Université Lille 1
2011-2012 – Licence de Mathématiques – Semestre 3 Compléments de calcul intégral – M 33
Feuille d’exercices 3 : Intégrales doubles et triples
Exercice 1
Pour les fonctions suivantes, calculer les intégrales doubles Z Z
D
f (x, y) dx dy : (1) D = [0, 1]
2et f(x, y) = xy
(2) D = {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1} et f (x, y) = x
2+ y
2. (3) D = {(x, y) ∈ R
2| 1 ≤ x + y, y ≤ x ≤ 1} et f (x, y) = 1
x + y (4) D = {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} et f(x, y) = exp(y
2).
(5) D = {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ y, 0 ≤ x − y + 1, x + 2y − 4 ≤ 0} et f (x, y) = x.
(6) D = {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ x ≤ 1, x
2≤ y ≤ x} et f (x, y) = x + y (7) D =
(x, y) ∈ R
2| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
2xπet f (x, y) = cos(xy).
(8) D = {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1} et f (x, y) = ln(1 + x + y).
Exercice 2 a) Calculer I
R=
Z Z
DR
e
−(x2+y2)dx dy avec D
R= {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ x, 0 ≤ y, x
2+ y
2≤ R
2}.
b) On pose D
a= {(x, y) ∈ R
2| 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a} exprimer J
a= Z Z
Da
e
−(x2+y2)dx dy à l’aide de K(a) =
Z
a0
e
−t2dt.
c) En comparant I
Ret J
a, encadrer K (a) et en déduire la valeur de Z
∞0
e
−t2dt.
Exercice 3 Calculer les intégrales triples
Z Z Z
D
f (x, x, z) dx dy dz dans les cas suivants.
(1) D = [0, 1]
3et f(x, y, z) = xyz
(2) D = {(x, y, z) ∈ R
3| 0 ≤ x, 0 ≤ y, 0 ≤ z, x + y + z ≤ 1} avec : a) f(x, y, z) = 1 ; b) f (x, y, z) = z ; c) f (x, y, z) = x
2+ y
2+ z
2. (3) D = {(x, y, z) ∈ R
3| x
2+ y
2+ z
2≤ 1, 0 ≤ z ≤ h} et f(x, y, z) = x
2+ y
2.
1
2
(4) D = {(x, y, z) ∈ R
3| 1 ≤ x
2+ y
2+ z
2≤ 4} et f (x, y, z) = 1
p x
2+ y
2+ z
2. (5) D = {(x, y, z) ∈ R
3| 0 ≤ z ≤ 1, x
2+ y
2≤ z
2} et f (x, y, z) = x
2z.
Exercice 4
Calculer les intégrales doubles suivantes, en utilisant le changement de variables indiqué.
(1) Z Z
D
e
x3+y3
xy
dx dy avec D = {(x, y) ∈ R
2| y
2− 8x ≤ 0, x
2− 8y ≤ 0} et
x = u
2v y = v
2u (2)
Z Z
D
