∀ x ≥ 0, E(x) = b x c . 1. On considère l'équation fonctionelle

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Énoncé

Cet exercice porte sur des propositions liant racine carrée et partie entière. La dernière question est indépendante des premières.

On note I = [0, + ∞ [ et E la restriction de la fonction partie entière dans cet intervalle :

∀ x ≥ 0, E(x) = b x c . 1. On considère l'équation fonctionelle

F : E ◦ g = E

où la fonction inconnue g est dénie dans I et à valeurs dans I . a. Préciser deux solutions évidentes de l'équation F.

b. Soit g dénie dans I et à valeurs dans I .

Montrer que g est solution de F si et seulement si

∀ n ∈ N , g ([n, n + 1[) ⊂ [n, n + 1[ .

2. Soit f une bijection de I dans I . On cherche une solution de F de la forme f ◦ E ◦ f ⁻¹ . a. Pour tout n ∈ N, montrer que

f ◦ E ◦ f ⁻¹ (n) = n ⇔ f ⁻¹ (n) ∈ N .

b. On suppose de plus que f est croissante. Montrer qu'elle est strictement croissante et continue. Montrer que f ◦ E ◦ f ⁻¹ est solution de F si et seulement si

∀ n ∈ N , f ⁻¹ (n) ∈ N . 3. Application.

a. Montrer que b p

b x cc = b √

x c pour tout x ≥ 0 . b. Montrer que

∀ m ∈ N , ∀ n ∈ N ^∗ , ∀ x ≥ 0, b x + m

n c = b b x c + m n c . c. Soit b > 1 . On dénit la fonction logarithme en base b notée log _b par :

∀ x > 0, log _b (x) = ln(x) ln(b) . Pour quels b a-t-on : ∀ x > 1, b log _b (x) c = b log _b ( b x c ) c ?

4. On dit qu'une suite (u n ) n∈ N à valeurs dans [0, 1] est bien répartie si et seulement si, pour tout (a, b) ∈ [0, 1] ² avec a < b ,

1

n Card { k ∈ J 0, n K tq a < u _k < b }

n∈ N

→ b − a.

a. Soit x < y réels. Montrer

]x, y[ ∩ Z = Jb x c + 1, d y e − 1 K , y − x − 1 ≤ Card (]x, y[ ∩ Z ) < y − x + 1.

b. Soit 0 ≤ a < b ≤ 1 et m ∈ N.

Quels sont les k ∈ N tels que b √

k c = m et a < √ k − b √

k c < b ? c. Montrer que la suite ( √

n − b √

n c ) _{n∈ N} est bien répartie.

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Corrigé

1. a. La fonction Id _I et la fonction E elle même sont des solutions évidentes de l'équa- tion fonctionnelle F.

b. Soit g dénie dans I et à valeurs dans I .

Supposons g solution de F . Pour tout n entier et tout réel x , x ∈ [n, n + 1[ ⇒ n = E(x) = E(g(x)) ⇒ g(x) ∈ [n, n + 1[

Réciproquement, pour tout x ≥ 0 , notons n = b x c. L'implication signgie que b g(x) c = n c'est à dire E ◦ g(x) = E(x) .

2. a. Comme f est bijective, en composant à gauche par la bijection réciproque f ⁻¹ ,

∀ n ∈ N , f ◦ E ◦ f ⁻¹ (n) = n ⇔ E ◦ f ⁻¹ (n) = f ⁻¹ (n) ⇔ f ⁻¹ (n) ∈ N . b. Ici f est une bijection croissante de I dans I . Elle est strictement croissante car

elle est injective. Elle est continue car d'après un théorème de cours, comme f est croissante, le fait que f (I) soit un intervalle (ici I ) entraine que f est continue.

Supposons que f ◦ E ◦ f ⁻¹ soit une solution de F. Alors, d'après 1.b.,

∀ n ∈ N , f ◦ E ◦ f ⁻¹ ([n, n + 1[) ⊂ [n, n + 1[ ⇒ E ◦ f ⁻¹ ([n, n + 1[) ⊂ f ⁻¹ ([n, n + 1[).

en composant par la bijection réciproque f ⁻¹ . Comme f ⁻¹ est continue et stric- tement croissante,

f ⁻¹ ([n, n + 1[) =

f ⁻¹ (n), f ⁻¹ (n + 1) .

Donc E(

f ⁻¹ (n), f ⁻¹ (n + 1) ) ⊂

f ⁻¹ (n), f ⁻¹ (n + 1)

⇒ f ⁻¹ (n) ≤ E(f ⁻¹ (n)) ⇒ f ⁻¹ (n) = E(f ⁻¹ (n)) ⇒ f ⁻¹ (n) ∈ N . Réciproquement, supposons f ⁻¹ (n) ∈ N pour tout n ∈ N. D'après 1.b., pour montrer que f ◦ E ◦ f ⁻¹ est solution de F , il sut de montrer que

∀ n ∈ N , f ◦ E ◦ f ⁻¹ ([n, n + 1[) ⊂ [n, n + 1[ . Pour tout réel x , l'encadrement n ≤ x < n + 1 entraine

f ⁻¹ (n) ≤ f ⁻¹ (x) < f ⁻¹ (n + 1) (car f ⁻¹ strictement croissante)

⇒ f ⁻¹ (n) ≤ E(f ⁻¹ (x)) < f ⁻¹ (n + 1) (car f ⁻¹ (n) et f ⁻¹ (n + 1) entiers)

⇒ n ≤ f ◦ E ◦ f ⁻¹ (x) < n + 1 (car f strictement croissante) .

3. Application.

a. La fonction racine carrée est une bijection croissante de I dans I . Prenons la comme fonction f pour utiliser la question 2. Sa bijection réciproque est la fonction carrée restreinte à I . Évidemment, f ⁻¹ (n) = n ² ∈ N pour tout n ∈ N. On en déduit

E ◦ f ◦ E ◦ f ⁻¹ = E ⇒ E ◦ f ◦ E = E ◦ f ⇒

∀ x ≥ 0, b p

b x cc = b √ x c

. b. La fonction f dénie par f (x) = ^x+m _n vérie les conditions de 2.b. avec f ⁻¹ (y) =

ny − m donc f ⁻¹ ( N ) ⊂ N.

c. De même pour f (x) = log _b (x) avec f ⁻¹ (y) = b ^y . La relation est alors vériée si f ⁻¹ ( N \ { 0, 1 } ) ⊂ N donc en particulier pour b naturel.

x y

⌊x⌋ ⌈y⌉

Fig. 1: Intervalle entier

4. a. Soit x < y réels. Notons p = min (]x, y[ ∩ Z ) et q = max (]x, y[ ∩ Z ) . Alors ]x, y[ ∩ Z = J p, q K

avec

(x < p = (p − 1) + 1 et p − 1 ≤ x) ⇒ p − 1 = b x c ⇒ p = b x c + 1.

(q = (q + 1) − 1 < y et q + 1 ≥ y) ⇒ q + 1 = d y e ⇒ q = d y e − 1.

D'après l'égalité précédente, Card (]x, y[ ∩ Z ) = q − p + 1 . Alors : (q < y et x < p) ⇒ Card (]x, y[ ∩ Z ) < y − x + 1 (q ≥ y − 1 et x ≥ p − 1) ⇒ Card (]x, y[ ∩ Z ) ≥ y − x − 1 b. Soit 0 ≤ a < b ≤ 1 et m ∈ N.

Quels sont les k ∈ N tels que b √

k c = m et a < √ k − b √

k c < b ? Comme 0 ≤ a < b ≤ 1 , ce sont les k entiers tels que

m + a < √

k < m + b ⇔ (m + a) ² < k < (m + b) ² c'est à dire

(m + a) ² , (m + b) ²

∩ Z.

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c. On veut montrer que la suite ( √ n −b √

n c ) n∈ N est bien répartie. Notons n = b √ n c.

Soit 0 ≤ a < b ≤ 1 . Nommons X n l'ensemble des entiers k entre 0 et n tels que a < √

k − b √ k c < b.

Classons les k ∈ X _n selon les valeurs de b √

k c qui est un entier m quelconque dans J 0, n K. Nommons X _n,m l'ensemble des k tels que b √

k c = m et a < √ k −b √

k c < b . Alors X _n est l'union disjointe de X _n,m et

Card(X n ) =

n

X

m=0

Card(X n,m ).

D'après les questions 4.b. et 4.c.,

(m + b) ² − (m + a) ² − 1 ≤ Card(X n,m ) < (m + b) ² − (m + a) ² + 1 Comme (m + b) ² − (m + a) ² = 2(b − a)m + b ² − a ² , on peut calculer la somme ce qui conduit à

2(b − a) n(n + 1)

2 + n(b ² − a ² − 1) ≤ Card(X n ) < 2(b − a) n(n + 1)

2 +n(b ² − a ² + 1) Pour pouvoir conclure que la suite est bien répartie en utilisant le théorème d'en- cadrement pour les suites, il reste à montrer que

( n

n ) n∈ N

→ 0 et ( n(n + 1)

n ) n∈ N

→ 1.

On utilise encore le théorème d'encadrement 0 ≤ n

n ≤

√ n

n = 1

√ n → 0 1 − 1

√ n

| {z }

→1

= ( √

n − 1) √ n

n ≤ n(n + 1)

n ≤

√ n( √ n + 1)

n = 1 + 1

√ n

| {z }

→1

.

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