Feuille d’exercices 9 : fonctions usuelles Exercice 1. On considère la fonction

BCPST1 année 2019-2020

Feuille d’exercices 9 : fonctions usuelles Exercice 1.

On considère la fonction f définie par :

f : R Ñ R

x ÞÑ ´3

x²`1`5 On noteCf la représentation graphique def.

1. Variation et encadrement.

(a) Soitpa, bq PR^{`</sup> vérifiant 0ďaďb. Montrer que 2ďfpaq ďfpbq. En déduire la monotonie def surR<sup>`}. (b) Faire de même pour R^´(avecaďbď0).

(c) Déterminer les limites def en`8et´8.

(d) Déduire des questions précédentes un minimum pour la fonctionf. (e) Montrer que :

@xPR, fpxq ď5 f admet-elle un majorant, un maximum.

2. Propriétés graphiques.

(a) Montrer que

@xPR, fp´xq “fpxq

(b) SoitaPR^`. Que peut-on dire des pointsM etN deCf d’abscisse respectifaet´a.

Exercice 2.

1. On définie la fonction1r0;1s par :

1^r0;1s : R Ñ R

x ÞÑ

"

1 sixP r0; 1s 0 sinon Faire rapidement une représentation graphique de1r0;1s.

La fonction précédente sera appelée la fonction indicatrice de l’intervaller0; 1s.

2. On peut définir la fonctionabssurRpar

@xPR, abspxq “ ´xˆ1s´8;0rpxq `xˆ1r0;`8rpxq Faire une représentation rapide deabs.

3. SurR, on peut définir la fonctionE“

2

ř

n“´3

nˆ1rn;n`1r. (a) Faire une représentation rapide deE surR.

(b) Maintenant on définieE surRparE“ ř

nPZ

nˆ1rn;n`1r. Montrer que :@xPR, x´1ăEpxq ďqăEpxq `1.

Exercice 3.

SoitnPN^˚. On considère la fonction polynômialef définie surRpar :

@xPR, fpxq “

n

ÿ

k“0

ˆn k

˙ x^k

a. Simplifier l’expression def en utilisant le binôme de Newton.

b. Déterminer de deux façon l’expression def¹pxq.

c. En déduire řn k“0

k ˆn

k

˙

Exercice 4.

Résoudre les équations suivantes :‘

a) lnpx²´1q `ln 4“lnp4x´1q b) lnx`lnp11´xq “lnp2x²q

c) 2^x2 “3^x3 d) e^x`3e^´x“4

e) x^?x“ p? xq^x f) ?

x`?³ x“2

1

Exercice 5.

Résoudre les inéquations suivantes :

aq 2^xą3^x ; bq e^x2e^xăe⁶ ; cq 1

2lnp5x´1q ďlnpx`1q; dq 2<sup>x`1</sup>`8ě4^x.

Exercice 6.

Résoudre le système d’équations suivant :

"

x`y“7

logx`logy“1 .

Exercice 7.

En regroupant les puissances de 2 et les puissances de 3, résoudre l’équation suivante : 2^2x´3^x´12 “3^x`12 ´2^2x´1.

Exercice 8.

Démontrer les inégalités suivantes :

1q @xě0, x´x³

6 ďsinxďx 2q @xą0, lnxďx´1

Exercice 9.

On posefpxq “ |x´3| ´ |2x`1|.

1) Déterminer l’ensemble de définitionDde la fonctionf. 2) Simplifier, selon les valeurs dex, l’expression de fpxq.

3) Tracer la courbe représentative def dans un repère orthonormé.

Exercice 10.

Étudier la fonctionf définie par :

fpxq “lnx´x²´1

x .

Exercice 11.

Étudier la fonctionf définie parfpxq “cosx`1 2cos 2x.

On commencera par justifier qu’il suffit d’étudierf sur l’intervalle r0, πs.

Exercice 12.

Fonctions cosinus et sinus hyperbolique.

On définit les fonctions cosinus et sinus hyperbolique, notées respectivement ch et sh en posant : chx“e^x`e^´x

2 et shx“ e^x´e^´x

2 .

1) Déterminer l’ensemble de définitionDdes fonctions ch et sh. Étudier la parité de ces fonctions.

2) Calculer les limites de ces fonctions aux bornes deD.

3) Vérifier que les fonctions ch et sh sont dérivables surD, puis calculer leur dérivée.

4) Étudier les variations des fonctions ch et sh.

5) Tracer la courbe représentative de ces fonctions dans un repère orthonormé.

6) Démontrer que, pour tout réelx, ch²x´sh²x“1.

7) SoitxPR. Établir les relations :

ch 2x“ch²x`sh²x et sh 2x“2shxchx . 8) Résoudre l’équation 5 chx´4 shx“3.

Exercice 13.

Résoudre le systèmenon linéairesuivant :

$

’’

’&

’’

’% x²?

y z“6? 2

?x y z³“27

?2 2

x³z² y “144

Exercice 14.

Étudier les fonctions : a) fpxq “ 1

3sinp3xq ´1

2sinp2xq b) gpxq “sinxp1´cosxq

c) hpxq “?

2x`2 sinx d) vpxq “sin²xˆcosp2xq

2