Lycée CARNOT Sup PCSI
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O S C I L L A T I O N S L I B R E S D ’ U N P E N D U L E S I M P L E
I Etude théorique ! (lecture)
Le système étudié est un pendule simple, placé dans un champ de pesanteur supposé uniforme g, constitué d’une part d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur L = 50 cm, et d’autre part d’une sphère de diamètre 40 mm assimilée à un point matériel.
Deux sphères constituées d’un matériau différent sont disponibles :
* Une sphère métallique d’une masse d’environ 250 g.
On peut alors considérer que, lors de la durée de l’expérience, les frottements sont négligeables.
Le pendule est alors régi par l'équation différentielle suivante :
€
θ +˙ ˙ ω02sinθ=0 avec
€
ω0= g
L, et θ est l'angle fait par le pendule avec la verticale.
Dans le cas de petites oscillations (sin θ
€
≈ θ ), l’équation du mouvement est celle d’un oscillateur harmonique de période
€
T0=2π
ω0 =2π L
g, et de solution
€
θ=θ0cos
(
ω0t+ϕ)
.Cette période To est indépendante de l'amplitude θo des oscillations ; on dit qu'il y a isochronisme des petites oscillations.
Pour des oscillations de grande amplitude, la période dépend de cette amplitude, et augmente avec elle.
* Une balle de ping-pong d’une masse de 2,7 g.
Il faut alors tenir compte dans les mêmes conditions des frottements.
L'équation différentielle du mouvement du pendule pour les petits angles peut alors s’écrire :
€
θ +˙ ˙ 2σω0θ +˙ ω02θ=0 où σ est un coefficient d’amortissement sans dimension.
La pseudo-période des petites oscillations s’écrit dorénavant :
€
T = T0 1−σ2
où T0 est la période propre de l’oscillateur harmonique précédent.
La solution s’écrit
€
θ=θ0e−σω0tcos
(
ωt+ϕ)
de pseudo-pulsation€
ω=ω0 1−σ2.
II Oscillations non amorties
On utilise dans un premier temps le système constitué par la sphère métallique accrochée à l’extrémité d’un fil, ce dernier étant fixé sur une potence munie d’un rapporteur.
À l’aide d’un chronomètre, déterminer la période T des oscillations pour une amplitude initiale θo allant de 5° à 20° par pas de 5°, puis ensuite de 30° à 70° par pas de 10°. Pour une bonne précision, on mesurera en fait 5 ou10 périodes .On s’interrogera de plus sur le moment opportun pour déclencher le chronomètre.
Tracer à l’aide d’Excel® la courbe T(θo).
Estimer l’incertitude sur la mesure de T (on négligera celle, très faible, commise sur θ0).
Faire apparaître sur le graphique les barres d’incertitude de chaque point (clic-droit sur l’un des points d’une série, « Format de la série de données… », « Barre d’erreur… »).
Vérifier l'isochronisme des petites oscillations et qu'ensuite la période augmente avec l'amplitude.
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2/4 III Simulations sur l’oscillateur non amorti
Elles seront conduites avec le logiciel Spyder utilisant le langage Python.
1) Évolution de l’élongation en fonction du temps
Il s’agit ici de résoudre une équation différentielle d’ordre 2 non linéaire du type :
€
˙ ˙ x =−sinx.
Python ne permettant d’intégrer numériquement que des équations différentielles du premier ordre, on remplace l’équation différentielle du second ordre par un système de deux équations différentielles d’ordre 1. En introduisant la vitesse v, on obtient le système :
€
v=x ˙ et
€
v =˙ −sinx.
from scipy import * (chargement du module à usage scientifique) from pylab import * (chargement du module de calcul numérique)
from scipy.integrate import odeint (chargement de la fonction permettant la résolution des équations différentielles ordinaires du premier ordre)
def deriv(syst,t) : (création de la fonction « deriv »)
x=syst[0] (les valeurs de x sont rangées dans la colonne « zéro » d’un tableau 2D « syst ») v=syst[1] (et les valeurs de v dans la colonne « un »)
dxdt=v (définition de la vitesse) dvdt=-sin(x) (valeur de l’accélération) return[dxdt,dvdt] (récupération des résultats)
t=linspace(tmin,tmax,nbpt) (création de la liste des temps successifs, instant de départ tmin, instant d’arrivée tmax, et nombre de points nbpt, valeurs à choisir)
liste=[A1,A2,A3,…] (création de la liste des amplitudes angulaires en radian, valeurs à choisir) for i in liste : (démarrage de la boucle permettant de faire varier les conditions initiales)
CI=array([i,0]) (création du tableau 2D des conditions initiales)
sols=odeint(deriv,CI,t) (résolution du système d’équations différentielles)
x=sols[:,0] (récupération des valeurs de x dans la colonne « zéro » du tableau 2D « sols ») v=sols[:,1] (et des valeurs de v dabs la colonne « un »)
plot(t,x) (tracé des courbes) title(‘x(t)’) (affichage du titre) show() (affichage du graphe)
Commenter l’évolution de la période avec l’amplitude.
2) Portrait de phase
En vous inspirant du programme précédent, tracer le portrait de phase du pendule.
On prendra un jeu de conditions initiales suffisamment variées en positions et en vitesses pour que le graphe soit complet avec les trois types de régime possibles (oscillations harmoniques, oscillations anharmoniques, révolution).
Commenter rapidement ces derniers en insistant sur leurs différences.
3) Évolution de la période en fonction de l’amplitude
On part de la conservation de l’énergie mécanique pour le pendule lâché avec l’amplitude θ0 sans vitesse initiale :
€
1
2mL2θ ˙ 2−mgacosθ=−mgacosθ0. On en déduit
€
dθ
dt =− 2g
L cosθ −cosθ0.
On intègre ensuite sur un quart de période après avoir séparé les variables :
€
dt
0 T/ 4
∫
=− 2gL cosθ −dθcosθθ0 0 0
∫
.Ce qui donne finalement
€
T =2 2 L g
dθ cosθ −cosθ0
0 θ0
∫
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3/4 from scipy import *
from pylab import *
from scipy.integrate import quad (chargement de la fonction permettant le calcul numérique d’intégrales) abscisse=range(1,21,1) (création de la liste des abscisses des points du graphe)
ordonnee=[] (création de la liste des ordonnées des points du graphe, vide au départ)
for i in abscisse : (démarrage de la boucle permettant de passer d’un point au suivant en changeant l’amplitude) def f(x) : (création de la fonction « f(x) »)
return (cos(x)-cos(i/10))**(-1/2) (calcul de l’argument de l’intégrale en prenant pour simplifier
€
2 2 L g =1) J=quad(f,0,i/10.0) (calcul de l’intégrale donnant la période)
ordonnee.append(J) (ajout du calcul précédent à la liste des ordonnées) xlabel(‘Amplitude’) (étiquette de l’axe des abscisses)
ylabel(‘Periode’) (étiquette de l’axe des ordonnées) ylim(2,3) (échelle des ordonnées)
plot(abscisse,ordonnee) (tracé de la courbe) show() (affichage du graphe)
Commenter.
IV Mesure du coefficient d’amortissement de l’oscillateur amorti
On utilise maintenant le système constitué par la balle de ping-pong accrochée à l’extrémité du fil, ce dernier étant toujours fixé sur la potence munie d’un rapporteur.
On se propose de déterminer son coefficient d’amortissement σ par deux méthodes.
1) Observation
Lâcher le pendule à partir d’une position suffisamment éloignée de la verticale et observer qualitativement l’évolution de l’amplitude des oscillations.
2) Exploitation d’un enregistrement vidéo
On enregistre avec une caméra vidéo les oscillations du pendule : fichier « Vidéo pendule simple » du dossier « Ressources ».
À l’aide d’un défilement « image par image », on détermine les positions extrêmes
€
θm= ±θ0e−σω0t à gauche et à droite du pendule par rapport à sa position de repos verticale θ = 0, et les instants auxquelles elles ont été obtenus : fichier « Données pendule simple » du dossier « Ressources ».
En utilisant ces données et à partir du tracé de deux droites (une pour les valeurs à droite et une pour celles à gauche), déterminer à partir des valeurs des pentes obtenues par régression linéaire une valeur moyenne du coefficient σ.
3) Comparaison avec l’autre pendule
On fait osciller simultanément les deux pendules comportant précisément la même longueur de fil en les lâchant exactement au même instant et de la même position sans vitesse initiale.
On détermine le nombre de périodes n du pendule non amorti au bout duquel les deux pendules se retrouvent pour la première fois en opposition de phase (décalage temporel d’une demi période).
! Montrer que l’on a alors approximativement
€
σ ≈ 1
n (on rappelle le développement limité du premier ordre au voisinage de 0 :
€
1 1−ε =1+
ε 2).
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4/4 En déduire la valeur de σ.
Comparer la valeur obtenue par les deux méthodes pour le facteur d’amortissement σ.
Le cas échéant, la différence entre les valeurs obtenues par les deux méthodes vous paraît-elle significative ?
Pour répondre à cette question, on s’interrogera sur les différentes causes d’incertitudes sur ces mesures, sur l’influence des paramètres (longueur L du pendule en particulier). Il s’agit ici d’avoir une démarche finalisée, aboutissant à une évaluation numérique de ces effets.
On s’intéressera aussi à la liaison apportée par le fil (raideur du fil, effet de torsion), sur la pertinence du modèle du pendule simple et de l’expression de la force de frottement, ainsi qu’à l’interaction entre le mouvement du pendule et celui du support, qui n’est pas nécessairement exactement fixe. Qu’en pensez-vous ?
Conclure.
V Un autre oscillateur harmonique en mécanique
On considère le système constitué d’une masse m suspendue à un ressort dont l’extrémité supérieure est accrochée à un point fixe.
On cherche à déterminer la constante de raideur k du ressort.
1) Méthode statique
Suspendre différentes masses étalonnées et relever les élongations correspondantes du ressort.
À partir de la pente d’une droite obtenue par régression linéaire, donner la valeur de k (g = 9,8 m.s-2).
2) Méthode dynamique
Suspendre différentes masses étalonnées et relever les périodes correspondantes des oscillations du système.
À partir de la pente d’une droite obtenue par régression linéaire, donner la valeur de k. Comparer.
