Calculer le r´esidu de f(z

Universit´e Lille 1 Master 1 Recherche

Analyse complexe 25 f´evrier 2016

Feuille 4 Pˆoles et z´eros

Ici, D(0, r) d´esigne le disque ouvert centr´e en l’origine de rayon r > 0, et C(0, r) son bord orient´e dans le sens trigonom´etrique.

Exercice 1.

Calculer le r´esidu en 0, et donner la nature de la singularit´e, pour les fonctions suivantes : z²sin1

z ; z

sin²z ; z

e^z−1 ; e^z 5z³−z²

Exercice 2.

Calculer le r´esidu de f(z) = z

1 +z+z² en chacun de ses pˆoles. En d´eduire la valeur de Z

C(0,r)

f(z)dzselon la valeur de r >0.

Exercice 3.

Pr´eciser `a quelle condition sur n ∈ N et α ∈ R la fonction f : x 7→ x^α

1 +xⁿ est int´egrable sur [0; +∞[. Calculer dans ce cas

Z +∞

0

f(x)dx `a l’aide du cheminγε,R dont l’image est le bord du compactK_ε,R :={z∈C|ε≤ |z| ≤R et 0≤Argz≤ ^2π_n}.

Exercice 4.

D´eterminer le nombre de racines des polynˆomes suivants dans les domaines indiqu´es : i) z¹⁰+z+ 1 dansD(0,2) ;

ii) z⁷−2z⁵+ 6z³−z+ 1 dansD(0,1).

Exercice 5.

Soit λ∈D(0,4) etg(z) =z⁴−5z−λ.

i) Montrer que l’´equationg(z) = 0 admet une unique solution dans D(0,1), not´eef(λ).

ii) Montrer quef(λ) = 1 2πi

Z

C(0,1)

zg⁰(z)

g(z) dz (on pourra ´ecrire g(z) = (z−f(λ))h(z)).

iii) En d´eduire que f est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur D(0,4).

1

Exercice 6.

Soit λ ∈R tel que λ > 1, et f(z) = λ−z−e^−z. Montrer que f poss`ede exactement un z´ero, not´ez0, dansH ={z∈C|Rez >0}. Justifier quez0 ∈Rpuis quez0 ∈]λ−1;λ[.

Exercice 7.

Soit U ⊂C un ouvert connexe non vide, etf une fonction holomorphe sur U.

i) Montrer que si g est holomorphe sur un ouvert connexe contenant f(U), alors g◦f est constante ssig ou f est constante.

ii) D´eterminer toutes les fonctions holomorphes surU telles que f◦f =f.

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