Chapitre 3 Fonctions usuelles

Mathématiques – cours : Chap 3 : fonctions usuelles

1

Chap 3 : Fonctions usuelles

I. Fonctions réciproques

Les fonctions réciproques conservent la croissance et la continuité.

Si f ne s’annule pas sur l’intervalle considéré, ¹ 1 ₁ ( ) '

f '

f f

−

= −



II. Fonctions circulaires réciproques

1

2 2;

[ 1;1] ;

2 2 arcsin

sin ( )

x _{π π} x

π π

−

− 

 

 

 − → − 

  

  

  

  

 

[ ]

1 [0, ]

[ 1;1] 0, arccos

(cos ) ( )

x _π x

π

−

 − →



 

1

2 2;

2 2;

arctan

tan ( )

x _{π π} x

π π

−

− 

 

 

 → − 

  

  

  

  







2 2 2

1 1 1

arcsin'( ) arccos'( ) arctan'( )

1 1 1

x x x

x x x

= = − =

− − +



2 2;

arcsin(sin ) cos tan arctan

arcsin arctan arccos

Pour tout , on n'a pas nécessairement , et de même pour et sont impaires, n'a pas de parité

x x x Id

π π ∈

 

∈ − 

∈ = = _



  

III. Rappels sur exp et ln

*

*

exp ,

ln exp.

réalise une bijection strictement croissante de sur et est continue et dérivable sur est la fonction réciproque de Elle réalise une bijection strictement croissante de sur ,

et

+

+

  

  est continue et dérivable sur *+

2

2

*

,exp'( ) exp( ) ( , ) ,exp( ) exp( ) exp( )

,ln'( ) 1 ( , ) ,ln( ) ln( ) ln( )

x x x x y x y x y

x x x y x y x y

+ x

∀ ∈ = ∀ ∈ + = ×

∀ ∈ = ∀ ∈ × = +

 

 

* *

, x *,x exp( ln( ))x f_a

x x

α

α ₊ α ^{ + →}α ⁺

∀ ∈ ∀ ∈ = 



 

 



* *

*

*

0,

0, 0

,

1, 1,

Si est constante égale à 1

Si est une bijection strictement croissante de dans (décroissante si )

Si est strictement croissante Si es

x a a

a

f f

a g

x a

a g_α a g_α

α

α _{+ +} α

+ +

− =

− > <

 →

∀ ∈ 



− > − <

 

 

 

t strictement décroissante

* 1

2 2

, '( ) '( ) ln( )

( , ) , ( , ) ln( ) ln( )

x

x f x x ga x a a

x y x x x x x

α

β β

α

α α

α

α

α β ₊ α

−

+

∀ ∈ = =

∀ ∈ ∀ ∈ = =



 

Mathématiques – cours : Chap 3 : fonctions usuelles

2

* 2

*

0

(ln )

( , ) , lim 0, lim , lim | ln | 0

lim ln 0

1, , lim

x

x x x

x x

x

x e

x x

x x x

x a

a x

α α

α β

β β

β

α β β

+

+

→+∞ →+∞ →

→+∞

→+

+

+ ∞

∀ ∈ = = +∞ =

= ⇒ 

∀ > ∀ ∈ = +∞







Preuve :

/ /

1 1 (ln ) ln( ) ln

... : , lim

Lemme intégrales Cor 1

a x

x x X

t t x x X X

α α

α β α

β β α

α α

β β ^→+∞

     

⇒ ≤ = ×  =      = +∞

IV. Fonctions hyperboliques

ch : sh : th : sh

2 2 ch

Cosinus sinus et tangente hyperboliques : e^x e ^x e^x e ^x x

x x x

x

− −

→ → →

  

  

 +  − 

  

 

     

  

ch sh th

( et sont les parties paire et impaire de l'exponentielle réelle) est impaire

2 2

2 2

ch' sh sh' ch th' 1 th 1

ch ,ch( ) | sh( ) | ch sh 1

ch( ) ch ch sh sh sh( ) sh ch ch sh

arg sh : arg ch :[1, [ arg th :] 1;1[

arg sh'(

On définit leurs fonctions réciproques :

(impaire) (impaire)

x x x

a b a b a b a b a b a b

+

= = = − =

∀ ∈ > − =

+ = + + = +

→ +∞ → − →



   

2 2 2

1 1 1

) arg ch'( ) arg th'( )

1 1 1

x x x

x x x

= = =

+ − −

2 2 1 1

arg sh( ) ln( 1) arg ch( ) ln( 1) arg th( ) ln

2 1

Expressions explicites : x

x x x x x x x

x

 + 

= + + = + − =  − 

V. Exponentielle complexe

exp * ( , ) ( *, )

(cos sin ) est un morphisme de groupe de dans surjectif

x iy x

z x iy e e e y i y

 →

+ ×

 = + = +



 

 



, , '( ) exp( )

exp( ) est dérivable sur :

a t t a at

t at

ϕ → ϕ

∈  ∀ ∈ =



 

  



2 2

arg( ) 2arctan

\ y

z x iy z

x x y

θ ^ ^

= + ∈ = =

 + + 

 

 