Identifier et caract´ eriser les singularit´ es des fonctions suivantes. En calculer les r´ esidus.

Universit´ e Paris-Saclay Ann´ ee 2019–2020 Licences L3 PAPP & PMEC

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 7 : Singularit´ es et r´ esidus

Exercice 1 : Pˆ oles et r´ esidus

Identifier et caract´ eriser les singularit´ es des fonctions suivantes. En calculer les r´ esidus.

f 1 (z) = 1 1 + z ⁿ , f 2 (z) = 1

sin(z) , f 3 (z) = e ^−1/z

, f 4 (z) = 1

1 − z ⁿ , f ₅ (z) = cos z

z[z ⁴ + (1 − π ² )z ² − π ² ] , f 6 (z) = e ^iz

z(z − 2i) ² .

Exercice 2 : D´ eveloppement en s´ erie de Laurent

1 – Donner le d´ eveloppement de Laurent dans C ^∗ , centr´ e sur l’origine z = 0, de la fonction f (z) = e ^z /z ² .

2 – Donner les d´ eveloppements de Laurent dans les r´ egions |z| < 1 ; 1 < |z| < 3 ; |z| > 3 de la fonction :

f (z) = 1 z ² − 4z + 3 .

Exercice 3 : Th´ eor` eme des r´ esidus

1 – En choisissant un contour ferm´ e adapt´ e, calculer l’int´ egrale Z +∞

−∞

dx e ^ix

(x − i a) ² , avec a > 0 . (1)

Comparer ` a l’int´ egrale du TD3. On pourra discuter R +∞

−∞ dx _(x−ia) ^e

selon le signe de k.

2 – En choisissant un contour appropri´ e, calculer l’int´ egrale Z +∞

0

dx

1 + x ⁿ (pour n ∈ N , n > 2) (2)

(rq : les racines de z ⁿ + 1 ont ´ et´ e ´ etudi´ ees au TD1).

3 – Soit la fonction C(λ, θ) = sinh λ

cosh λ − cos θ avec λ > 0 . (3)

Nous ´ etudions sa d´ ecomposition de Fourier (discr` ete) C(λ, θ) = P

n∈ Z C n (λ) e ^inθ . Calculer Z 2π

0

dθ 2π

e ^inθ

cosh λ − cos θ . (4)

Indications :

• on consid` erera le cas n > 0 (le r´ esultat pour n < 0 sera d´ eduit par sym´ etrie).

• Convertir l’int´ egrale sur [0, 2π] en int´ egrale sur le cercle unit´ e centr´ e sur l’origine.

V´ erifier le r´ esultat en calculant directement la s´ erie P

n∈ Z C _n (λ) e ^inθ .

Commentaire : Cette fonction apparaˆıt dans le contexte de l’´ etude du transport quantique

des ´ electrons dans un anneau m´ etallique de dimension m´ esoscopique (de p´ erim` etre L ∼ 1 µm). Elle

contrˆ ole la

correction de localisation faible

` a la conductance, donn´ ee par C(L/L <sub>ϕ</sub> , θ) o` u L _ϕ est la

longueur de coh´ erence de phase et θ = 4πφ/φ 0 le rapport du flux magn´ etique par le quantum de flux

φ 0 = h/e. Ces oscillations quantiques sont appel´ ees

oscillations AAS

et ont ´ et´ e pr´ edites dans un

article c´ el` ebre par B. Al’tshuler, A. Aronov & B. Spivak (JETP Lett. 33, p. 94, 1981). Elles ont ´ et´ e

observ´ ees exp´ erimentalement par D. Sharvin & Yu. Sharvin (JETP Lett. 35, p. 588, 1982) pour une

autre g´ eom´ etrie (cylindre).