3x − cos(y) − 0.5 = 0 x 2 − 2y 2 +1 = 0

IFT 2425

DÉMONSTRATION N

o

5

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationelle,loal2384.

http://www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425/

E-mail:mignotteiro.umontreal.a

Chapitre 3 Résolution de systèmed'équationsnonlinéaires

I ... Résolutiondesystèmed'équationsnonlinéaires.

Chapitre 4 Interpolation polynomiale

II ... Interpolationparrésolution desystème d'équations.

III ... MéthodedeLagrange.

IV ... InterpolationparméthodedeNewton-Grégory.

V ... MéthodedeNewtonpourlesdiérenesdivisées.

Résoudrelesystèmesuivant:

3x − cos(y) − 0.5 = 0 x ² − 2y ² +1 = 0

parlaméthodedeNewton-Raphsonetavelaonditioninitialesuivante:

x ^[0]

y ^[0]

= 1

1

Réponse

Posons

f (x, y) = 3x − cos(y) − 0.5

^et

g(x, y) = x ² − 2y ² + 1

Onrappellequel'approheitérativeonduisantàlasolutiondeesystèmed'équationsnonlinéaires est

lasuivante,

x ^[n+1]

y ^[n+1]

= x ^[n]

y ^[n]

+

∆x ^[n]

∆y ^[n]

ave(

∆x ^[n] ∆y ^[n]

^{),solutiondusystème,}

∂f

∂x (x ^[n] , y ^[n] ) ^∂f _∂y (x ^[n] , y ^[n] )

∂g

∂x (x ^[n] , y ^[n] ) ^∂g _∂y (x ^[n] , y ^[n] )

!

∆x ^[n]

∆y ^[n]

= −

f (x ^[n] , y ^[n] ) g(x ^[n] , y ^[n] )

Ona,aprèsalul,

∂f

∂x (x ^[n] , y ^[n] ) ^∂f _∂y (x ^[n] , y ^[n] )

∂g

∂x (x ^[n] , y ^[n] ) ^∂g _∂y (x ^[n] , y ^[n] )

!

=

3 sin y ^[n]

2x ^[n] − 4y ^[n]

etl'inversedeettematrieest,

3 sin y ^[n]

2x ^[n] − 4y ^[n]

⁻¹

= 1

12y ^[n] + 2x ^[n] sin y ^[n] ×

4y ^[n] sin y ^[n]

2x ^[n] − 3

L'approheitérativeestdon,

x ^[n+1]

y ^[n+1]

= x ^[n]

y ^[n]

− 1

12y ^[n] + 2x ^[n] sin y ^[n] ×

4y ^[n] sin y ^[n]

2x ^[n] − 3

3x ^[n] − cos y ^[n] − 0.5 (x ^[n] ) ² − 2(y ^[n] ) ² + 1

et onobtient,

x ^[0]

y ^[0]

= 1

1

x ^[1]

y ^[1]

= 1

1

− 1

12 + 2 sin(1) ×

4 sin(1) 2 − 3

3 − cos(1) − 0.5 1 ² − 2(1) ² + 1

=

0.427112

0.713556

x ^[2]

y ^[2]

=

0.407422 0.765157

x ^[3]

y ^[3]

=

0.407461 0.763554

x ^[4]

y ^[4]

=

0.407461 0.763552

x ^[5]

y ^[5]

=

0.407461 0.763552

II. Interpolation par résolution de système d'équations

Trouverlepolynmepassantparlespointssuivants:

(0, 0), (1, 2), ( − 1, − 1), (3, 1)

^.

Réponse

On aquatre points, on peut don passer un polynme de degré au plus égale àtrois passant par es

quatrepoints.Cepolynmes'érit :

P (x) = a 3 x ³ + a 2 x ² + a 1 x + a 0

Si epolynmepasseparesquatrepoints,onalesystèmesuivant:



 



 



+a 0 = 0 a 3 +a 2 +a 1 +a 0 = 2

−a 3 +a 2 −a 1 +a 0 = −1 27a 3 +9a 2 +3a 1 +a 0 = 1

Don,ondoitrésoudrelesystèmesuivant:









0 0 0 1

1 1 1 1

− 1 1 − 1 1

27 9 3 1















 a 0

a 1

a 2

a 3









=







 0 2

− 1 1









Larésolutiondeesystème nousdonne







 a 0

a 1

a 2

a 3









=







 0 11/6

1/2

− 1/3









Lepolynmepassantparlespoint

(0, 0)

^,

(1, 2)

^,

( − 1, − 1)

^et

(3, 1)

^s'érit

P (x) = − ¹ ₃ x ³ + ¹ ₂ x ² + ¹¹ ₆ x

^.

Deefait,ilyabeauoupdeoeientàrésoudreetette méthoden'estpastrèseae.Deplus,lorsque

lespointsdedonnéssontperturbéesparuneerreurnumérique(erreurdequantiation),lesystèmeesttrès

malonditionnéetentrainedeserreurssurlasolutiondusystème(lesoeients

a i

^dupolynome).

III. Interpolation par méthode de Lagrange

TrouverlepolynmedeLagrangepassantparlespointssuivants:

(0, 0), (1, 2), ( − 1, − 1), (3, 1)

^.

Réponse

LepolynmedeLagrangepassantparlespoints

(x 0 , y 0 )

^,

(x 1 , y 1 )

^,

. . .

^,

(x n , y n )

^s'érit:

P n (x) = P n

i=0 π i (x)

π i (x i ) y i

^,où

π i (x) = Π ⁿ _j6=i,j=0 (x − x j )

^ave

i = 0, 1, . . . , n

^{.Dansnotreas,ontrouverapar}

etteméthodeunpolynmededegrétrois:

P 3 (x) =

3

X

i=0

π i (x) π i (x i ) y i

Ave:

π 0 (x) = Π ³ _j=0,j6=0 (x − x j ) = (x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 ) = (x − 1)(x + 1)(x − 3) = x ³ − 3x ² − x + 3 π 1 (x) = Π ³ _j=0,j6=1 (x − x j ) = (x − x 0 )(x − x 2 )(x − x 3 ) = x(x + 1)(x − 3) = x ³ − 2x ² − 3x

π 2 (x) = Π ³ _j=0,j6=2 (x − x j ) = (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 3 ) = x(x − 1)(x − 3) = x ³ − 4x ² + 3x π 3 (x) = Π ³ _j=0,j6=3 (x − x j ) = (x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) = x(x − 1)(x + 1) = x ³ − x

et,

π 0 (x 0 ) = π 0 (0) = 3 π 1 (x 1 ) = π 1 (1) = −4 π 2 (x 2 ) = π 2 ( − 1) = − 8 π 3 (x 3 ) = π 3 (3) = 24

Ontrouvedon

P 3 (x) = x ³ − 3x − x + 3

3 × 0 + x ³ − 2x ² − 3x

− 4 × 2 + x ³ − 4x ² + 3x

− 8 × ( − 1) + x ³ − x 24 × 1, P 3 (x) = − 1

3 x ³ + 1

2 x ² + 11

6 x.

Al'aidedelaméthodedeNewton-Grégorydesendante,trouverunpolynmededegrétroispassantpar

lespointssuivants:

(1, 4), (2, − 2), (3, 3), (4, 1)

^{.Calulerensuite}

P(s)

^en

x = 3/2

^.

Réponse

Lepolynmedeolloationest donnépar,

P 3 (s) = ∆ ⁰ y 0 + ∆ ¹

1! y 0 s + ∆ ² y 0

2! s(s − 1) + ∆ ³ y 0

3! s(s − 1)(s − 2)

où

s = (x − x 0 )/h

^ave

h = 1

^.

Ondoittrouverdondansunpremiertempslesdiérenesdesendantes,

x y

∆y ∆ ²

^y

∆ ³ y

1 4

2 -2 -2-4=-6 5-(-6)=11 -7-11=-18

3 3 3-(-2)=5 -2-5=-7

4 1 1-3=-2

Pourtrouverlepolynmededegrétroispassantespoints,nousavonsbesoinsseulementde

∆ ⁰ y 0

^,

∆ ¹ y 0

^,

et

∆ ² y 0

^,et

∆ ³ y 0

^{, i.e.,}

∆ ⁰ y 0 = 4

∆ ¹ y 0 = − 6

∆ ² y 0 = 11

∆ ³ y 0 = − 18

P 3 (s) = 4 − 6 1! s + 11

2! s(s − 1) − 18

6 s(s − 1)(s − 2)

= 4 − 35 2 s + 29

2 s ² − 3s ³

Pourlealulde

P(s)

^en

x = 3/2

^,ona

s = (x − x 0 )/h = x − 1 = (3/2) − 1 = 1/2

^,don,

P (1/2) = 4 − (35/2)(1/2) + (29/2)(1/2) ² − (3)(1/2) ³

= − 3/2

V. Méthode de Newton pour les diérenes divisées.

A l'aidedelaméthodedeNewtonpourlesdiérenesdivisées,

1. Trouverunpolynmededegrétroispassantparlespointssuivants:

(1, 4), (2, − 2), (3, 3), (4, 1)

^.

(1, 4), (2, − 2), (3, 3), (4, 1), (5, 1)

^.

Réponse

1.Letableaudesdiérenesdiviséess'érit(f.NotesdeCours,Chapitre 4,page25),

x y ∆[x 0 , x 1 ] ∆ ² [x 0 , x 1 , x 2 ] ∆ ³ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ]

1 4

-6

2 -2 11/2

5 -3

3 3 -7/2

-2

4 1

Onadon,

P 3 (x) = y 0 + ∆[x 0 , x 1 ](x − x 0 ) + ∆ ² [x 0 , x 1 , x 2 ](x − x 0 )(x − x 1 ) + ∆ ³ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ](x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 ) P 3 (x) = 4 + ( − 6)(x − 1) + (11/2)(x − 1)(x − 2) + ( − 3)(x − 1)(x − 2)(x − 3)

P 3 (x) = 39 − (111/2)x + (47/2)x ² − 3x ³

2.Onalarelationsuivante,

P 4 (x) = P 3 (x) + ∆ ⁴ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ](x − x 0 )(x − x 1 )(x − x 2 )(x − x 3 )

ave,

∆ ⁴ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] = ∆ ³ [x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] − ∆ ³ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] x 4 − x 0

Onalenouveautableau desdiérenesdiviséessuivant

x y ∆[x 0 , x 1 ] ∆ ² [x 0 , x 1 , x 2 ] ∆ ³ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] ∆ ⁴ [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ]

1 4

-6

2 -2 11/2

5 -3

3 3 -7/2 9/8

-2 3/2

4 1 1

0

5 1

Onadon,

P 4 (x) = P 3 (x) + (9/8)(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)