P. Vanlaer PHYS-F-104 examen janvier 2012 02/02/12
PHYS-F-104 Physique 1
Examen du 19 janvier 2012 I. Théorie (20 points – 1 heure)
1. Définissez, en nommant toutes les grandeurs que vous introduisez : a) travail d’une force
b) contrainte
c) moment d’inertie d’un solide par rapport à un point d) quantité de mouvement
(4 points) a) W= !
F.dr!
AB
!
, où AB est le chemin parcouru par le point d’application de la force et dr! un déplacement infinitésimal le long de ce chemin.La définition dans le cas particulier où la force est constante et le chemin est rectiligne est aussi acceptée : W= !
F.r! où r! est le vecteur déplacement du point d’application de la force.
b) ! = F
S où F est la norme de la force appliquée et S la surface sur laquelle elle est appliquée.
c) IA=
!
r2dm, où dm est un élément infinitésimal de masse qui compose le solide et r est la distance de cet élément à l’axe de rotation.Ou bien : IA=
!
miri2, où mi est la masse de l’élément i qui compose le solide et ri la distance de cet élément à l’axe de rotation.d) !p=mv!, où v! est le vecteur vitesse et m est la masse.
2. Enoncez les lois de la statique, en définissant toutes les grandeurs que vous utilisez.
(3 points)
Pour un système en équilibre statique : - Equilibre de translation : !
Fext=0
!
en tout point du système - Equilibre de rotation : !!A(! Fext)=0
!
par rapport à tout point A du système, où !!A( ! Fext)est le moment d’une force extérieure par rapport au point A.3. Donnez et démontrez la relation entre l’accélération angulaire d’une masse ponctuelle sur une trajectoire circulaire et le moment, par rapport au centre de la trajectoire, de la force tangentielle qu’elle subit. Définissez toutes les grandeurs que vous introduisez.
(4 points)
Soient m la masse, v la norme de la vitesse tangentielle et R le rayon de la trajectoire.
Le vecteur vitesse angulaire s’écrit !! = v
R1z, où 1z est un vecteur unité perpendiculaire au plan de la trajectoire et dont le sens est donné par la règle du tire-bouchon qui tourne dans le sens du mouvement.
L’accélération angulaire !!=d!
! dt = 1
R dv
dt 1!z= 1
Ra!
1z, où a est la norme de l’accélération tangentielle.
Le moment de la force tangentielle par rapport au centre O de la trajectoire vaut :
!!O=R.! 1R!F.!
1T =RF.! 1z Dès lors :
!!O=Rma.!
1z =Rma.!
1z=R2m!
!.
4. Expliquez pourquoi la vitesse des vents autour d’un cyclone augmente lorsqu’on se rapproche du centre du cyclone (à l’exception de la région la plus centrale, l’« œil » du cyclone, où le mouvement de l’air est ascendant).
(3 points)
L’air en mouvement tourbillonnant est aspiré vers le centre du cyclone. Comme la force d’aspiration est dirigée vers le centre, elle n’a pas de moment de force par rapport à celui-ci.
Le moment cinétique des masses d’air par rapport au centre est conservé.
L!air,centre=! r!mair!
vair, où mair est la masse d’une masse d’air donnée. Alors si la masse d’air se rapproche du centre (r diminue), v augmente.
5. Pour un ressort de longueur au repos l0 et de constante de rappel k :
a) Etablissez l’expression de l’énergie potentielle élastique stockée dans le ressort en fonction de l0 et k lorsqu’il est allongé de 5% de sa longueur.
b) Donnez et justifiez les unités de la constante de rappel.
(4 points)
a) L’énergie potentielle élastique stockée dans un ressort allongé d’une longueur x est : Eél = ½ kx2
Or x = 0,05.l0
Donc Eel =0, 5.k.(0, 05)2l02 =1, 25.10!3kl02.
b) [k] = N/m = kg/s2 cf. loi de Hooke : force de rappel élastiqueF!R= !k.x.! 1x
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6. Enoncez la loi de la gravitation universelle de Newton.
(2 points)
En présence d’un corps de masse M, un corps de masse m subit une force F!G= !GMm
R2 .! 1R
où R est la distance qui sépare les deux masses et G est la constante de gravitation universelle (la force que subit la masse m est donc dirigée vers la masse M).
PHYS-F-104 Physique 1
Examen du 19 janvier 2012 II. Exercices (20 points – 2 heures)
1. Un camion chargé d’une caisse descend à 60 km/h une route inclinée de 5,1 degrés par rapport à l’horizontale. Le chauffeur freine uniformément et le camion s’immobilise en 50 m. Quelle doit être la valeur minimale du coefficient de frottement entre la caisse et la plateforme du camion pour que le chargement ne glisse pas lors du freinage ?
(4 points)
Soit α = 5,1° l’angle de la route par rapport à l’horizontale
Deuxième loi de Newton: somme des forces sur la caisse = masse × accélération
• Direction perpendiculaire à la pente : -mg cos α + N = 0, où N est la réaction normale de la plateforme sur la caisse
• Direction parallèle à la pente (sens positif vers le bas, selon la vitesse):
o mg sin α – Ff = ma Accélération de la caisse :
• 2as = vf2-vi2 donc a = (0 – (60/3,6)2) / (2.50) = -2,777… m/s2 (signe OK car décélération) Force de frottement nécessaire :
• Ff = −ma + mg sin α ≤ µs N = µs mg cos α
• µs g cos α ≥ −a + g sin α
Donc µs ≥ (−(−2,777…) + 10.sin 5,1° ) / (10.cos 5,1° ) = 0,37 (2 chiffres sign.).
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2. Une ficelle inextensible de masse négligeable est enroulée autour d’une poulie cylindrique de masse M, de rayon R et d’axe horizontal. Une masse m1 est suspendue à une extrémité de la ficelle, tandis qu’une masse m2 est suspendue à l’autre extrémité, à une hauteur h au-dessus de la masse m1. On lâche les masses. Quelle est leur vitesse lorsqu’elles se croisent à la même hauteur ?
(4 points)
Conservation de l’énergie mécanique :
• E méc. initiale = m2gh
• E méc. finale = énergie potentielle gravitationnelle des deux masses + énergie cinétique de translation des deux masses + énergie cinétique de rotation de la poulie
• La ficelle étant inextensible, les masses se déplacent à la même vitesse dans des directions opposées ; la masse m2 descend de h/2 et la masse m1 monte de h/2 :
o E méc, finale = m1gh/2 + m2gh/2 + ½ m1 v2 + ½ m2 v2 + ½ I ω2 = m2gh I est le moment d’inertie de la poulie cylindrique par rapport à son axe de symétrie : I = ½ MR2
La ficelle s’enroule (sans glisser) autour de la poulie : v = ωR En remplaçant dans l’équation plus haut on trouve :
3. Un satellite tourne sur une orbite circulaire de rayon R autour de la Terre. Calculez le rapport entre son énergie cinétique orbitale et l’énergie cinétique minimale nécessaire pour qu’il se libère de l’attraction terrestre depuis l’orbite où il se trouve.
(4 points)
Pour un satellite à une distance R du centre de la Terre, l’énergie cinétique de libération se déduit de la conservation de l’énergie mécanique :
1
2mv12!GMm R =1
2mv2infini"0#1
2mv12 "GMm R =1
2mv2lib La vitesse de révolution sur une orbite de rayon R est :
v0 = GM R
Donc :
1 2mv20 1 2mv2lib
= 1 2mGM
GMmR R
=1 2. v= (m2!m1)gh
(m1+m2+M 2)
h
h/2 m2
m1
!!
V!2 V!1
Situation initiale
Situation finale
dessous, constitué d’un levier horizontal de 1,50 m de longueur et de poids suspendus à 1,34 m de l’axe. Le ressort est accroché verticalement entre le plafond et le levier, à 8,3 cm de l’axe. La masse du levier est de 440 g.
Le ressort s’allonge de 0,22 mm lorsque le levier est lesté de 1,5 kg de plomb. Quelle est la constante de rappel ? Négligez l’inclinaison du levier dû à l’allongement du ressort.
(4 points)
Dispositif : ressort Axe
Loi de Hooke : Fr = k.Δl
Deuxième loi de la statique : somme des moments de force par rapport à l’axe = 0
• r1Fr – r2mlg − r3mPbg = 0
Le poids du levier s’applique à son centre de gravité : r2 = 0,75 m.
Donc :
k = (r2mlg + r3mPbg)/(r1.Δl) = (0,75.0,44.10 + 1,34.1,5.10)/(0,083.0,22.10-3) = 1,3.106 N/m (2 chiffres sign.).
5. On soulève la roue arrière d’un vélo et on l’amène à une vitesse de 250 tours/minute à l’aide du pédalier. L’axe, mal huilé, freine la roue qui s’immobilise après 55 secondes.
Quel est le moment moyen des forces de frottement sur l’axe ? La roue a une masse de 1,3 kg et un diamètre de 66 cm et on suppose que toute la masse est concentrée au rayon extérieur.
(4 points)
Deuxième loi de Newton pour la rotation : !L
!t =!m = I!"
car L = Iω. !t
Moment d’inertie de la roue assimilée à un anneau : I = MR2 Dès lors :
!m=1,3.(0,33)2.(250.2! / 60)
55 = 0,067 N.m (2 chiffres sign.).
F!r
c.g.
levier ! Plevier
P!plomb
