MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Donner pour chacune des équations suivantes l'ensemble des solutions à valeurs réelles (2 + x)y 0 (x) + y(x) = 2
xy 0 (x) + y(x) = 1 1 + x 2 y 00 (x) + 9y(x) = x + e 3x
−2y 00 (x) + y 0 (x) + y(x) = 10x cos x
Corrigé
Comme il s'agit d'une application directe des méthodes du cours, on présente directement les fonctions constituant les ensembles de solutions. Pour chaque équation, λ décrit R.
x → 2 + λ
2 + x λ ∈ R (1)
x → arctan x + λ
2x λ ∈ R (2)
x → λ cos 3x + µ sin 3x + 1 9 x + 1
18 e 3x (λ, µ) ∈ R 2 (3)
Les calculs pour obtenir une solution particulière pour la dernière équation sont plus compli- qués. On travaille d'abord avec le second membre xe 3x . Pour lequel on cherche une solution particulière de la forme (ax + b)e 3x . On obtient
a = 1
10 (3 − i) b = 4i − 1
(3 + i) 2 = 1
50 (8 + 19i) Il reste ensuite à prendre la partie réelle et à multiplier par 10
x → λe x + µe −
x2+ (3 cos x + sin x)x + 1
5 (8 cos x − 19 sin x) (λ, µ) ∈ R 2 (4)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
