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AX = X et X =/0 Réduction

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Texte intégral

(1)

Système diﬀérentiel linéaire X⁰=A X

On poseY(t) =P⁻¹X(t)

Y⁰=T Y se résout en partant du bas X(t) =P

k=1

p ke^k^tUk

oùk2K

Puissances de A Aⁿ=P DⁿP⁻¹ oùDⁿ=diag(kn)

Trigonalisation CNS : Ascindé toujours vrai dans C T=P⁻¹A P triangulaire

Récurrence linéaire

un+p=X

k=0 p−1

akun+k A=

0 B BB BB BB BB BB B@

0 1 0 0

0

0 0 1

a0 a1 a_p−1 1 C CC CC CC CC CC CA

Un=

0 BB BB B B@

u_n u_n+1 u_n+p−1

1 CC CC C

CAetUn+1=A Und'où Un=AⁿU0

un=P

k=1

p kkn oùk2K cas part.1 : Ascindé à racines simples

cas part.2 : Sp(A) =fgsingleton AlorsAdiagonalisable,A= Ip

Théorème spectral

SiA^T=A, alors Apossède une base orthonormale de vecteurs propres

Diagonalisabilité

CNS :Ascindé et m(A) =dimE(A)

Valeurs propres, vecteurs propres

A X = X et X = / 0

Diagonalisation

B= (U1; : : : ; Un)base telle queA Uk=kUk

D=P⁻¹A P=diag(1; : : : ; p) oùP=Mat_B_c(B)

Sous-espaces propres E(A) =Ker(A− Ip) toujours en somme directe

16dimE6m(A)

K^p= M

2Sp(A)

E(A)

Polynôme caractéristique

A() =det( Ip−A)unitaire de degré p si p= 2A() =²−tr(A)+det(A)

Sp(A) =Racines(A)

Réduction

Références

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[~' - - r (t, 0~ x,)][.~'-- 4, (t, 0.. ~,)]... [~,~' - - !' it, 0~,)],

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Donc Int(A)

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