• Aucun résultat trouvé

m = d 2 2 2 sdt h m + hdsdt + Ks = 0 () j t + j t 1 2 ! " ba 0 s ( t ) = A e = A e = 0 0 T = = = 0 0 0 2 0 0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "m = d 2 2 2 sdt h m + hdsdt + Ks = 0 () j t + j t 1 2 ! " ba 0 s ( t ) = A e = A e = 0 0 T = = = 0 0 0 2 0 0"

Copied!
10
0
0

Texte intégral

(1)

1. OSCILLATEUR AMORTI ET FORCÉ (RÉSUMÉ).

1.1. NOTIONS DE BASE (MÉCANIQUE – ÉLECTRIQUE).

1.1.1. Conditions et caractéristiques générales - un état d’équilibre

- des phénomènes de rappel vers la position d’équilibre (forces de rappel en mécanique, ..) - linéarité

- Energie (stockée, consommée, échangée avec l’extérieur)

- Etude : Equation différentielle obtenue à partir des principes physiques de base : conservation de l’énergie, principe fondamental de la dynamique, théorème du moment cinétique, loi des mailles-loi des nœuds, …)

1.1.2. Schéma

Oscillateur mécanique

Oscillateur électrique K, h

M Position de repos

s F(ext)

l0 l

u

vecteur unitaire dans la direction du déplacement 0

x=0 A (x=l0) B (x=l)

F(ress -> masse)

s=0 s(t)

Axe de déplacement de m x

Repère utilisé pour la description de lʼoscillation (0 au point de repos de m) Fsup

i(t) R

e(t)

L C

Int

u R(t) u L(t) u C(t)

q(t)

1.2. OSCILLATIONS NON AMORTIES Frottements, résistances, négligeables.

Equation

a d2s

dt2 + bs= 0 ou

d2s dt2 + ω0

2 s= 0. Solution :

s t

( )

= A cos

(

ω0t0

)

Ou encore s(t!)=A0ej(ω0t+ϕ0)=A"0e0t . ω0= b

a la pulsation propre (ou pulsation normale).

fréquence ν00

2π . période :T0=1 ν0

=2π ω0

.

1.3. OSCILLATIONS AMORTIES -RÉGIME LIBRE (

fexc = 0 ou e(t)=0 ) m d2s

dt2 + hds dt + Ks = 0

Ld2q dt2 + Rdq

dt + 1 Cq = 0 Ou

d2s dt2 + 2βds

dt + ω02s = 0 avec β= h 2m (ou

R 2L) et

ω0 = K m ( ou

1LC ) L’approche énergétique mène au même résultat.

Solution Si

β>ω0 , il n’y a pas d’oscillation, le régime est apériodique.

Si

β=ω0 , le régime est critique, le retour vers la positon d’équilibre se fait en un temps minimum.

β<ω0 , la réponse est ‘pseudo-périodique’ : le système passe périodiquement par la position d’équilibre, mais avec une amplitude d’oscillation qui décroît exponentiellement. La solution s’écrit :

s t

( )

= A0 eβt cos

(

ωpt + ϕ0

)

avec

ωp = ω0

2 − β2 ou

Tp = 2π ω02 − β2 ou

q(t) = Q0 eβt cos

(

ωpt0

)

(2)

La grandeur

τa = 1

β une constante de temps qui caractérise la décroissance de l’amplitude de la vibration, indique le temps pendant lequel le système oscille après avoir été écarté de sa position d’équilibre (l’amplitude passe de

Amax=A0 à t=0 à

Amax

e =0,37 Amax à t = τa). D'un point de vue expérimental, β peut être relié aux mouvements de la masse m par la relation :

(3.1)

β = −1 t2t1 ln A2

A1

$

% & ' ( ) . Energie de l’oscillateur non amorti :

Ecin (t) = 1 2 m v2

= 1

2 m

(

A ω0

)

2 sin2

(

ω0t0

)

Epot (t)= 1

2 K A2 cos2

(

ω0t0

)

Etot = 1 2KA2= 1

20

2A2 = const.

Cas électrique (électrique – magnétique)

Uch.el = 1

2 q2 C = 1

2 Q02

C cos2

(

ω0t0

)

Ech.magn = 1 2 Li2 = 1

2 02Q02sin2

(

ω0t0

)

=

€ 1 2

Q02

C sin2

(

ω0t0

)

ET = Ech.el + Ech.magn. = Q02 2C Energie de l’oscillateur amorti.

Dans le cas d’une amplitude décroissante : E(t) = 1 2 KA0

2 exp

(

−2β t

)

= E0 exp(−2β t) Facteur de qualité de l’oscillateur Q : La qualité d’un oscillateur définit sa capacité à garder l’énergie qu’on y a introduite.

Q = 2π E0

ΔE1 , (E0, l’énergie du système à un moment donné, ∆E1, l’énergie perdue à la période qui suit).

E0 ΔE1

= 1

1−e−2βT ≈ 1 2βT Q=2π E0

ΔE1 ≈ 2π 1 2βT = p

h0

h

= 1

h mK = ω0

Ou (cas électrique)

= Lω0

R = 1 RCω0

= 1 R

L C

• Pour

Q ≤ 1

2 , le régime est apériodique et il n'y a pas d'oscillations ; à

β = βcrit = ω0 = K

m, le régime est dit critique, et le retour vers la position d’équilibre est le plus rapide (cas de l’amortisseur).

• Pour

Q > 1

2 , on observe un régime d’oscillation pseudo-périodique. La fréquence des oscillations est donnée par :

fp = 1

2πω0 1 − 1

4Q2 = f0 1 − 1 4Q2. 1.4. RÉGIME FORCÉ

m d2s dt2 + hds

dt + Ks = Fexc cos

( )

ωt

Ld2q dt2 + Rdq

dt + 1

Cq = Uexc cos

( )

ωt La solution générale est la somme

- d'une solution générale de l'équation avec 0 au 2ème membre (l'oscillateur 'libre amorti') et - d'une solution particulière du type s = X cos (ωt + ϕ),.

Solution complexe en régime permanent :

˜

s (t) = X ej(ωt+ϕ) = X ejϕ ej( )ωt = ˜ X ej( )ωt

(3)

Soit après remplacement : X= Fexc

−mω2+K

( )

2+hω2

ou

X= Fexc

m

(

ω02−ω2

)

2+

(

2βω

)

2

X= Fexc

−mω2+K

( )

2+h2ω2

ou

X

( )

ω = Fexc

m

(

ω02−ω2

)

2+

(

2βω

)

2

Q= Uexc

−Lω2+1 C

$

% & ' ( )

2

+R2ω2

ou

Q

( )

ω = Uexc L ω0

2−ω2

( )

2+

(

2βω

)

2

Le déphasage ϕ entre l’excitation et la réponse de l’oscillateur est donné par : ϕ ω

( )

= arctan −mω−ωh2

+K

"

#$ %

&

' ou.

ϕ ω

( )

= arctan −ωR

−Lω2+1 C

%

&

' '

( )

* *

Ou

ϕ = arctan −2βω ω0

2−ω2

&

' ( )

* +

Réponse en fréquence avec les paramètres relatifs

Ω = ω ω0 ;

X ˆ = X Xω=0 ;

X0 = Fexc K ; ε = h

hcrit :

X ˆ = 1

1− Ω2

( )

2 + 2εΩ

( )

2

Xmax = Q X0

= Q Fexc K

0

. Fexc

K = Fexc

m ω0 . 2β

Umax = Q U0 (surtension à la résonance)

Bande passante à – 3 dB du pic de résonance :

Puissance consommée en fonction de ω :

Pmoyen(ω) = Pmoyen. max2ω2 ω0

2 − ω2

( )

+2ω2

Largeur du pic de résonance à mi-hauteur : BP1/2 = Δω−3dB = ω2−ω1 = ω0.2ε = 2 β = ω0

Q ( = h m ou R

L ) On a donc :

Δωrés.1/ 2 . τenergie = 1.

1.5. L’OSCILLATEUR ÉLECTRIQUE EN RÉGIME LIBRE

Circuit électrique R-L-C (tension représentées en convention récepteur) loi des mailles,

vR + vL + vC = 0 on a :

Ldi

dt + Ri + q C = 0

.ou d2q dt2 + R

L dq dt + 1

LC q = 0

On trouve donc une équation différentielle identique à celle obtenue pour l’oscillateur mécanique : (3.2) d2q

dt2 + 2βdq

dt + ω02q = 0avec

β= R 2L et

ω0= 1 LC . solution

Coefficient de qualité : .

Le régime oscillatoire pseudopériodique apparaît si . 2. OSCILLATEURSCOUPLESETMODESNORMAUX

2.1. OSCILLATIONS LIBRES DE 2 OSCILLATEURS MECANIQUES COUPLÉS NON AMORTIS 2.1.1. Coordonnées propres (ou normales)

Nous avons vu que la description d’un oscillateur à 1 degré de liberté se simplifie, si on définit son état par l’écart par rapport à l’équilibre, de sa grandeur caractéristiques (élongation, surpression, charge,..). Il en est de même pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté. Un tel système de coordonnées est dit ‘propre’ ou ‘normal’. La figure ci-après représente deux pendules couplés par un ressort de raideur K. θ1(t) et θ2(t) sont les écarts angulaires par rapport à la position d’équilibre (verticale) et constituent les coordonnées normales. Pour les petites oscillations, il est possible de

+ + + + - - - -

L C

i(t)

uL

uC

q(t)

uR

q(t) = Q0 eβt cos

(

ωpt0

)

Q = 0 R = 1

RCω0 = 1 R

L C

Q>12

(4)

prendre également x1(t) et x2(t), définis comme les écarts des masses par rapport aux positions d’équilibre X10 et X20 sur l’axe horizontal. L’état de ce système est défini par le couple {θ1(t) , θ2(t)}

ou { x1(t) , x2(t)}.

Fig. 2-1 : Deux pendules reliés par un ressort constitue un système couplé à 2 DdL.

Les coordonnées ‘normales’ sont les écarts par rapport aux positions d’équilibre, ici

θ1, θ2

{ }

ou

x1, x2

{ }

. 2.1.2. Observation des modes propres

Les modes propres sont des oscillations particuliéres qui ont les propriétés suivantes : - tous les constituants du système oscillent à la même fréquence,

- les amplitudes relatives des différents oscillateurs sont liées au mode propre considéré, - deux oscillateurs quelconques du système oscillent, soit en phase, soit en opposition de phase,

ce qui signifie qu’ils passent tous simultanément par la position d’équilibre.

Chaque mode propre est caractérisé par une pulsation particulière ; il y a autant de modes avec leurs pulsations associées qu’il y a de degrés de liberté dans le système.

2.1.3. Méthode de résolution des équations de mouvement du système libre.

La méthode à suivre est la suivante :

1 - On écrit les 2 équations différentielles pour les paramètres normaux x1 et x2. 2 – On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques,

x1 = A1 cos

(

ωprt1

)

et

x2 = A2 cos

(

ωprt2

)

ce qui signifie que le système peut osciller avec la même pulsation pour tous les oscillateurs. En passant par la représentation complexe, on obtient un système algébrique, linéaire et homogène.

3 – La résolution des systèmes d’équations permet d’obtenir 2 pulsations particulières

ωpr.1 et

ωpr.2 ; ce sont les pulsations propres (l’équivalent du

ω0 pour l’oscillateur libre).

4 - On substitue ensuite

ωpr.1 dans l'une des 2 équations et on obtient le rapport d’amplitude

A2 A1

pour le 1er mode propre.

5 - On substitue ensuite

ωpr.2 dans une équation du système de départ et on obtient

A2 A1 pour le deuxième mode propre.

θ1

θ2

L L

m m

X20 X X10

K

x1(t) x2(t)

2.1.4. Détermination des fréquences propres dans un cas quelconque d’oscillateur à 2 degrés de liberté.

Considérons le système de 2 masses couplées par des ressorts à un support rigide (Fig. ci-après).

Fig. 2-2 : Système K-M à 2 degrés de liberté. X10 et X20 sont les positions de repos prises comme origine des coordonnées ‘normales’.

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à chacune des 2 masses permet d'écrire : (3.3) (a)

m1d2x1

dt2 = −K1x1 − K12

(

x1x2

)

ou

m1d2x1

dt2 +

(

K1+K12

)

x1K12x2= 0 (b)

m2d2x2

dt2 = −K2x2K12

(

x2x1

)

ou

m2d2x2

dt2 +

(

K2+K12

)

x2K12x1= 0 Les équations différentielles peuvent se mettre sous la forme :

(3.4)

d2x1

dt2 + a1x1b1x2 = 0 d2x2

dt2 + a2x2b2x1 = 0

#

$

% %

&

%

% avec

a1 = K1+K12

m1 ,

b1 = K12

m1 <a1 ,

a2 = K2+K12

m2 ,

b2 = K12

m2 <a2.

• La solution générale de ce système différentiel est la somme de 2 solutions particulières.

• Les solutions particulières correspondent aux modes propres. Ce sont 2 paires de solutions sinusoïdales qui s’écrivent :

x1 = A1 cos

(

ωprt1

)

et

x2 = A2 cos

(

ωprt2

)

avec ωpr la

pulsation propre qui peut prendre autant de valeurs qu’il y a de paramètres (ici 2) .

• Il existe pour chaque pulsation propre ωpr.1 = ω1 et ωpr.2 = ω2 un groupe de constantes A1, A2, ϕ1 et ϕ2 fixées par les conditions initiales.

En complexe la solution s’écrit : (3.5)

x1,2

( )

t = A1,2 ej[ωprt].

En remplaçant la solution ci-dessus dans l'équation (3.8) on obtient :

(3.6)

a1−ωpr

(

2

)

A1 b1 A2 = 0 (a)

b2 A1 + a2−ωpr

(

2

)

A2 = 0 (b)

$

% &

' &

Ce système peut être écrit sous la forme suivante : m1

K1 K12

m2

X10 X20

x1 x2

K2

(5)

(3.7)

a1−ωpr

2b1

b2 a2−ωpr 2

$

%

& '

( ) A1

A2

$

% & ' ( ) = 0

Ce système admet des solutions différentes de la solution triviale (

A1=A2 = 0) si le déterminant des coefficients de

A ˜ 1, ˜ A 2

{ }

est nul, ce qui donne l’équation aux valeurs propres suivante : (3.8)

a1−ω2

( ) (

a2ω2

)

b1b2 = 0 soit encore : (3.9)

ω2

( )

2

(

a1+a2

)

ω2 + a1a2 b1b2 = 0

On peut vérifier que le discriminant ∆ de cette équation du second degré en ω2 est toujours positif ; il y a donc toujours 2 racines positives :

(3.10)

ωpr.1 = ω1 =

(

a1+a2

)

− Δ

2 et

ωpr.2 = ω2 =

(

a1+a2

)

+ Δ

2 .

Δ =

(

a1+a2

)

2 4

(

a1a2−b1b2

)

. Ces pulsations propres correspondent chacune à un mode propre d'oscillation.

Pour des conditions initiales particulières, le système oscille de manière purement sinusoïdale suivant les modes propres associés aux pulsations propres ωpr.1 et ωpr.2.

Amplitudes :

Les équations (3.10) permettent d’écrire une relation entre les amplitudes des modes propres : (3.11)

A2

A1 = a1−ωpr 2

b1 = b2

a2−ωpr 2. Un signe + pour le rapport

A1

A2 signifique que les oscillateurs en en phase, un signe – signifie qu’ils sont en opposition de phase. Si on suppose ω1 < ω2 , pour ω = ω1 , les 2 oscillateurs oscillent en phase ; pour ω = ω2 les oscillateurs oscillent en opposition de phase. Les amplitudes dépendent des paramètres K et m.

Cas particulier 1 (cas du système symétrique vu précédemment) : Les masses et les ressorts sont identiques K1 = K2 = K12= K et m1 = m2 = m.

Les pulsations propres sont alors :

ω1 = K m et

ω2 = 3K

m ou pour les fréquences

f1 = 1 2π

K m et

f2 = 1 2π

3K

m = 3 f1 1er mode propre (fréquence

f1 = 1 2π

K m ):

En remplaçant

ωpr par

ω1 = K

m dans l’équation 3.3.a, on obtient l’amplitude du 1er mode propre :

K x1 − K x2 = 0. Les amplitudes sont donc identiques :

A1 = A2 = A0. Le 1er mode est

donc décrit par les expressions :

x1 = A0 cos

( )

ω1t et

x2 = A0 cos

( )

ω1t . Les deux masses oscillent en phase avec la même amplitude ; le ressort central n’est pas sollicité dans le mouvement.

2ème mode propre (fréquence

f2 = 1 2π

3K m ) : De la même façon, après remplacement de

ωpr par

ω2 = 3K

m dans l’équation 3.10.b, on obtient l’amplitude du 2ème mode :

−K x1K x2 = 0 , soit pour les amplitudes :

A1 = A0 et A2 = −A0 . Le 2ème mode est donc décrit par les expressions :

x1 = A0 cos

(

ω2t

)

et

x2 = −A0 cos

(

ω2t

)

. Les deux masses oscillent en sens contraire avec la même amplitude. Dans ce mode, le milieu du ressort reste immobile ; le mouvement se passe comme si chaque masse était attachée à deux ressorts, l’un avec la raideur K et l’autre avec la raideur 2K, ou, ce qui est équivalent, à un ressort de raideur 3K.

Mouvement de l’oscillateur couplé avec des conditions initiales quelconques.

Lorsque les conditions initiales ne satisfont pas l’un ou l’autre des modes propres, la réponse du système est une combinaison d’oscillations sur les modes propres. La solution générale s’écrit :

(3.1) x1 x2

!

"

##

$

%

&

& =   x1pr.1)

α1 x2pr.1)

!

"

##

$

%

&

& +   x1pr.2)

α2 x2pr.2)

!

"

##

$

%

&

où α1 et α2 sont les rapports d'amplitude des modes propres.

Phénomène de battement entre les 2 oscillateurs.

Lorsque le couplage est faible et que les fréquences propres des oscillateurs (en oscillations découplées,

ωd.1 ≈ ωd.2 ) sont voisines, il se produit un phénomène de battement. Prenons l’exemple du système couplé symétrique m/K vu plus ci-dessus (K1 = K2 = K, K12 << K1et K2 , m1

= m2 = m ). Les pulsations propres :

ω1 = K m et

ω2 = K+2K12

m = ω1 + Δω.

Dans ce cas, si à l'instant initial, on écarte l'une des masses d’une valeur A0, l’autre étant retenue et on lâche à t=0, on observe une oscillation modulée en amplitude. Avec les conditions initiales ci-dessus, le mouvement d’oscillations est donné par les expressions

x1(t)=A0

2 cos

( )

ω1t + A0

2 cos

[ (

ω1+Δω

)

t

]

x2(t)=A0

2 cos

( )

ω1t A0

2 cos

[ (

ω1+Δω

)

t

]

%

&

' ( '

ou encore :

(3.2)

x1(t)=A0 cos

(

12Δω t

)

cos

[ ]

ω1t et x2(t)= A0 sin

(

12Δω t

)

sin

[ ]

ω1t

Il y a transfert d'énergie d'un pendule à l'autre. Le mouvement des 2 pendules, un battement à la pulsation

ωB = Δω = ω2−ω1, est représenté ci-après. La période du battement définie comme l’intervalle de temps entre deux ‘zéros’ de l’amplitude

A0 cos

(

12Δω t

)

est égale à :

(6)

TB = 2π

ω2−ω1 ; la fréquence du battement est donc égale à la différence des fréquences propres du système

fB = 1 TB

= f2f1.

Fig. 2-3 : Amplitudes des 2 mouvements dans un système à 2 degrés de liberté à couplage faible lorsque l'excitation initiale a eu lieu sur un élément uniquement.

2.2. EQUATIONS DE MOUVEMENT D’UN SYSTÈME À 2 DEGRÉS DE LIBERTÉ EN RÉGIME FORCÉ.

2.2.1. Equations du mouvement. Amortissement négligé.

Fig. 2-4 : Oscillateur mécanique à 2 degrés de liberté en régime forcé.

Considérons à nouveau le système de 2 masses reliées par des ressorts à des supports rigides et ajoutons une force excitatrice

f = Fexc cos

( )

ωt sur la masse m1. Les équations de mouvement deviennent :

(3.3)

m1d2x1

dt2 +

(

K1 + K12

)

x1K12x2 = Fexccos

( )

ωt , (3.4)

m2d2x2

dt2 +

(

K2 + K12

)

x2 − K12x1 = 0

T1 TB

x1

x2

m1

K1 K12

m2

X10 X20

x1(t) x2(t) K2

Force d’excitation f(t)=Fexccos(ωt)

Les équations différentielles peuvent être mises sous la forme ci-après :

(3.5)

d2x1

dt2 + a1x1b1x2 = c cos

( )

ωt d2x2

dt2

+ a2x2b2x1 = 0

$

%

&

&

'

&

&

avec

a1 = K1+K12

m1 ,

b1 = K12

m1 <a1,

a2 = K2+K12

m2 ,

b2 = K12

m2 <a2,

c = Fexc m1 On cherche d'abord les solutions avec les hypothèses suivantes.

1. On considère uniquement le régime forcé permanent, qui subsiste après amortissement du régime libre étudié ci-dessus.

2. L'amortissement est suffisamment important pour que le régime transitoire disparaisse rapidement 3. L'amortissement est suffisamment faible pour que les pulsations libres et les pulsations de résonance différent peu (ce qui correspond dans un oscillateur mécanique à un facteur de perte d compris entre 0,001 et 0,2).

On trouve alors des solutions de la forme : x1,2= X1,2 cos (ωt + ϕ1,2) pour le régime permanent où ω est la pulsation d'excitation, ou en écrivant sous la forme complexe :

x1(t) = X1 ejωt et

x2(t) = X2 ejωt . Le système d’équation différentielles devient :

a1−ω2

( )

X1 b1 X2 = c (a)

− b2 X1 +

(

a2−ω2

)

X2 = 0 (b)

$

% &

' &

ou, sous la forme matricielle :

a1−ω2b1

− b2 a2−ω2

$

% & '

( ) X1

X2

$

% & ' ( ) = c

0

$

% & ' ( ) .

Les solutions de cette équation matricielle (obtenues par la méthode de Kramer) s’écrivent :

(3.6)

X1 =

c − b1

0 a2−ω2 a1−ω2 − b1

b2 a2−ω2 et

X2 =

a1−ω2 c

− b2 0 a1−ω2 − b1

− b2 a2−ω2 .

En prenant développant, on obtient : (3.7)

X1

( )

ω = c a2ω

(

2

)

a1−ω2

( ) (

a2ω2

)

b1b2 et

X2

( )

ω = a c b2

1−ω2

( ) (

a2ω2

)

b1b2.

2.2.2. Résonances et Anti-résonance.

X1 et X2 passent par l’infini lorsque ω prend les valeurs des fréquences propres (zéro au dénominateur des expressions ci-dessus), ce sont les résonances. En pratique il y a toujours de l’amortissement qui augmente avec l’amplitude et qui vient limiter les amplitudes de résonance.

Pour la pulsation

ω = a2 = K2+K12

m1 , l’amplitude de X1 s’annule, on a une anti-résonance.

La masse m1 qui subit l’excitation n’accumule pas d’énergie (son amplitude reste faible). La résonance

(7)

(qui se traduit par une accumulation d’énergie) se manifeste dans les autres parties du système, ici sur la masse m2.

Lorsque

ω → ∞ ⇒ X1 → 0 par valeurs négatives et

X2 → 0 par valeurs positives.

L’allure des amplitudes d’oscillation dans un système non amorti en fonction de la pulsation de la force d’excitation est montrée sur le graphe ci-après.

(a)

(b)

Fig. 2-5 : Réponses d'un système à 2 degrés de liberté en régime forcé à la fréquence ω avec amortissement négligeable. ω1 et ω2 sont les pulsations des modes propres.

ωAR est la pulsation d'antirésonance.

(a) amplitudes – (b) déphasage par rapport à l’excitation

2.3. RÉSONANCES DANS LES SYSTÈMES RÉELS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ EN RÉGIME FORCÉ.INFLUENCE DES AMORTISSEMENTS.

En pratique les amplitudes des oscillations à la résonance sont limitées par : - l'amortissement qui n'est jamais nul ;

- par la non-linéarité des forces de rappel (K augmente avec l'amplitude) ; - par les limites géométriques (présence de butées) ou encore

- par la rupture du système.

2.4. OSCILLATEUR ÉLECTRIQUE À 2 DEGRÉS DE LIBERTÉ Considérons le circuit électrique représenté ci-après.

f1 f2

fAR

0 fréquence

X1

f1 f2

fAR

0 fréquence

X2

f1 fAR f2

0 fréquence

f1 fAR f2

0 fréquence

ϕ1 ϕ2

π

Fig. 2-6 : Oscillateur électrique à 2 degrés de liberté.

Si à t=0 les condensateurs contiennent des charges, et si à cet instant on ferme les interrupteurs 1 et 2, un courant i1(t) circule dans la maille 1 et un courant i2(t) circule dans la maille 2. Pour trouver les expressions de en fonction des caractéristiques du circuit, on appliquant les lois des circuits (loi des mailles et loi des nœuds) et l’on tient compte de la loi de conservation des charges. On obtient (dans le cas du régime libre (e(t) = 0) :

(3.8)

d2i1

dt2+ 1 L1

1 C1+ 1

C0

"

# $ %

&

' i1 − 1 L1C0i2 = 0 d2i2

dt2 + 1 L2

1 C2+ 1

C0

"

# $ %

&

' i2 − 1 L2C0i1 = 0 )

* + +

, + +

Ce système d’équation est identique à celui trouvé pour le système mécanique. Toutes les notions introduites précédemment peuvent être utilisées dans ce cas.

3. OSCILLATIONS DES SYSTEMESCONTINUS.

3.1. MOUVEMENTS D’UN SYSTÈME DE N MASSES PONCTUELLES RELIÉS PAR DES CORDES ÉLASTIQUES.

Fig. 2-7 : Forces appliquées à une masse du système pour un petit déplacement transverse.

L’équation du mouvement vérifie l’équation différentielle :

i1(t) UL1

UC0 C1

C0 C2

UL2

UC2

i2(t) i0(t)

L1 q0 L2 q2

boucle 1 boucle 2

UC1

Int q1

e(t)

0 1 2 3 N-1 N

(8)

(3.1)

d2yp

dt2 + 2ω02yp − ω02

(

yp+1 + yp−1

)

= Tl

(

ypyp−1

)

= 0 avec

ω02 = T ml.

Les amplitudes des oscillateurs on la forme suivante : (3.2)

Ap = C sin pnπ N+1

#

$ % &

' ( Il en résulte une expression pour ω2 :

(3.3)

ω2 = 2ω0

2 1 − cos nπ N+1

%

&

' (

) * +

, - .

/ 0 = 4ω0

2 sin2 nπ 2

(

N+1

)

+ , - .

/ 0 (3.4)

ωn = 2ω0 sin 2(N+1)

$

% & ' ( ) . Comme

sin nπ 2

(

N+1

)

#

$ % &

' ( ≤ 1 , les vibrations qui peuvent exister ont une pulsation

ω < ω0. 3.1.1. Modes normaux du système de N oscillateurs couplés.

A chaque valeur de l’entier n, correspond une pulsation particulière d’oscillation, valable pour tous les oscillateurs ; c’est ce que nous appelons un mode propre de vibration du système.

Le mouvement d'une masse en oscillation dépend de sa position p sur la corde et de l'ordre n du mode considéré. L'amplitude est donnée par l'expression :

(3.5)

Apn = Cn sin pnπ N+1

#

$ % &

' ( où Cn détermine l'amplitude d'excitation du mode d'ordre n.

Lorsque le système vibre à la pulsation ωn, la masse mp se déplace suivant l'expression : (3.6) spn(t) = Apn cos ωnt , Apn et ωn étant données par les expressions ci-dessus.

L’expression ci-dessus suppose que toutes les masses sont immobiles à l’instant initial. Pour considérer des conditions initiales quelconques, il suffit

(3.7) spn(t) = Apn cos (ωnt + ϕn),

Quel est le nombre de modes normaux pour le système de N oscillateurs considéré ici ? Comme il y a une pulsation propre pour chaque valeur de n, il y a donc n= N modes.

Nous pouvons mieux le voir en considérant le graphe ωn =

f nπ 2

(

N+1

)

#

$ % &

' ( = f(θ) où apparaissent uniquement les valeurs positives (valeurs absolues du sinus).

π/2 π 2π θ

ωn

Fig. 2-8 : Graphe ωn =

f nπ 2

(

N+1

)

#

$ % &

' ( = f(θ)

Pour n = 1 à N, nous avons effectivement N valeurs de pulsations. Pour n = N+1 (ce qui correspond à θ = π/2), nous obtenons une pulsation maximale ωmax = 2 ω0. Cependant cette pulsation ne correspond pas à une vraie oscillation puisque les amplitudes correspondantes sont toutes égales à 0.

Pour n = N+2, nous avons : (3.8) (6.24)

ωN+2 = 2ω0 sin

(

N+2

)

π

2

(

N+1

)

$

% & '

( ) = 2ω0 sin π − nπ 2

(

N+1

)

$

% & '

( ) (3.9) soit

ωN+2 =2ω0 sin Nπ 2

(

N+1

)

$

% & ' ( ) = ωN

Il en est de même pour les pulsations suivantes (ωN+p = ωp ).

De même il est possible de montrer que les amplitudes d’oscillations des particules reprennent également les mêmes valeurs, ce qui montre bien qu’il ne s’agit pas de nouveaux modes d’oscillation pour le système.

3.1.2. Les amplitudes des modes propres du système de N oscillateurs couplés.

A quoi ressemblent les différents modes ?

Pour le mode n=1, les amplitudes d’oscillations sont données par : (3.10) sp1(t) = Ap1 cos ω1t =

C1 sin pπ N+1

#

$ % &

' ( cos ω1t (avec p = 1, 2, 3 … N).

A un instant donné, le coefficient C1 cos ω1t est le même pour tous les oscillateurs. C’est le terme

C1 sin pπ N+1

#

$ % &

' ( qui marque la différence entre les différents oscillateurs. La courbe correspondante tracée ci-dessous indique bien la position des particules. Entre les positions des particules obenues pour les valeurs discrètes de p, la courbe n’a pas de signification physique. Cette courbe est un guide pour localiser les particules ; quant à la corde élastique qui relie les particules, elle est bien constituée de segments de droite.

Fig. 2-9 : Mode n = 1 pour N = 5. (a) Lieu des points de localisation des particules - (b) Forme réelle du système au maximum d’amplitude

La figure ci-après montre les positions des masses pour le mode n=2.

(9)

Fig. 2-10 : Positions des masses pour N = 11 et n = 2.

L'analyse des modes de vibration d'une ligne de masses disposées régulièrement le long d'une corde peut être extrapolée aux vibrations observées au sein d'un réseau d'atomes d'un matériau cristallin. Par analogie, il est possible de prévoir que les fréquences du réseau sont données par l'expression :

(3.11)

fn = 2f0 sin nπ 2

(

N+1

)

#

$ % &

' (

On montrera dans la partie ‘Ondes’ du cours que f0 est donné par l’expression

f0 = 1 2l

E ρ E = Module d'Young, ρ = masse volumique, l = distance interatomique).

f0 correspond à la plus haute fréquence (ou fréquence de coupure) à laquelle le cristal peut osciller. Il est possible de montrer que les valeurs trouvées en pratique sont de l'ordre de 1013 Hz, c'est-à-dire dans l'infra-rouge. On peut donc s'attendre à des bandes d'absorption du rayonnement par certains cristaux dans cette bande du spectre électromagnétique.

3.2. SYSTÈME DE N PENDULES COUPLÉS.LOI DE DISPERSION.

X' X

α

n-1

α

n

α

n+1

m

m m

K K

un-1

un

un+1 Oscillateur

de rang n

a

K

Positions de 3 pendules voisins dans un système constitué d'un grand nombre de pendules (masse m au bout d’une tige de longueur l) couplés de façon identique par des ressorts de raideur K.

Le mouvement des pendules obéit à l’équation de Klein-Gordon :

2u x,t)

( )

∂t2 = − ω0

2 u x,t

( )

+ Ka

2

m

2u x,t)

( )

∂x2 Ce système comporte

- N modes propres

- Des ‘ondes sinusoïdales’ (vibrations qui peuvent se répandre tout le long de la structure - Des ondes exponentielles (vibrations qui ne peuvent pas s’établir loin du point d’excitation.

- A(x) = A0 exp (-κx).

Dans le cas

ω2 > ω0

2 où l'équation (1) prend la forme :

k2 =

(

ω2 − ω02

)

Kam2

Dans la zone dite dispersive, les vibrations imposées à un endroit de la chaîne, se propagent le long de celle-ci. La répartition d’amplitude à un moment donné est sinusoïdale. Cette distribution se déplace en restant identique à elle-même (figure).

Déplacement de la répartition d’amplitude (ou ‘onde’) pendant un temps ∆t. La notion de vitesse de déplacement peut être introduite.

La répartition de l’amplitude des oscillations étant donné par

un

( )

t = A cos

(

ωt k xn

)

, on

voit que pour se déplacer avec cette onde tout en gardant une phase constante, il faut se déplacer avec une célérité c telle que :

(3.12)

c = Δx Δt = ω

k.

L’étude des phénomènes ondulatoires permet de déterminer la relation entre la célérité des ondes sinusoïdales et les paramètres du milieu traversé.

Dans le cas où ω2 < ω02 , une autre forme d'onde apparaît, les ondes exponentielles.

La répartition spatiale de l’amplitude des ‘ondes exponentielles’ est montrée ci-après.

(10)

4. LIGNE ÉLECTRIQUE CONSTITUÉE D’UN GRAND NOMBRE D’OSCILLATEURS L-C Considérons une ligne d’oscillateurs électriques L-C

Oscillateur électrique à N+1 degrés de liberté.

La force électromotrice aux bornes de la n-ième inductance est donnée par : (3.13)

L din dt = qn−1

Cqn C

où q n.1 et q n.2 sont respectivement les charges dans le condensateur d'entrée et le condensateur de sortie de la cellule d'indice n. Après dérivation, nous obtenons :

(3.14)

L d2in dt2 = 1

C dqn−1

dt − dqn dt

#

$ % &

' ( .

En prenant en considération la conservation de la charge, nous obtenons :

(3.15) L d2in

dt2 = 1

C"#

(

in − in−1

)

(

in+1 − in

)

$%ou (3.16)

L d2in dt2 + ω0

2

(

2inin−1in+1

)

= 0avec

ω0 = 1

LC, la pulsation propre d’un oscillateur isolé.

Cette équation différentielle, fait apparaître la notion de propagation du signal électrique : la vartiation de courant du premier oscillateur se propage le long de la ligne. Les oscillateurs reproduiront tous le courant du premier, mais avec un retard de phase qui dépend de la position. Soit Φ le déphasage du mouvement entre l’oscillateur n et le suivant :

Φ = Φn+1− Φn.

x A(x)

A0

A x

( )

= A0 e−κx

q2 q1

a X

x = na (n+1)a

i1(t) i2 in in+1

qn.1 qn.2

L L L L L

C C C cellule n C C

cellule n+1

a X'

0

a C

0

a x=na

position n-1 0

Xʼ X

i0 in-1

L C

1 2

in in+1

n n+1

L C

qn-1 qn

S

On cherche une solution de la forme

in

( )

t = I cos

(

ωt n Φ

)

, soit sous la forme complexe :

in

( )

t = I ejn Φ ejωt .

Après introduction dans l’équation différentielle, on obtient :

ω2 = 4 ω02sin2Φ 2 ou

ω = 2 ω0 sinΦ 2.

Le premier oscillateur est au rang 0, l’oscillateur de rang n est à l’abscisse

xn = n.a et le déphasage du mouvement de l’oscillateur n est

Φn = n Φ. On a donc

Φn = Φ a xn =

k xn en posant

k = Φ a.

k correspond donc à un déphasage par unité de longueur.

La solution s’écrit alors :

in

( )

t = I cos

(

ωt k xn

)

et la relation ci-dessus devient : (3.17)

ω

( )

k = 2 ω0 sinka 2 =

2 1 LC sin ka

2

"

# $ %

&

'

Cette relation entre la pulsation ω et le paramètre k est dite de dispersion.

Comme nous avons

sinka

2 ≤ 1, les pulsations qui donnent lieu à un phénomène de vibration tout le long de la structure sont telles que

ω ≤ 2ω0. Cette valeur constitue une pulsation limite (ou de pulsation de coupure). Nous avons trouvé que, pour le système considéré, il exite des solutions sinusoidales pour la répartition spatiale des amplitudes d’oscillation (fig. ci-après) à condition que la pulsation de l’excitation vérifie la relation

ω ≤ 2ω0= 2 1LC.

Le terme ka n'est ici pas aussi bien justifié que dans le cas des pendules couplés ou de la corde élastique plombée. Nous pouvons tout de même dire qu'il s'agit de l'augmentation de phase observée en passant d'une inductance localisée à la suivante.

Répartition du courant local le long de l’axe X’X à un instant donné.

x

(in)

Références

Documents relatifs

La réaction des adversaires de l’État est d’autant plus curieuse que la population est moins crispée qu’auparavant sur l’exercice conjoint, au niveau européen, de

Supplementary immunization in highest- risk polio-free areas: The third priority of the Global Polio Eradication Initiative will be to prevent the re-establishment of wild

[r]

[r]

Forme générique de la Solution Générale de l’Equation Sans Second Membre correspondant à un régime pseudo-périodique (on donnera le nom de chacun des paramètres

[r]

UN CONSIGLIO : INIZIA CON LE GRIGLIE LE PIÙ

Un consejo: empezar por las casillas