f. d. e. a. b. c. Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur : 3A.2 E h. i. g. d. e. f. b. a. c. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, dérivables sur : 3A.1 R E F E 3A

www.mathsenligne.com FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 3A

RAPPEL

  ^e

^{x '}

^e

^x

  ^e

^{u x  'u x'}

^{  e}

^{u x }

EXERCICE 3A.1

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, dérivables sur :

a. ^{f x}

 

^2

^e

^xx b. ^{f x}

 

^x2

^e

^{x c. f x}

 

^x

^e

^xx

d. ^{f x}

 

^x

x



e

e. ^{f x}

 

^

 ^{x }

³

^e

^x



^{2 f. f x}

^{ }

^

  ^e

^{x 2}

g. ^{f x}

 

^x_x



e

h.

 

¹

2 1

x f x

e

x

e

 

 i.

 

₂¹

1 3 ^x

f x x

e



 

EXERCICE 3A.2

Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur :

a. ^{f x}

 

^

^e

^{4x5 b. f x}

 

^

^e

^{3 2x c. f x}

 

^

^

⁵

^e

^{ 3 8x}

d. ^{f x}

 

^{10x28x5}

^e

^{3 7 x e. f x}

 

^



^{3 2 x2}

 ^e

^{2 4 x f. f x}

 

^ ₂^{2 5}

5 2

x x x

e

^

 

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CORRIGE – Notre Dame de La Merci – Montpellier EXERCICE 3A.1

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes, dérivables sur : a. ^{f x}

 

^2

^e

^xx

 

' 2 ^x 1

f x 

e



b. ^{f x}

 

^x2

^e

^x

 

²

' 2 ^{x x}

f x  x

e

x

e

   

' ^x 2

f x x

e

x

c. ^{f x}

 

^x

^e

^xx

on pose : ^{u x}

 

^{x et v x}

 

^

^e

^x

^{u x'}

 

^{1 et v x'}

 

^

^e

^x

 

' ^{x x} 1

f x 

e

x

e



 

' ^x 1 ^x 1

f x 

e

 

e

 x

   

' ^x 1 1

f x 

e

 x d. ^{f x}

 

^x

x



e

 

₂ ¹

'

x x x

f x

x

e

 

e





   

2 ' 1

x x f x

x

e





e. ^{f x}

 

^

 ^{x }

³

^e

^x



²

    

' 2 3 ^x 1 3 ^x

f x 

x



e



e

f. ^{f x}

 

^

  ^e

^{x 2}

^{f '}

 

^x ²

e

^x

e

^x

^{f '}

 

^{x 2}

^e

^2x

g. ^{f x}

 

^x_x



e

   

²

'

x x

x f x

e

x

e

e

 

  

¹



'

x

x x

f x

e

x

e e

 



  

¹



' _xx

f x

e

 

h.

 

¹

2 1

x f x

e

x

e

 



     

 

²

2 1 1 2

'

2 1

x x x x

f x

e e

x

e e

e

   





   

2 2

2

2 2 2

'

2 1

x x x x

x

f x

e e e e

e

 







   

²

'

2 1

x

f x x

e

e





i.

 

₂¹

1 3 ^x

f x x

e



 

soit : ^{u x}

 

^3

^e

^{x1et v x}

 

^{ 1 x2}

^{u x'}

 

^3

^e

^{x et v x'}

 

^{ 2x}

      ^{ }

 

2 2 2

3 1 1 2

'

1

x x 3 x x

f x

x

e

  

e

  

 

   

 

2 2 2

3 3 2

'

1

x x 6 x x

f x

x

e

   x

e







   

 

2 2 2

3 6 3 2

'

1

x x x x

f x

x

e

    

 

EXERCICE 3A.2

Dans chaque cas, déterminer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur :

 

^{x 4x 5}

f



e

^

 

^{4 4 5}

' x ^x

f



e

^

 

^{x 3 2x}

f



e

^

 

^{2 3 2}

' x ^x

f

 

e

^

 

^{x 5 3 8x}

f



e

^{ }

 

⁵

 

^{8 3 8}

' x ^x

f

  

e

^{ }

 

^{40 3 8}

' x ^x

f



e

^{ }

 

^{10 2 8 5 3 7x}

f x  x  x

e

^

   

^{3 7}

' 10 2 8 5 7 ^x

f x   x   

e

^

 

^{3 7}

' 20 8 35 ^x

f x  x 

e

^

www.mathsenligne.com FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 3A

e. ^{f x}

 

^



^{3 2 x2}

 ^e

^{2 4 x}

On pose : ^{u x}

 

^{ 3 2x2 et v x}

 

^

^e

^{2 4x}

^{u x'}

 

^{ 4x et v x'}

 

^4

^e

^{2 4 x}

^{f '}

 

^{x }



^4x

 ^e

^{2 4 x }



^{3 2x2}



^4

^e

^{2 4 x}

^{ }



^4x

 ^e

^{2 4 x}



^{12 8 x2}

 ^e

^{2 4 x}

^



^{12 4 x8x2}

 ^e

^{2 4 x}

^{ 4}



^{2x2 x 3}

 ^e

^{2 4 x}

f. ^{f x}

 

^ ₂^{2 5}

5 2

x x x

e

^

 

On pose : ^{u x}

 

^

^e

^{2 5x} et ^{v x}

 

^{5x2 x 2}

^{u x'}

 

^{ 5}

^e

^{2 5 x et v x'}

 

^10x1

^{f '}

 

^{x }

  ^{ }

 

2 2 2

2 5 2 5

5 5 2 10 1

5 2

x x x x x

x x

e

^

e

^

     

 

  ^{ }

 

2 2 2

2 5 25 5 10 2 5 10 1

5 2

x x x x x

x x

e

^     

e

^ 

  

 

 

2 2 2

2 5 25 15 11

5 2

x x x

x x

e

^    



 