Les lois de Newton énoncées au chapitre précédent permettent de déduire les lois du comportement énergétique d'un point qui sont alors une approche différente de la description de son mouvement.
1. Puissance et travail d'une force
Soit un point M en mouvement dans un référentiel à la vitesse et soumis à une force .
1.1. Puissance d'une force
Elle dépend du référentiel dans lequel on la calcule. Elle est exprimée en watts (symbole W), telle que 1 W = 1 N.m.s-1 = 1 kg.m2.s-3.
Si la force et la vitesse pointent globalement dans la même direction alors la force va favoriser le mouvement, la puissance sera positive et sera dite motrice.
Au contraire, si la force s'oppose au mouvement, elle sera négative et sera dite résistante.
Si la force et la vitesse sont orthogonales alors la puissance est nulle.
La puissance est une grandeur additive : si M est soumis à deux forces et de résultante alors
ℛ v
ℛ⃗(M ) F
⃗⃗
F
1 ⃗F
2⃗
F =
⃗F
1+
⃗F
2Thème 2
Mouvement et
interactions
Energétique du point 3
La puissance de la force est donnée par :
F
⃗𝒫
ℛ(F
)⃗= F
⃗⋅ v
ℛ⃗(M )
⃗F
⃗
M v
⃗F
⃗
v M
⃗F
⃗
M v
𝒫
(F
)⃗= F
⃗⋅ v
⃗=
(F
1⃗+ F
2⃗)⋅ v
⃗= F
1⃗⋅ v
⃗+ F
2⃗⋅ v
⃗= 𝒫
(F
1⃗)+ 𝒫
(F
2⃗)1.2. Travail élémentaire d'une force
Pendant la durée infinitésimale dt, le travail élémentaire de la force est donné par .
Les notations et signifient qu'on travaille à l'échelle microscopique. La notation d signifie qu'on s'intéresse à la variation infinitésimale de la grandeur affectée ; ainsi est une durée proche de 0. La notation δ signifie qu'on s'intéresse à une quantité infinitésimale de la grandeur affectée ; ainsi est la quantité infinitésimale de travail de la force .
Dans ce cadre, la puissance représente le travail d'une force par unité de temps :
On peut remarquer que est homogène à un déplacement, dit déplacement élémentaire et noté qui correspond à la variation infinitésimale du vecteur position pendant la durée dt.
En imaginant et infiniment proches l'un de l'autre, on peut écrire :
Ainsi,
Le travail élémentaire est exprimé en joules (symbole J), tel que 1 J = 1 W.s = 1 N.m = 1 kg.m2.s-2. Ses propriétés sont proches de celles de la puissance. Il dépend du référentiel dans lequel on le calcule. Il peut être moteur si la force est orientée dans le sens du mouvement (la force favorise alors le mouvement), résistant si la force s'oppose au mouvement ou nul si la force est perpendiculaire à la trajectoire (on dit alors que la force ne travaille pas).
Le travail caractérise un échange d'énergie entre le système et le milieu extérieur par l'intermédiaire de la force . C'est une grandeur d'échange qui n'existe ni à l'instant t ni à l'instant t + dt mais seulement au cours du déplacement de durée dt.
δ
W
(F
)⃗= 𝒫
(F
)⃗dt = F
⃗⋅ v
ℛ⃗(M ) dt
δ
d
dt
δW
𝒫
(F
)⃗=
δW
(F
)⃗dt
⃗
v
ℛ(M ) dt
d OM
⃗M M′
⃗
MM′ = d
⃗OM =
⃗OM′ −
⃗OM
δ
W
(F
)⃗= F
⃗⋅ d OM
⃗⃗
F
O M
M′
1.2. Travail d'une force au cours d'un déplacement fini
Le travail de la force le long du chemin (parcouru entre les instants et ) est la somme des travaux élémentaires, ce qui se traduit mathématiquement par l'intégrale :
ce qu'on peut aussi écrire
Cas particulier : si la force est constante au cours du temps alors
1.2.1. Travail du poids, force constante
On a donc
avec
Donc .
Si , le travail est moteur. En effet, le poids favorise le mouvement vers le bas.
1.2.2. Travail de la force de rappel d'un ressort, force non constante
On a donc
AB t
At
BW
AB(F
)⃗=
∫B
A δ
W
(F
)⃗=
∫B
A
⃗
F ⋅ d
⃗OM
W
AB(F
)⃗=
∫B
A δ
W
(F
)⃗=
∫tB
tA
𝒫
(F
)⃗dt
⃗
F
W
AB(F
)⃗= F
⃗⋅
∫B
A
d OM
⃗= F
⃗⋅
[OM
⃗]BA= F
⃗⋅
(OB
⃗− OA
⃗)= F
⃗⋅ AB
⃗⃗
P = m
⃗g = − mg
⃗u
zW
AB(P
)⃗= P
⃗⋅
∫B
A
d OM
⃗= P
⃗⋅ AB
⃗⃗
AB =
(x
B− x
A) ⃗u
x+
(y
B− y
A) ⃗u
y+
(z
B− z
A) ⃗u
zW
AB(P
)⃗= − mg
(z
B− z
A)= mg
(z
a− z
B)z
A> z
B⃗
f
r= − k
(ℓ−
ℓ0) ⃗u
x= − k x
⃗u
xO MF⃗ v⃗ B
A
A(xA,yA,zA)
B(xB,yB,zB)
⃗P
z
x
y M
O
⃗ux ⃗uy
⃗
uz
M x
B(xB) A(xA)
O ℓ
⃗
ux x
ℓ0
⃗fr
⃗
ux
WAB(fr⃗)=∫
B A
⃗fr ⋅d ⃗OM =∫
B
A −k xux⃗⋅dxux⃗ WAB(fr⃗)=∫
B
A −k xdx =[−1 2k x2]
xB xA
WAB(fr⃗)=− 1
2k(xB2−xA2)
2. Théorèmes de l'énergie cinétique
2.1. Energie cinétique
Soit un point M en mouvement dans un référentiel à la vitesse . Il possède alors une
énergie cinétique où .
2.2. Théorèmes de l'énergie cinétique en référentiel galiléen
Il s'agit d'une simple reformulation du principe fondamental de la dynamique :
pour un point M de masse se déplaçant à la vitesse dans un référentiel . On multiplie cette relation par et on obtient :
On obtient ainsi le théorème de l'énergie cinétique sous forme instantanée, appelé aussi théorème de la puissance cinétique (TPC) :
Cette forme est à utiliser lorsqu'on recherche l'équation différentielle du mouvement.
En intégrant cette relation par rapport au temps le long d'une trajectoire suivie par le point M, on aboutit à :
ℛ v
ℛ⃗(M ) ℰ
c(M ) = ℰ
c= 1 2 mv
2v = ∥ v
ℛ⃗(M )∥
m d v
⃗dt =
∑i
⃗
F
im v
⃗ℛ
g⃗
v
m d v
⃗dt ⋅ v
⃗=
(∑
i
⃗
F
i )⋅ v
⃗⇔ m d dt
(1
2 v
2)=
∑i (
F
i⃗⋅ v
)⃗⇔ d dt
(1
2 mv
2)=ℰc
=
∑i (
F
i⃗⋅ v
)⃗=𝒫(Fi⃗)
dℰ
cdt =
∑i
𝒫
(F
i⃗)AB
∫
tB tA
dℰ
cdt dt =
∫tB tA ∑
i
𝒫
(F
i⃗)dt
⇔
[ℰ
c]BA=
∑i ∫
tB
tA
𝒫
(F
i⃗)dt
=WAB(Fi⃗)
On obtient ainsi le théorème de l'énergie cinétique (TEC) sous forme intégrale :
Cette forme est à utiliser lorsqu'on recherche la vitesse de M en un point B de sa trajectoire, connaissant sa vitesse au point A.
Quelle que soit la forme sous laquelle il est écrit, le TEC ne donne pas plus d'informations que le PFD mais pourra permettre une approche plus simple des problèmes à un degré de liberté (lorsque le point M est repéré par un seul paramètre d'espace).
2.3. Exemple : établir l'équation différentielle du pendule simple
①Système : balle assimilée à un point M de masse m
②Référentiel : terrestre galiléen
③ Système de coordonnées : coordonnées polaires
④ Bilan des forces :
• tension du fil :
• poids :
⑤ Application du TPC :
Dans la base polaire, on a
Donc . D'où .
N.B. : on ne l'écrit pas mais il ne faut pas oublier que est une fonction du temps donc
est une fonction composée qui se dérive en .
D'autre part, . La tension du fil, inconnue du problème, ne travaille pas et disparaît ainsi de l'équation.
On a aussi .
ℰ
c(B) − ℰ
c(A) =
∑i
W
AB(F
i⃗)⃗
T = − T
⃗u
rdℰ
cdt = 𝒫
(P
)⃗+ 𝒫
(T
)⃗⃗
OM =
ℓ ⃗u
r⇒
⃗v =
ℓ·
θ ⃗u
θℰ
c= 1 2 mv
2= 1 2 m
ℓ2θ·
2dℰ
cdt = m
ℓ2θ·
θ··
θ θ(t
)
θ·
2(t )
d ·
θ2(t)
dt = d
θ·
2) d ·
θ⏟=2 ·θ
× d ·
θ(t ) dt
=··θ
𝒫
(T
)⃗= T
⃗⋅ v
⃗= − T u
r⃗⋅
ℓθ· u
θ⃗= 0
𝒫
(P
)⃗= P
⃗⋅ v
⃗=
(mg cos (θ ) u
r⃗− mg sin (θ ) u
θ⃗)⋅
ℓθ· u
θ⃗= − mgℓ
θ· sin (θ )
⃗P =m ⃗g
=mgcos (θ)ur⃗−mgsin (θ)uθ⃗
ℓ
En remplaçant dans le TPC, on aboutit à . On retrouve évidemment l'équation obtenue grâce au PFD dans le chapitre précédent.
3. Energie potentielle et forces conservatives
3.1. Définitions
Une force appliquée à un point M est dite conservative si son travail le long de toute trajectoire ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement des positions de et de .
Exemples : le poids (et plus généralement l'interaction gravitationnelle), la force de rappel (et plus généralement l'interaction électromagnétique) sont conservatives.
Les forces de frottements (fluide ou solide) sont non conservatives (elles dissipent de l'énergie mécanique).
On définit alors une fonction appelée énergie potentielle , associée à la force conservative et ne dépendant que de la position du point M telle que
ou au niveau élémentaire (microscopique) : . On dit alors que la force dérive de l'énergie potentielle (ou plus simplement qu'elle dérive d'un potentiel).
L'énergie potentielle étant définie par sa variation, elle n'est connue qu'à une constante près. Pour déterminer cette constante, il faut fixer une référence d'énergie potentielle, c'est-à-dire une position d'énergie potentielle nulle (équivalent de la masse dans un circuit électrique).
3.2. Energie potentielle de pesanteur
On a .
On en déduit, pour un point M d'altitude quelconque de la trajectoire :
m
ℓ2θ·
θ·· = − mgℓ
θ· sin (θ ) ⇔
θ·· + g
ℓ
sin (θ ) = 0
⃗
F W
AB( ⃗F
)AB A B
ℰ
p(M )
W
AB(F
conservative)= ℰ
p(A) − ℰ
p(B ) = − Δℰ
p δW
(F
conservative)= − dℰ
pℰ
pW
AB(P
)⃗= mg
(z
a− z
B)= − Δℰ
p= ℰ
p(A) − ℰ
p(B ) z
A(xA,yA,zA)
B(xB,yB,zB)
⃗P
z
x
y M
O
⃗ux ⃗uy
⃗
uz
avec l'axe dirigé vers le haut.
ou avec l'axe dirigé vers le bas.
ℰ
p(M ) = mgz + cste z
ℰ
p(M ) = − mgz + cste z
On peut redémontrer cette expression à partir du travail élémentaire :
On primitive l'équation :
3.3. Energie potentielle élastique
On a
On en déduit, pour un point M d'abscisse quelconque de la trajectoire :
On peut redémontrer cette expression à partir du travail élémentaire :
On primitive l'équation :
δ
W
(P
)⃗= − dℰ
p⇔ dℰ
p= − P
⃗⋅ d OM
⃗⇔ dℰ
p= −
((− mg u
z⃗)⋅
(d x u
x⃗+ dy u
y⃗+ dz u
z⃗)⇔ dℰ
p= mg dz
∫
dℰ
p=
∫mgd z
⇔
∫1dℰ
p= mg
∫1dz
⇔ ℰ
p+ c
1= mgz + c
2avecc
1= cste
etc
2= cste
⇔ ℰ
p= mgz + c
oùc = c
2− c
1= cste
x
δ
W
(f
r⃗)= − dℰ
p⇔ dℰ
p= − f
r⃗⋅ d OM
⃗⇔ dℰ
p= −
((−k x u
x⃗)⋅ d x u
x⃗⇔ dℰ
p= k x dx
∫
dℰ
p=
∫k x dx ⇔
∫1dℰ
p= k
∫x d x
⇔ ℰ
p+ c
1= 1
2 k x
2+ c
2 avecc
1= cste
etc
2= cste
⇔ ℰ
p= 1
2 k x
2+ c
oùc = c
2− c
1= cste
M x
B(xB) A(xA)
O ℓ
⃗
ux x
ℓ0
⃗fr
WAB(fr⃗)=− 1
2k(xB2−xA2)
=− Δℰp=ℰp(A)− ℰp(B)
ℰ
p(M ) = 1
2 k x
2+ cste = 1
2
(ℓ−
ℓ0)2+ cste
4. Théorème de l'énergie mécanique 4.1. Energie mécanique
L'énergie mécanique d'un point M est la somme de son énergie cinétique et des énergies potentielles liées aux forces conservatives s'exerçant sur M.
4.2. Théorèmes de l'énergie mécanique en référentiel galiléen
Il s'agit d'une reformulation des théorèmes de l'énergie cinétique en distinguant les forces conservatives et les forces non conservatives.
En effet entre deux points et , le TEC sous forme intégrale donne :
Or . D'où :
On obtient ainsi le théorème de l'énergie mécanique (TEM) sous forme intégrale : entre deux points et , la variation d'énergie mécanique du point M est égale au travail des forces non conservatives.
On peut le reformuler à l'échelle élémentaire et écrire le théorème de la puissance mécanique (TPM) :
ℰ
m(M ) = ℰ
c(M ) +
∑i
ℰ
p,i(M )
A B ℰ
c(B) − ℰ
c(A) =
∑i
W
AB(F
i⃗)= W
AB(F
conservatives)=Fc⃗
+ W
AB(F
non conservatives)=Fnc⃗
W
AB(F
c⃗)= −
∑i
Δℰ
p,i=
∑i
ℰ
p,i(A) −
∑i
ℰ
p,i(B )
ℰ
c(B ) − ℰ
c(A) =
∑i
ℰ
p,i(A) −
∑i
ℰ
p,i(B ) + W
AB(F
nc⃗)⇔
[ℰ
c(B ) +
∑i
ℰ
p,i(B)
]−
[
ℰ
c(A) +
∑i
ℰ
p,i(A)
]
= W
AB(F
nc⃗)A B
ℰ
m(B ) − ℰ
m(A) = W
AB( F
nc⃗ )
dℰ
mdt = 𝒫
(F
nc⃗)4.3. Mouvement conservait à une dimension
Lors d'un mouvement conservatif, le point M n'est soumis par définition qu'à des forces conservatives (et/ou à des forces qui ne travaillent pas). Par conséquent, son énergie mécanique reste constante au cours du mouvement. Sa valeur s'obtient à partir des conditions initiales sur la vitesse et la position de M. On se limite dans la suite aux cas où M est repéré par une seule variable d'espace : position en coordonnées cartésiennes ou position angulaire en cordonnées polaires.
4.3.1. Oscillateur harmonique
① Système : balle assimilée à un point M de masse m
② Référentiel : terrestre galiléen
③ Système de coordonnées : coordonnées cartésiennes
④ Bilan des forces :
• poids :
• réaction du support :
• f o r c e d e d e r a p p e l d u r e s s o r t : force conservative
• les frottements solides sont négligés et se compensent
• les frottements fluides sont négligés
On peut montrer que si la balle est écartée d'une distance par rapport à sa position d'équilibre et lâchée sans vitesse initiale, la position de la balle s'écrit avec .
Alors sa vitesse est donnée par : .
L'énergie cinétique de la balle vaut donc : .
La force de rappel du ressort est une force conservative à laquelle on peut associer l'énergie
potentielle élastique . Donc .
L'énergie mécanique de la balle est ainsi
Les frottements ont été négligés, il n'y a donc pas de dissipation d'énergie ; l'énergie mécanique de la balle est constante, égale en particulier à sa valeur initiale. On trouve donc la valeur de en
remarquant que , soit
x, y,
ouz
θ⃗
P = m
⃗g = − mg
⃗u
y⃗
R = R
⃗u
y⃗
f
r= − k
(ℓ−
ℓ0) ⃗u
x⃗
P
⃗R
X
0x (t) x (t ) = X
0cos
(ω0t
) ω0= k m x · (t) = −
ω0X
0sin
(ω0t
)ℰ
c= 1 2 m x ·
2= 1 2 m
ω02X
02sin
2(ω0t
)= 1 2 k X
02sin
2(ω0t
)ℰ
p= 1
2 k x
2+ c
oùc = cste ℰ
p= 1
2 k X
02cos
2(ω0t
)+ c
ℰ
m= ℰ
c+ ℰ
p= 1 2 k X
02sin
2(ω0t
)+ 1 2 k X
02cos
2(ω0t
)+ c
= 1 2 k X
02(sin
2(ω0t
)+ cos
2(ω0t
))=1
+ c
= 1 2 k X
02+ c = cste
∀t, ℰ
m(t) = ℰ
m(t = 0) c
⃗uy
⃗R
⃗P
⃗fr
On en déduit ici . Toute l'énergie mécanique de la balle se trouve initialement sous forme potentielle. Au cours du mouvement, l'énergie potentielle va se convertir en énergie cinétique et réciproquement.
4.3.2. Positions d'équilibre et stabilité des équilibres
On considère un point M soumis uniquement à des forces conservatives et dont la position peut être repérée par un seul paramètre d'espace qu'on appellera . La force subie par M est alors de la forme
.
Son énergie potentielle est alors une fonction de la seule variable . On peut avoir par exemple :
De manière simple, le problème peut se ramener à imaginer une perle glissant sur une tige ayant la même forme que la courbe d'énergie potentielle.
L'équilibre est possible si la tige est horizontale ; ce qui correspond à une énergie potentielle localement plate (passant par un extremum local) et donc à une dérivée première de l'énergie potentielle égale à 0 :
, soit en A ou B sur le graphe.
1
2 k X
02+ c = 1
2 k X
02sin
2(ω00
)=0
+ 1 2 k X
02cos
2(ω00
)=1
+ c
= 1 2 k X
02+ c c = 0
⃗
x
F = F (x) u
x⃗x
dℰ
pd x
)x=x´eq
= 0 ℰ
px A
B
Remarque : on peut retrouver ce résultat en considérant que la force s'appliquant à M étant conservative, on a
L'équilibre correspond alors, d'après le PFD, à soit .
Mais ces positions d'équilibre ne sont pas équivalentes.
Supposons M immobile en B. On l'en écarte légèrement. Avec l'analogie précédente, on comprend que la perle (le point M) devrait (s'il y avait des frottements) revenir s'immobiliser en B après avoir oscillé autour de B. B est alors une position d'équilibre stable, au fond d'une cuvette de potentiel.
Mathématiquement, ceci est traduit par une dérivée seconde de l'énergie potentielle positive :
Supposons maintenant M immobile en A. On l'en écarte légèrement. Avec l'analogie précédente, on comprend que la perle (le point M) va s'éloigner du point A. A est alors une position d'équilibre instable, au sommet d'une barrière de potentiel. Mathématiquement, ceci est traduit par une dérivée seconde de l'énergie potentielle négative :
4.3.3. Nature de la trajectoire
Pour un point M soumis uniquement à des forces conservatives (et éventuellement à des forces ne travaillant pas), on peut déduire du graphe de l'énergie potentielle les zones de l'espace accessibles au point M et l'allure générale de sa trajectoire.
La position et la vitesse initiales fixent la valeur de l'énergie mécanique qui va rester constante au cours du mouvement.
D'où car, par définition, . Donc sur un graphe d'énergie potentielle, seules les zones pour lesquelles sont accessibles.
⃗
F
δ W ( F ) ⃗ = − dℰ
p(x)
⇔ F (x) u
x⃗ ⋅ dx u
x⃗ = − dℰ
p(x)
⇔ F (x) = − dℰ
p(x) dx
F
(x
eq´ )= 0 dℰ
pd x
)x=x´eq
= 0
d
2ℰ
pd x
2 )x=x´ eq,stable
> 0
d
2ℰ
pd x
2 )x=xeq,´ instable
< 0
ℰ
m0∀t, ℰ
m= ℰ
m0= ℰ
c+ ℰ
p≥ ℰ
pℰ
c≥ 0
ℰ
p≤ ℰ
m0Plusieurs situations sont alors à distinguer :
① : le respect de l'inégalité impose . La seule position accessible à M
est la position où il est donc à l'équilibre. M est immobile.
② : le respect de l'inégalité impose . Le point M ne peut
accéder qu'aux positions comprises entre et . Sa trajectoire est donc bornée ; M est dit dans un état lié.
③ : le respect de l'inégalité impose . Le point M peut accéder
à une zone de positions infinie. Sa trajectoire est donc non bornée ; M est dit dans un état de diffusion.
ℰm0 = ℰp≤ ℰm0
x = x
0x = x
0ℰm0= ℰp≤ ℰm0
x ∈ [x
min, x
max] x
minx
maxℰm0= ℰp≤ ℰm0
x ∈ [x′
min, + ∞[
ℰm0① ℰm0② ℰm0③
ℰ
p(x)
x0
x
xmin xmax
x′min
ℰm0① ℰm0②
ℰm0③
