Fonctions : Généralités Exercice 1 : 1) Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée sur l’ensemble ܫ : ܽ) ݂ሺݔ)=−2ݔ

(1)

Fonctions : Généralités

Exercice 1 :

1) Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée sur l’ensemble : ) ) = −2+ 5 − 1 = ℝ

) ) = 2²− + 1

3²− 2 + 1 = ℝ

c) ℎ) = √3 − 2 = −∞; L’ensemble du c) est à justifier.

d) ) = −5+ 2 − 3) = ℝ

2) a) Etudier les variations de la fonction du 1)b).

b) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. Dans un repère orthonormé du plan, la courbe de admet-elle une asymptote ? Si oui, quelle est son équation ?

c) Dresser le tableau de variations de .

! "# ! "# $#%&, "%#$$( )# *−1 − √2+ = 1 −√2

4 #$ *−1 + √2+ = 1 +√2 d) Quel est le nombre de solutions sur ℝ de l’équation ) = 1 ? Aucune justification n’est demandée. 4 . e) Résoudre, par le calcul, l’équation ) = 1 et retrouver le résultat de la question 2)d).

Exercice 2 :

1) ROC : Soient et . deux fonctions dérivables sur un intervalle , ne s’annulant pas sur et ∈ ℕ^∗. Prérequis : :1

.;

′ =−.′

.² et ⁼)^′ = ^′^=>?. Démontrer que :1

⁼;^′ = − ′ ^=D?.

2) On considère la fonction déKinie sur L2; +∞M par : = 1 O2 − 1P a) Etudier les variations de sur L2; +∞M.

b) Démontrer que l’équation ) = 2 admet une unique solution Q sur L2; +∞M. Exercice 3 :

Pour chacune des 4 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

1) Si est un réel quelconque et une fonction définie et strictement croissante sur M; +∞M, alors :

R→Dlim∞) = +∞.

2) Soient et deux fonctions définies sur M0; +∞M, ne s’annulant pas : Si lim_R→D_∞) = −∞ et lim_R→D_∞) = +∞, alors lim_R→D_∞)

) = −1

3) Si est une fonction définie sur M0; +∞M telle que 0 ≤ ) ≤ √ sur M0; +∞M, alors :

R→Dlim∞

) = 0.

4) Soient et deux fonctions définies sur MW; +∞M, où W est un réel strictement positif.

Si lim_R→D_∞) = 0 , alors lim_R→D_∞)) = 0

(2)

Exercice 4 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé

On considère une fonction dérivable sur l’intervalle [ On dispose des informations suivantes :

• 0) 1 et 2 1.

• la dérivée ′ de la fonction admet la courbe représentative

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et 1. Pour tout réel de l’intervalle [−3

2. La fonction est strictement croissante sur l’intervalle [ 3. Pour tout réel de l’intervalle [−3 ; 2],

4. L’équation ) =0 admet une unique solution sur l’intervalle [ 5. Soit X la courbe représentative de la fonction

La tangente à la courbe X au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1; 0).

Exercice 5 : Partie A

Soit la fonction définie sur M0; ∞

1. [Compétence 1] Déterminer la limite de 2. Etudier les variations de la fonction 3. Dresser le tableau de variation de 4. (a) Démontrer que l’équation solution.

(b) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 5. Déterminer le signe de ) suivant les valeurs de

Partie B

Soit W la fonction définie sur M0; ∞ 1. Démontrer que, pour tout réel définie dans la partie A.

2. En déduire les variations de la fonction

Le plan est muni d’un repère orthonormé Y, Z[, \[).

dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2].

On dispose des informations suivantes :

admet la courbe représentative X^′ci-dessous.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse

−3 ;−1], ′) ≤0.

est strictement croissante sur l’intervalle [−1; 2].

−3 ; 2], ) ] −1.

admet une unique solution sur l’intervalle [−1 ;2].

la courbe représentative de la fonction .

au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1; 0).

∞M, par : ) = −2 9² 10 4.

Déterminer la limite de en +∞. 2. Etudier les variations de la fonction sur M0; ∞M.

3. Dresser le tableau de variation de sur M0; ∞M.

) =0 admet une unique solution sur M0;

(b) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10 suivant les valeurs de .

∞M, par : W) = −+ 6−10² 8.

positif ou nul, W’) a le même signe que 2. En déduire les variations de la fonction W sur M0; ∞M.

X′

justifier la réponse.

au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1; 0).

M ; ∞M. On note Q cette 10^> de Q.

), où est la fonction

(3)

Partie C

On considère la fonction définie sur M0; +∞M, par ) = −+6² 10 + 8.

On note X sa courbe représentative dans un repère orthonormé Y, Z[, \[). La figure est donnée ci-contre.

Pour tout réel de l’intervalle L0; 4M, on note b le point de X de coordonnées ; )), c le point de coordonnées ; 0) et d le point de coordonnées 0; )).

1. [Compétence 2] Démontrer que l’aire du rectangle Ycbd est maximale lorsque le point b a pour abscisse Q, Q étant le réel défini dans la partie A.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative sera prise en compte.

[Compétence 3] On se place dans le cas où le point b a pour abscisse Q. La tangente e en b à la courbe X est-elle parallèle à la droite (cd) ?

Exercice 6 :

Partie A : Restitution organisée de connaissances Prérequis :

Soit une fonction définie sur un intervalle I et un réel appartenant à I.

• La fonction est dérivable en si la limite lorsque ℎ tend vers 0 du rapport fgDh)>fg)

h existe et est égale à un nombre réel ℓ.

• La fonction est continue en si la limite lorsque ℎ tend vers 0 de + ℎ) est égale à ).

Soit une fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle I.

Soit la fonction définie sur I par ) = i).

Montrer que la fonction est dérivable en tout nombre réel de I tel que ) ≠ 0 et que : ^′) = ^′)

2i) Partie B :

1. On considère la fonction définie sur M0; 4L par :

) = i4 − ).

On note X_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé Y, Z[, \[).

(a) Démontrer que la fonction est dérivable sur L0; 4M et donner l’expression de sa dérivée ’ sur cet intervalle.

(b) Démontrer que n’est ni dérivable en 0, ni en 4.

(c) Etudier les variations de la fonction . (d) Tracer X_f.

2. On considère la fonction définie sur M0; 4L par :

) = i4 − ).

(a) On admet que la fonction est dérivable sur L0; 4M. Donner l’expression de sa dérivée ’ sur cet intervalle.

(b) La fonction est-elle dérivable en 0 ? et en 4 ? (c) Etudier les variations de la fonction .

X

(4)

3. On considère la fonction ℎ définie sur k0; 4k par :

ℎ) =i4 − ) (a) Etudier la limite de ℎ en 0.

(b) On admet que la fonction ℎ est dérivable sur L0; 4M. Donner l’expression de sa dérivée ℎ’ sur cet intervalle.

(c) La fonction ℎ est-elle dérivable en 4 ? (d) Etudier les variations de la fonction ℎ.