On fournit ici une nouvelle fa¸con de caract´eriser les nombres premiers.

I On fournit ici une nouvelle fa¸con de caract´eriser les nombres premiers.

I On doit pour cela utiliser une notion de reste modulaire qui

“ne d´epasse pas la moiti´e”. C’est la valeur absolue du r´esidu minimum de Gauss.

rs(a,b) = a mod b si b ≤m/2

= m - (a mod b) sinon.

exemple : rs(32,12) = 4 et non 8 comme habituellement.

I Les nouvelles caract´erisations sont alors :

I x est un impair non premier si et seulement si

∃i ≤ b^x−1₂ c tel quej =rs(2x,8i+ 4) eti − b₄^jc+ 1 = 1 eti +b₄^jc+ 2 = 1

I x est un impair premier si et seulement si

∀i <b^x−1₂ c

j =rs(2x,8i+ 4)⇒((i− b₄^jc+ 16= 1)∧(i +b₄^jc+ 26= 1))

I x est un le double d’un nombre pair entre deux nombres premiers si et seulement si

∀i <b^x−1₂ c

j =rs(2x,8i+ 4)⇒((i− b₄^jc+ 16= 1)∧(i +b₄^jc+ 16= 1))