Chapitre 6 – TD 1 Analyse continue 3
Fonctions réciproques
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Justifier si une fonction admet une réciproque ou non ;
• Tracer la courbe réciproque d’une fonction ;
• Déterminer l’expression de la réciproque d’une fonction ; 6.1 Soitf la fonction définie sur ]1; +∞[ parf(x) = x
lnx. 1. Tracer la courbe de f dans un repère orthonormal.
2. Donner le plus grand intervalle sur lequel f admette une fonction réciproque. Quel est l’ensemble de définition def−1?
3. Tracer sur l’intervalle déterminé, la représentation graphique de f−1, fonction réciproque de f.
6.2 Pour toutx >0, on pose f(x) = 4 + lnx−2x2. 1. Étudier les variations def.
2. f admet-elle une fonction réciproque sur ]0; +∞[ ? Justifier.
3. Prouver que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; 1 2].
4. Donner une valeur approchée à 10−2 près de cette solution. (Indiquer les étapes).
6.3 Soitf la fonction définie sur R parf(x) = ex2−1. 1. Etudier les variations def.
2. Tracer sa courbe représentative Cf.
3. f admet-elle une fonction réciproque sur R? justifier.
4. Trouver un intervalle où f admette une fonction réciproque notée f−1.
5. Tracer sur le même graphique la courbe de f−1 et exprimer f−1(x) en fonction de x.
6.4 Soitf la fonction définie sur Df =R− {5} parf(x) = x+ 1 x−5. 1. Montrer quef réalise des bijections que l’on précisera.
2. Déterminer la fonction réciproque de f.
3. f réalise-t-elle une bijection de Df =R− {5} sur ]1; +∞[ ? Justifier.
6.5 On considère la fonction définie parf(x) = ln(1−lnx).
1. Déterminer l’ensemble Df de la fonction f. 2. Étudier les variations def.
3. Montrer quef est une bijection deDf sur une partie deR que l’on déterminera.
4. Expliciter l’application réciproque de f.
6.6 On considère la fonction définie parf(x) = ex+ e−x 2
1. Déterminer l’ensemble de définition Df de la fonction f.
http://lyceeenligne.free.fr/ STS1 2012-2013
2. Étudier les variations def.
3. Donner les limites de f aux bornes de son intervalle.
4. Donner le plus grand intervalle sur lequel f admette une fonction réciproque.
5. Tracer sur l’intervalle déterminé, la représentation graphique de f−1, fonction réciproque de f.
Chapitre 6 – TD 2 Analyse continue 3
Fonctions circulaires réciproques
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• Tracer les fonctionsarccos,arcsinetarctan;
• Déterminer l’image d’un nombre par les fonctionsarccos,arcsinetarctan;
• Dériver les fonctionsarccos,arcsinetarctan.
6.7 Attention à ne pas aller trop vite dans les réponses ! 1. Calculer sin(arcsinx) pour x= 1
2, pourx=−
√3
2 , pour x= 2.
2. Calculer arcsin(sinx) pour x=−π
3, pourx= 3π
4 , pour x= 7π 4 . 3. a. A-t’on sin(arcsinx) =x pour tout réelx?
b. A-t’on arcsin(sinx) =x pour tout réelx?
6.8 On veut montrer que pour toutx de [−1; 1], on a cos(arcsinx) =√ 1−x2. 1. Exprimer cosy en fonction de sin2y.
2. En déduire l’expression de cos(arcsinx).
3. En déduire que pour tout xde [−1; 1], on a tan(arcsinx) = x
√1−x2.
6.9 En s’inspirant de ce qui a été fait précédemment, montrer que sin(arccosx) =√
1−x2 et en déduire que tan(arccosx) =
√1−x2 x
6.10 Soitf la fonction définie parf(x) = arcsin(sinx).
1. Donner le domaine de définition def. 2. Montrer quef est périodique de période 2π.
3. Etude def sur l’intervalle [−π; +π].
a. Pour chacune des figures suivantes, placer un angle x appartenant l’intervalle donné puis la valeur de sinx correspondante et enfin celle de arcsin(sinx).
x∈[−π 2;π
2] x∈[π
2;π] x∈[−π;−π 2]
b. En déduire l’expression de arcsin(sinx) en fonction de x sur chacun des intervalles donnés.
4. Déduire de la question précédente le tracé def sur [−π; +π]
5. En déduire le tracé de la courbe def surR.
http://lyceeenligne.free.fr/ STS1 2012-2013
6. f est-elle continue sur [−π; +π] ? surR?
6.11 on considère la fonction f définie sur [−1; 1] parf(x) = arcsin(2x√
1−x2).
1. On posex= cosaavec a∈[0;π]. Montrer que f(x) = arcsin(sin 2a).
2. Donner suivant les valeurs dea, l’expression de f.
3. En déduire l’expression de f suivant les valeurs dex dans [−1,1].
4. Construire la courbe représentative de f dans un repère (O;~i,~j) orthogonal d’unité 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
6.12 Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. xarccosx
2. arctan(2x) 3. arctan(x2)
4. xarcsin(x) +√ 1−x2 5. arccos 1−x2
1 +x2
!
6.13 Soitf la fonction définie sur [−1; 1] par f(x) = arcsinx+ arccosx.
1. Calculer la dérivée def sur ]−1; 1[.
2. Calculer f(0).
3. a. Montrer que pour tout xde ]−1; 1[, on a arcsinx+ arccosx= π 2. b. Montrer que pour tout xde [−1; 1], on a arcsinx+ arccosx= π
2. 6.14 Soitf la fonction définie sur [−1; 1] par f(x) = arcsin(x2).
1. Calculer f′(x).
2. Étudier les variations def.
3. Tracer la représentation graphique de f.
6.15 Soitf la fonction de la variable réellex définie surR parf(x) = 2x
x2+ 1−arctanx.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 1,5 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée).
1. Déterminer la limite de f lorsquex tend vers +∞.
2. Montrer que la dérivée de f est définie par f′(x) = 1−3x2 (x2+ 1)2. 3. Dresser le tableau de variation def.
4. Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 0.
5. Soit φ la fonction numérique défine sur R parφ(x) = x−f(x). Étudier les variations de la fonction φ(les limites ne sont pas demandées). Calculerφ(0). Donner le signe deφ(x).
En déduire la position de la courbe C par rapport à sa tangente (T).
pour le . . ./. . ./. . .
Devoir maison
1 Fonctions réciproques circulaires
1. Soit f la fonction définie parf(x) = cos(arccosx).
a. Donner et justifier le domaine de définition, notéDf de f.
b. En utilisant un cercle trigonométrique pour votre résultat, donner l’expression de cos(arccosx) en fonction de x surDf.
c. Tracé la courbe def surDf.
2. Soit g la fonction définie parg(x) = arccos(cosx).
a. Donner et justifier le domaine de définition deg.
b. Montrer quef est périodique de période 2π.
c. En utilisant un cercle trigonométrique pour justifier votre résultat, donner l’expression de arccos(cosx) en fonction de x sur [0;π].
d. Faire de même pour l’intervalle [−π; 0].
e. Déduire de la question précédente le tracé deg sur [−π; +π]
f. En déduire le tracé de la courbe deg sur R. 2 Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur [−1; 1] par
f(x) =xarccosx.
1. Déterminer la fonction dérivée première f′ de la fonctionf sur ]−1; 1[.
2. Sif′′ désigne la dérivée seconde de la fonctionf sur ]−1; 1[, montrer que l’on a f′′(x) = x2−2
(1−x2)√
1−x2.
3. Etudier le signe de f′′ et en déduire le tableau de variation de f′.
4. Démontrer que la fonction f′ s’annule pour une unique valeurα sur ]0; 1[.
5. Donner une valeur approchée deα à 10−2 près. (On indiquera les étapes dans un tableau).
6. Déduire1 de l’étude précédente les variations de la fonctionf et montrer quef admet un extremum égal à :
α2
√1−α2
1. Indication : On utilisera l’égalitéf′(α) = 0 pour obtenir une expression de arccosαen fonction deα.
pour le . . ./. . ./. . .
Devoir maison
3 Fontions réiproques irulaires
1. Soitf lafontiondénieparf(x) = cos(arccosx).
a. Pardénition, arccosx estdéniede [−1; 1] sur[0;π].Commecosxest déniesurRet en partiuliersur[0;π], lafontionf est déniesur [−1; 1].
b. arccosxenvoie lesegment[−1; 1] de l'axe
des absisses sur le demi-erle supérieur.
cosx envoiele demi-erlesupérieursurle
segment [−1; 1] de l'axe desabsisses. On
adon
∀x∈[−1; 1] arccos(cosx) =x.
x
↑1 arccosx
↓2 cosx
c. Il sutde traer y=x pourx variantde −1 à1. 2. Soitg lafontion déniepar g(x) = arccos(cosx).
a. Donner et justierledomainede dénition deg.
cosxest déniede Rsur[−1; 1],donl'intervalled'arrivée decosx orrespondàl'inter-
valle de départde arccosx.Lafontion estdéniesur R.
b. Montrerque f est périodiquede période2π.
f(x+2π) = arccos(cos(x+2π)) = arccos(cos(x)) =f(x)donf estbien2π-périodique.
c. En utilisantun erletrigonométrique pour justiervotre résultat, donnerl'expressionde
arccos(cosx) en fontionde x sur [0;π].
Si x ∈ [0;π] alors cos(x) envoie le demi
erle supérieur sur le segment [−1; 1] et arccosx retourne e segment sur le demi
erle supérieur. don
∀x∈[0;π]; arccos(cosx) =x
x
↑2 arccosx
↓1 cosx
d. Faire de mêmepour l'intervalle[−π; 0].
Si x ∈[−π; 0] alors cos(x) envoie le demi
erle inférieur sur le segment [−1; 1] et arccosx retourne e segment sur le demi-
erle supérieur. don
∀x∈[0;π]; arccos(cosx) =−x x
↑2 arccosx
↑1 cosx
e. Déduire de laquestion préédente le traéde g sur[−π; +π]
Ontraelafontiony=xsur[0;π]puislafontiony=−xsur[−π; 0].Lafontionétant 2π-périodique,on eetueensuiteles translationspourobtenir laourbe surR entier.
1 2 3
−1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
4 Étude d'unefontion
On onsidère lafontionf déniesur [−1; 1] par
f(x) =xarccosx.
1. Déterminerlafontiondérivée premièref′ de lafontionf sur ]−1; 1[. f est de laformeu(x)×v(x)ave :
u(x) =x ; u′(x) = 1 etv(x) = arccosx ; v′(x) = −1
√1−x2
.
Comme(u×v)′ =u′v+v′u,on obtient
f′(x) = arccosx− x
√1−x2
2. Sif′′ désigne ladérivéeseonde de lafontionf sur ]−1; 1[,montrerque l'ona f′′(x) = x2−2
(1−x2)√
1−x2.
Commençonsparalulerla dérivéede g(x) = x
√1−x2
.
g est de laforme u(x) v(x) ave:
u(x) =x ; u′(x) = 1 etv(x) =√
1−x2 ; v′(x) = −2x 2√
1−x2
Comme(u
v)′ = u′v−v′u
v2 ,onobtient: g′(x) = 1×√
1−x2−x×√1−−xx2
√1−x22
=
√1−x2√
1−x2+x2
√1−x2
1−x2
= 1−x2+x2
√1−x2(1−x2)
= 1
√1−x2(1−x2)
f′′(x) = (arccosx)′−g′(x)
= −1
√1−x2 − 1
√1−x2(1−x2)
= −1 +x2−1
√1−x2(1−x2)
= x2−2
√1−x2(1−x2)
3. Etudier√ lesignede f′′ et en déduireletableau de variationdef′. 1−x2 positifsur [−1; 1]puisque 'estuneraine arrée.
1−x2= (1−x)(1 +x) estpositifsur [−1; 1]. x2−2 = (x−√
2)(x+√
2)est négatifsur [−1; 1].
x f′′(x)
f′(x)
−1 1
−
4. Démontrerque lafontion f′ s'annulepourune unique valeurα sur ]0; 1[. f′ est continue car composée de fonctions continues.
lim
x→1
x <1
f′(x) = lim
x→1
x <1
arccosx− x
√1−x2 =−∞<0 f′(0) = arccos(0)− 0
√1 = π 2 >0
dond'aprèslethéorèmedesvaleurs
intermédiaires,f′ s'annuleau moinsunefois entre0 et 1. f′ étantstitementdéroissante,ette solutionest unique.
5. Donner unevaleur approhéede α à10−2 près.(Onindiquerales étapesdansuntableau).
On proèdepardihotomieet on obtientque0,65 6α60,66.
a f(a) b f(b) a+b2 f(a+b2 ) . . .6α6. . .
0 1,57 1 −∞ 0,5 0,47 0,56α61
0,75 −0,41 0,56α60,75 0,63 0,078 0,636α60,75 0,69 −0,14 0,636α60,69 0,66 −0,028 0,636α60,66 0,65 0,007 0,656α60,66 6. Déduire
2
de l'étude préédente les variations de la fontion f et montrer que f admet un
extremumégalà :
α2
√1−α2
2. Indication : On utilisera l’égalitéf′(α) = 0 pour obtenir une expression de arccosαen fonction deα.
f′(α) = 0etf′ estdéroissante.On en déduit lesignede f′ etle tableaude variationde f. x
f′(x) f′(x) f(x)
−1 α α1
0
+ 0 -
00 ff(α)(α)
0 0
f admet unextremum en α arf′ s'annuleethange de signeen e point.
f(α) = αarccosα. Comme f′(α) = 0, on en déduit que arccosα − α
√1−α2 = 0 d'où arccosα= α
√1−α2
et donf(α) = α2
√1−α2
.
