tracé des fonctions f et g, définies par : f x=−2x3,gx=1

3x−1

II - Fonction carré :

Définition 3 : On appelle fonction carré la fonction définie sur ℝ par : f x=x². Propriété 5 : La fonction carré est paire, c'est-à dire que :

1. Pour tout x∈D_f ,−x∈D_f. 2. Pour tout ^x∈Df , f−x=f x.

On en déduit que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées en repère orthogonale.

Propriété 6 : La fonction carré est décroissante sur ]−∞,0] et croissante sur[0,∞[

Comportement de la fonction carré au voisinage de l'infini.

x 1 10 20 100 10000 50000 100000

x²

x² peut être rendu aussi grand que l'on veut dès que x est suffisamment grand. On dit que x² tend vers

∞ lorsque x tend vers ∞.

De même, x² tend vers ∞ lorsque x tend vers −∞ (symétrie de la courbe) On en déduit le tableau de variation de la fonction carré.

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x −∞ 0 ∞

x² ∞ ∞

Représentation graphique de la fonction carré :

III – Fonction inverse :

Définition 4 : On appelle fonction inverse la fonction définie sur ℝ^* par : fx=1 x . Propriété 7 : La fonction inverse est impaire, c'est-à dire que :

1. Pour tout ^x∈Df ,−x∈D_f.

2. Pour tout x∈D_f , f−x=−f x.

On en déduit que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

Propriété 8 : La fonction inverse est décroissante sur]−∞, 0[et décroissante sur]0, ∞ [ Comportement de la fonction inverse au voisinage de l'infini.

x 1 10 20 100 10000 50000 100000

1 x 1

x peut être rendu aussi proche que l'on veut de 0 dès que x est suffisamment grand. On dit que 1 x tend vers 0 lorsque x tend vers ∞.

De même, 1

x tend vers 0 lorsque x tend vers −∞ (symétrie de la courbe)

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0

Comportement de la fonction inverse au voisinage de 0.

x 1 0,1 0,05 0,01 0,005 0,0001 0,000001

1 x

On peut rendre 1

x positif aussi grand que l'on veut dès que x est positif suffisamment proche de 0.

On dit que 1

x tend vers ∞ lorsque x tend vers 0 en restant positif.

De même, 1

x tend vers −∞ lorsque x tend vers 0 en restant négatif (symétrie de la courbe).

On en déduit le tableau de variation de la fonction inverse.

x −∞ 0 ∞

1 x

0

−∞

∞

Représentation graphique de la fonction inverse :

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