Cnam-Paris-2008-2009 corrigé du devoir 1 F. Guiraud
1 )On considère la fonction f : x → - 4
3 x
3+ 3x
2+4x -2 L’ étude des variations conduit au tableau suivant :
x - ∞
-0.5 2 +∞
f ’(x) - + -
f(x)
+∞-
3712 22
3
-
∞
On en déduit le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 : une solution < -0.5, une comprise entre -0.5 et 2, une > 2
Graphique
-2 -1 0 1 2 3 4
-4 -2 0 2 4 6 8
On calcule f(-1) = - 5
3 , f(-2) = 38
3 donc la première racine est comprise entre -2 et -1 Puis on calcule f(0) = -2, f(1) = 11
3 donc la deuxième racine est comprise entre 0 et 1 Puis on calcule f(3) =1, f(4) = - 70
3 donc la troisième racine est comprise entre 3 et 4 2) En partant de f(x) =0 soit - 4
3 x
3+ 3 x
2+4x -2 =0, on tire x = 1 3 x
3- 3
4 x
2+
1 2 D’où un première suite u
n+1
= 1 3 u
n 3
- 3
4 u
n 2
+ 1
2 = g(u
n
)
D’après le théorème du point fixe, il faut que | g ‘(x)| < 1 sur l’intervalle considéré [a, b] et que g([a,b]) ⊂ [a,b]
-1 < g’(x) < 1 ⇔ -1 < x
2-
3
2 x < 1 ⇔ x
2-
3
2 x – 1 < 0 ⇔ ( x – 2)( x + 1 2 ) < 0 x
2-
3
2 x + 1 > 0 toujours vrai
donc -1 < g’(x) < 1 si x ∈ ] - 1
2 , 2[ donc si la suite converge, elle converge vers la racine comprise entre 0 et 1
g([0,1]) = [ 1 12 , 1
2 ] ⊂ [0, 1] donc elle converge bien vers la racine comprise entre 0 et 1 Prenons u
0
= 0 , u
1
= 1 2 , u
2
= 17 48 = 0.354, u
3
= 0.4204 Pour les autres racines, on pose x = x + α ( - 4
3 x
3+3x
2+4x -2) soit : x = - 4
3 α x
3+ 3 α x
2+ (4 α +1)x -2 α = g(x) g’(x) = - 4 α x
2+ 6 α x + 4 α +1
Prenons x ∈ ∈ ∈ ∈ [ -2, -1] et cherchons α > 0.
- 16 α < - 4 α x
2< -4 α et - 12 α < 6 α x < -6 α soit - 24 α +1 < g’(x) < -6 α +1 soit 0< α < 1
12 = 0.0833..pour avoir -1< g’(x)< 1 On peut prendre α = 0.05 donc g(x) = - 1
15 x
3+ 0.15 x
2+ 1.2x – 0.1 Vérifions que g([-2, -1]) = [-1.37, -1.083] ⊂ [-2,-1]
Donc la suite u
n+1= - 1
15 u
n
3
+0.15 u
n
2
+ 1.2 u
n
-0.1 converge vers la racine appartenant à [-2, -1]
Prenons u
0
= -2, u
1
= -1.3766.. ; u
2
= -1.2897 ; u
3
= -1.255 Prenons x ∈ ∈ ∈ ∈ [ 3, 4] et cherchons α > 0.
-64 α < - 4 α x
2< -36 α , 18 α < 6 α x < 24 α donc -42 α +1 <g’(x)< -8 α +1 Soit 0< α < 1
42 = 0.0238.. pour avoir -1< g’(x)< 1. On peut prendre α = 0.01 ce qui donne g(x) = - 1
75 x
3+ 0.03 x
2+1.04x -0.02 63+
Vérifions que g([3, 4]) = [3.01,3.7667] ⊂ [3,4]
u
0= 3, u
1
=3.0100 ; u
2
=3.0186 ; u
3
= 3.026
4) méthode de Newton u
n+1
= u
n
-
f(u
n) f '(u
n) = u
n
- - 4
3 u
n 3
+3 u
n 2
+ 4 u
n
- 2 -4u
n2
+ 6 u
n
+ 4
On choisit le premier terme u
0
de façon que f(u
0 ) .
f ″ ( u
0 )
> 0
o Pour la racine comprise entre 3 et 4 , f(3) = 1, f ″ ( 3) = -24 + 6 = - 18 donc 3 ne peut pas être le premier terme ; par contre f(4) = - 70
3 et f ″ (4) = -32 +6 = -26, le premier terme sera donc u
0
= 4 u
1= 4 - 70
3 × 36 = 3.3519 ; u
2
= 3.3519 - 5.0982
20.8296 = 3.3519 - 0.2448 = 3.1071 ; u
3= 3.1071 - 0.6048
15.9737 = 3.1071 - 0.0378 =3.0693
o Pour la racine comprise entre 0 et 1, f(0) = -2, f ″ (0) = 6, f(1)= 11
3 , f ″ (1) = -2
Aucun des points ne convient, car il y a un point d’inflexion en x = 0.75, il faut diminuer l’intervalle : f(0.5) = 0.5833 donc la racine appartient à [ 0, 0.5]
f ″ (0.5) = 4 , on prendra u
0
= 0.5, u
1
= 0.5 - 0.5833
6 = 0.5 - 0.0972 = 0.4028 u
2= 0.4028 - 0.0108
5.7678 = 0.4009
o Pour la racine comprise entre -2 et -1, f(-2) = 12.667, f ″ (-2) = 22 on prend u
0
= -2 u
1
= -2 - 12.667
-24 = -1.4722 ; u
2
= -1.4722 + 2.8677
13.502 = -1.2598 5) méthode de Lagrange : u
n+1
=
bf(u
n) - u
n
f(b)
f(u
n) - f(b) avec f(b). f ″ (b) > 0
o Pour la racine comprise entre -2 et -1, on prend pour b le même premier terme que pour la méthode de Newton soit b = -2 et u
0
= -1 u
n+1=
8 3 u
n 3
-6 u
n 2
- 8 u
n
+4 - 12.667 u
n
- 4 3 u
n 3
+3 u
n 2
+ 4 u
n
- 2 -12.667 =
8 3 u
n 3
-6 u
n
2
- 20.667 u
n
+4 - 4
3 u
n 3
+3 u
n 2
+ 4 u
n
-14.667
u
1= 3.333+9.3333
-1.666-9.3333 = -1.1515 ; u
2
= -1.1894
o Pour la racine comprise entre 0 et 0.5, on prend pour b le premier terme de la méthode de Newton :0.5 et u
0
= 0 u
1
= -1
-2.5833 = 0.3871 , u
2
= 0.3882
o Pour la racine comprise entre 3 et 4 , on prend b = 4 et u
0
= 3 u
1= 74
73 3
= 3.0411 ; u
2
