fonctions usuelles

fonctions usuelles

logarithmes et exponentielles Exercice 1. Calcul de limite

Montrer que : ∀x >0,x−¹₂x²<ln(1 +x)< x. En déduire limn→∞

1 + 1

n² 1 + 2 n²

. . .

1 + n

n²

. Exercice 2. Dérivées deexp(−1/x)

On posef(x) = exp(−1/x) six >0 etf(0) = 0.

1) Montrer quef est de classeC^∞ surR^+∗, et quef⁽ⁿ⁾(x) est de la formeP_n(x)x⁻²ⁿexp(−1/x) oùP_n est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal àn−1 (n>1).

2) Montrer quef est de classeC^∞ en 0⁺.

3) Montrer que le polynômePn possèden−1 racines dansR^+∗. Exercice 3. (1 + 1/t)^t

1) Montrer que : ∀t >1,

1 + 1 t

t

< e <

1 + 1

t−1 t

. 2) Montrer que : ∀x, y >0,

1 +x

y y

< e^x<

1 + x

y x+y

. Exercice 4. ln(1 +ax)/ln(1 +bx)

Soient 0< a < b. Montrer que la fonctionf :







R^+∗ −→ R

x 7−→ ln(1 +ax) ln(1 +bx)

est croissante.

Exercice 5. Inégalité

Soient 0< a < b. Montrer que : ∀x >0,ae^−bx−be^−ax> a−b.

Exercice 6. Racine d’une somme d’exponentielles Soient 0< a₁< a₂< . . . < a_p des réels fixés.

1) Montrer que pour tout réela > a_p il existe un unique réelx_a >0 solution de : a₁^x+. . .+a^x_p=a^x. 2) Poura < b, comparerxa etxb.

3) Chercher lim_a→+∞xa puis lim_a→+∞xalna.

Fonctions hyperboliques Exercice 7. Formules d’addition pour les fonctions hyperboliques

Calculer ch(a+b), sh(a+b), th(a+b) en fonction de cha, sha, tha, chb, shb, thb.

Exercice 8. Simplification deachx+bshx Soient a, b∈Rnon tous deux nuls.

1) Peut-on trouverA, ϕ∈Rtels que : ∀x∈R,ach(x) +bsh(x) =Ach(x+ϕ) ? 2) Peut-on trouverA, ϕ∈Rtels que : ∀x∈R,ach(x) +bsh(x) =Ash(x+ϕ) ? Exercice 9. Somme de ch

CalculerPn

k=0ch(kx).

Exercice 10. Somme de sh

Exercice 12. Somme de1/sh Soitx∈R^∗. Vérifier que 1

shx = cothx

2 −cothx. En déduire la convergence et la somme de la série de terme général 1

sh(2ⁿx).

Exercice 13. Polynômes de Chebicheff

1) Pour n∈N, on pose fn(x) = cos(narccosx) etgn(x) = sin(n√arccosx)

1−x² . Montrer que fn et gn sont des fonctions polynomiales.

2) Même question avechn(x) = ch(nargch(x)) etkn(x) = sh(n√argch(x)) x²−1 . 3) Établir des relations entre les polynômes associés àfn,gn,hn etkn. Exercice 14. chx+ chy=a,shx+ shy=b

Soient a, b∈R. Étudier l’existence de solutions pour le système :

chx+ chy =a shx+ shy =b.

Exercice 15. Relation entre les fonctions hyperboliques et circulaires Soity∈]−^π₂,^π₂[. On posex= ln(tan(¹₂y+^π₄)).

Montrer que th¹₂x= tan¹₂y, thx= siny et chx= 1 cosy. Exercice 16. argth((1 + 3 thx)/(3 + thx))

Simplifier argth

1 + 3 thx 3 + thx

. Exercice 17. Équation

Résoudre argchx= argsh(x−¹₂).

Exercice 18. Calcul de primitives

Déterminer des primitives des fonctions suivantes : 1) f(x) =√ 1

x²+x+ 1. 2) f(x) = 1

x²+x−1.

Fonctions circulaires inverses Exercice 19. arcsin et arccos à partir de arctan

Définir arcsinxet arccosxà l’aide de la fonction arctan.

Exercice 20. Formules d’addition

Soient a, b∈R. Simplifier arctana+ arctanb.

Exercice 21. arcsinx= arccos¹₃−arccos¹₄

Résoudre l’équation : arcsinx= arccos¹₃−arccos¹₄. Exercice 22. arcsin1 +√

5 4 Soitx= arcsin1 +√

5

4 . Calculer cos 4xet en déduirex.

Exercice 23. arctangentes 1) Simplifier arctan 1−x

1 +x. 2) Simplifier arctan

r1−x 1 +x. 3) Simplifier arctanx−√

1−x² x+√

1−x². 4) Simplifier arctan

√

x²+ 1−1

x + arctan(√

1 +x²−x).

5) Simplifier arctan 1

2x² −arctan x

x−1 + arctanx+ 1 x . Exercice 24. 2 arcsinx+ arcsinf(x) = ^π₆

Existe-t-il une fonctionf :D⊂R→Rtelle que : ∀x∈D, 2 arcsinx+ arcsinf(x) = ^π₆ ? Exercice 25. Simplifications

1) Simplifier cos(3 arctanx) et cos²(¹₂arctanx) pourx∈R. 2) Simplifier arccos(cosx)−¹₂arccos(cos 2x) pourx∈[0,2π].

3) Simplifier x

2 −arcsin

r1 + sinx

2 pourx∈[−π, π].

4) Simplifier cos(arctan(sin(arctan_x¹))).

Exercice 26. Équation Résoudre : 2 arccos

1−x² 1 +x²

+ arcsin 2x

1 +x²

−arctan 2x

1−x²

= 2π 3 . Exercice 27. Équations aux arctan

Résoudre :

1) arctan 2x+ arctan 3x= ^π₄. 2) arctanx−1

x−2 + arctanx+ 1 x+ 2 = π

4. 3) arctan 1

x+ arctanx−1 x+ 1 = π

4.

4) arctan(x−3) + arctan(x) + arctan(x+ 3) = ^5π₄ . Exercice 28. Sommes remarquables

1) Montrer que : 4 arctan¹₅−arctan₂₃₉¹ = ^π₄.

2) Montrer que : arcsin⁴₅+ arcsin₁₃⁵ + arcsin¹⁶₆₅ = ^π₂. Exercice 29. Sommes remarquables

1) Montrer que : ∀x∈R, arctanx+ 2 arctan √

1 +x²−x

=^π₂. 2) Montrer que : ∀x∈]0,1], 2 arctan

r1−x

x + arcsin(2x−1) = ^π₂. Exercice 30. arctan((x−sina)/cosa)

Soita∈[0,^π₂[. On posef(x) = arcsin

2(x−sina) cosa x²−2xsina+ 1

et g(x) = arctan

x−sina cosa

. Vérifier quef est bien définie, calculer sin(2g(x)) et comparerf(x) etg(x).

Exercice 31. Équivalent dearccos(1−x)

Divers Exercice 33. Centrale MP 2000

Soitf :R^+∗→R^+∗ telle que : ∀x, y >0,f(xf(y)) =yf(x) etf(x) −→

x→0⁺+∞.

1) Montrer quef est involutive.

2) Montrer quef conserve le produit. Que peut-on dire de la monotonie de f, de sa continuité ? 3) Trouverf.

solutions

Exercice 3.

1) Étudier les logs.

2) Idem.

Exercice 4.

f⁰(x)

f(x) = a

(1 +ax) ln(1 +ax)− b

(1 +bx) ln(1 +bx). Pourx>0 fixé, la fonctiont 7→ t

(1 +tx) ln(1 +tx) est décroissante.

Exercice 6.

1) Étude dex7→

a1

a ^x

+. . .+ ap

a ^x

. 2) xa> xb.

3) xa→`. Si` >0,a^xa →+∞, maisa^x₁^a+. . .+a_p^xa →a^{`</sup><sub>1</sub>+. . .+a<sup>`}_p. Donc`= 0, etxalna→lnp.

Exercice 8.

1) Oui ssi|a|>|b|.

2) Oui ssi|a|<|b|.

Exercice 9.

= ch(nx/2) sh((n+ 1)x/2)

sh(x/2) .

Exercice 10.

x=−²₃a.

Exercice 11.

2 coth 2x− 1 x. Exercice 12.

cothx 2 −1.

Exercice 13.

1) f0(x) = 1,f1(x) =x,fn+1(x) +fn−1(x) = 2xfn(x).

g0(x) = 0,g1(x) = 1, gn+1(x) +gn−1(x) = 2xgn(x).

2) h0(x) = 1, h1(x) =x, hn+1(x) +hn−1(x) = 2xhn(x).

k₀(x) = 0, k₁(x) = 1,k_n+1(x) +k_n−1(x) = 2xk_n(x).

3) f_n=h_n,g_n=k_n= ¹_nf_n⁰. Exercice 14.

PoserX =e^x,Y =e^y : X+Y =a+b,XY = a+b

a−b. Il y a des solutions si et seulement sia>√ b²+ 4.

Exercice 16.

=x+ ln√ 2.

Exercice 17.

x= ⁵₄. Exercice 18.

2x+ 1

Exercice 20.

arctana+ arctanb≡arctan

a+b 1−ab

(modπ).

Exercice 21.

x=

√8−√ 15 12 . Exercice 22.

cos 4x=−sinx⇒x= ^3π₁₀. Exercice 23.

1) x >−1 : ^π₄ −arctanx,x <−1 : −^3π₄ −arctanx.

2) =¹₂arccosx.

3) −16x <−^√1

2 : arcsinx+^3π₄, −^√1

2 < x61 : arcsinx−^π₄. 4) =^π₄.

5) =πsi 0< x <1, = 0 six <0 oux >1.

Exercice 24.

D= [−¹₂,

√3

2 ], f(x) =¹₂ −x²−x√ 3√

1−x². Exercice 25.

1) cos(3 arctanx) = 1−3x²

(1 +x²)^3/2. cos²(¹₂arctanx) =

√

1 +x²+ 1 2√

1 +x² .

2) = 0 si 06x6^π₂, = 2x−πsi ^π₂ 6x6π, = 3π−2xsiπ6x6^3π₂, = 0 si ^3π₂ 6x62π.

3) =x+^π₄ si−π6x6−^π₂, =−^π₄ si−^π₂ 6x6 ^π2, =x−^3π₄ si ^π₂ 6x6π.

4) =

rx²+ 1 x²+ 2. Exercice 26.

Six <−1,f(x) =−8 arctanx−2π. Si−1< x <0,f(x) =−4 arctanx. Si 0< x <1,f(x) = 4 arctanx.

Si x >1,f(x) = 2π. S={−√

3,−1/√ 3,1/√

3}.

Exercice 27.

1) x= ¹₆. 2) x=±1/√

2.

3) x∈]− ∞,−1[∪]0,+∞[.

4) x³−3x²−12x+ 10 = 0⇒x∈ {5,−1±√

3}. Seule la solutionx= 5 convient.

Exercice 30.

sin(2g(x)) = sin(f(x)).

f(x) =−π−2g(x) six6sina−cosa,

f(x) = 2g(x) si sina−cosa6x6sina+ cosa, f(x) =π−2g(x) six>sina+ cosa.

Exercice 33.

1) Pourx= 1 on af◦f(y) =yf(1) doncf est injective et poury= 1 : f(xf(1)) =f(x) d’oùf(1) = 1.

2) f(xy) =f(xf(f(y))) =f(y)f(x).

Pour 0 < x < 1 on a f(xⁿ) = f(x)ⁿ −→

n→∞+∞ donc f(x) > 1 ce qui entraîne par morphisme la décroissance de f. Enfin f est monotone et f(]0,+∞[) = ]0,+∞[ donc f n’a pas de saut et est continue.

3) En tant que morphisme continu,f est de la formex7→x^αavecα∈Ret l’involutivité et la décroissance donnentα=−1.