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www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
Soit f la fonction définie par : f x( )x3x23x1
1/ Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera
2/ Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution 1, 0 3
Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur [0,1] par f x( )2 xx.
1/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 , à gauche en 1 et déterminer le domaine de dérivabilité de f .
2/ Etudier les variations de f et montrer que f réalise une bijection de [0,1] sur un intervalle que l’on précisera.
3/ Déterminer l’expression de f -1
4/ Etudier la dérivabilité de f -1 et déterminer sa fonction dérivé.
Exercice 3:
Soit la fonction f définie par f x( ) 4x2 x 2x1
1/ a) Etudier la continuité de f sur son domaine de définition b) déterminer le domaine de dérivabilité de f puis calculer f’(x).
2/ a) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur un intervalle J que l’on déterminera .
b) Etudier la dérivabilité et la continuité de f -1 sur J . 3/ Expliciter f -1(x) pour tout x de J
4/ Montrer que l’équation f(x)=2 admet dans IR+ une solution unique 0,1
2
Exercice4:
Soit f la fonction définie sur D= 0, 2
par ( ) 1 f x cos
x. 1/ a) Montrer que f est dérivable sur D .
b) Etudier les variations de f et montrer qu’elle réalise une bijection de 0,
2
sur un intervalle I que l’on précisera
2/ étudier la dérivabilité de f -1 en 1 . 3/ Montrer que f -1 est dérivable sur I\{1 } et calculer (f -1)’(x)
Exercice 5:
f est la représentation graphique d’une fonction f dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
1/ a)Déterminer le domaine de définition Df de f
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www.zribimaths.jimdo.com Page 2 b) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaines Df .
2/ f est elle dérivable à gauche en 2? Justifier ta réponse.
3/ dresser le tableau de variation de f . 4/
a) Montrer que f est une bijection de Df sur un intervalle J que l’on déterminera .
b) f -1 est elle dérivable à droite en 0? Justifier ta réponse.
c) Compléter la figure par la courbe ' de f -1.
f
Exercice 6:
Soit f la fonction définie par : f x: x22xx. 1/ Déterminer le domaine de définition Df de f . 2/ Montrer que f est dérivable sur
, 2
0,
3/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat trouvé .
4/ Dresser le tableau de variation de f sur
0,
5/ a) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur l’intervalle J que l’on précisera.
b) Exprimer f -1(x) pour tout x de J . Exercice 7:
Soit f : ]-,[ R x tg (
2 x )
1/ montrer que f est dérivable sur ]- , [et calculer sa fonction dérivée.
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www.zribimaths.jimdo.com Page 3 2/ étudier les variations de f.
3/ démontrer que f est une bijection de ]-,[ surIR. calculer f -1(1) et (f -
1)’(1).
4/ démontrer que f -1 est dérivable sur IR et expliciter (f-1)’(x) pour tous x
R.
Retrouver (f-1)’(1).
Exercice 8:
I- g est la fonction définie sur IR par :
( ) 1 2
1 g x x
x
1/ Déterminer les limites de g en + et en -. 2/ Montrer que g est dérivable surIR.
3/ Dresser le tableau de variation de g .
4/ Montrer que g est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera
II- Soit f la fonction définie sur IR par : f x( ) x 2 x21
1/ Déterminer les limites de f en + et en -. 2/ Dresser le tableau de variation de f .
3/ Montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle I que l’on précisera
4/ Montrer que l’équation f(x) = 4 admet une unique solution dans ]-2, 0[
5/ Déterminer f -1(3) et (f -1)’(3)
6/ Expliciter l’expression de f -1(x) pour x de I . Exercice 9:
Soit f la fonction définie par : f x( )2x 4x21. I/
1/ Déterminer Df.
2/ Montrer que f est dérivable sur 1, 2
puis calculer f’(x) 3/ Etudier la dérivabilité de f à droite en 1
2 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
II/ Pour tout x de 0, 2
, on pose ( ) 1 2 cos
h x x et g x( )
f h x
( ).1/ Montrer que h est dérivable sur 0, 2
. 2/ Déterminer h< 0,
2
> .
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www.zribimaths.jimdo.com Page 4 3/ a)Montrer que g est dérivable sur 0,
2
b) prouver que g'(x)=1 sin
cos ² x x
; pour tout x 0, 2
5/ Montrer que g réalise une bijection de 0, 2
sur un intervalle que l’on précisera
Exercice 10:
On considère la fonction f définie par f(x)=2 x ² 1
1 x ²
.
1/ montrer que f réalise une bijection de ]1,+∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
2/ déterminer f -1(x) pour tout xJ.
3/ soit la fonction g définie sur ]0,
2
[ par g(x)= 1
sin x . a) montrer que g réalise une bijection de ]0,
2
[ sur un intervalle I que l'on précisera.
b) Montrer que g -1 est dérivable sur I et calculer g -1(2) et (g -1)'(2).
Exercice 11:
Soit f : x x 1 x ² 1
2 4 pour x]-∞,-2].
1/ calculer
x
lim f ( x )
.
2/ montrer que f est continue sur son domaine de définition.
3/ a) étudier la dérivabilité de f à gauche de -2, interpréter géométriquement ce résultat.
b) montrer que f est dérivable sur ]-∞,-2[.
c) prouver que f'(x)= 1 1
x ² x ²
1 2 1 x
4 4
d) dresser le tableau de variations de f.
4/ montrer que f réalise une bijection de ]-∞,-2] sur un intervalle J que l'on précisera.
5/ on désigne par f -1 la réciproque de f.
a) étudier la dérivabilité de f -1 à droite en -1, interpréter géométriquement ce résultat.
b) Déterminer le domaine de dérivabilité de f -1. c) Expliciter f -1(x) ,pour xJ.
Exercice 12:
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www.zribimaths.jimdo.com Page 5 Soit f la fonction définie sur [3,+∞[ par f(x)=2- x 3 .
1/ dresser le tableau de variations de f.
2/ montrer que f réalise une bijection de [3,+∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
3/ a) calculer f -1(0).
b) montrer que f -1 est dérivable en 0 et calculer (f -1)'(0).
4/ déterminer le domaine de continuité et de dérivabilité de f -1. 5/ calculer f -1(x) pour xJ.
Exercice 13:
On considère la fonction f définie par f(x)=x+1+ x1. 1/ déterminer le domaine de définition de f.
2/ a) étudier la dérivabilité de f à droite en -1; interpréter géométriquement ce résultat.
b) montrer que f est dérivable sur ]-1,+∞[ et calculer f '(x).
c) dresser le tableau de variations de f .
3/ déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 0.
4/ montrer que l'équation f(x)= -x admet au moins une solution]-1,0[.
5/ a) montrer que f est une bijection de [-1,+∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
b) montrer que f -1 est dérivable sur J.
c) vérifier que f(0)=2 et calculer (f -1)'(2).
d) déterminer f -1(x) pour tout xJ.
Exercice 14:
Soit f :x 1 x x ² 3 . 1/ étudier les variations de f.
2/ montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l'on précisera.
3/ a) calculer f(1).
b) f -1 est-elle dérivable en 2?
4/ a) expliciter f -1(x) pour xJ.
b) montrer que l'équation f -1(x)=x admet une unique solution
]1 , 2 [ .
