I. Les forces électrostatiques sont conservatives

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Interactions électrostatiques

Ce complément montre que les forces électrostatiques sont conservatives. Il établit ensuite les expressions générales de l’énergie potentielle électrostatique et du potentiel.

I. Les forces électrostatiques sont conservatives

A. Lorsque l’ensemble source est formé d’une charge ponctuelle Q

On considère la situation suivante : Une charge source ponctuelle Q placée en O exerce la force électrostatique F sur une charge test ponctuelle q située en P.

T12.C1 Figure 1 : Cas d’une unique charge source créant un champ électrostatique.

Ô lecteur ! Ô lectrice ! En utilisant des coordonnées sphériques¹, exprimez la force électrostatique F, le déplacement dl puis le travail de cette force lors du déplacement quelconque AB. Commentez le résultat.

Le travail de cette force² s’écrit en utilisant des coordonnées sphériques d’origine O :

Cette expression du travail montre qu’il est indépendant du chemin suivi de A à B et qu’il ne dépend que de la position initiale A et de la position finale B. La force électrostatique exercée par une charge source ponctuelle sur une charge test est donc conservative.

B. Généralisation

Le travail de plusieurs forces, quelle que soit leur nature, s’exerçant sur un même point matériel est égal à la somme algébrique des travaux de chacune des forces car le déplacement est commun :

De ce fait, le travail de la force électrostatique exercée par un ensemble quelconque de charges sources est la somme algébrique de travaux de forces conservatives. Donc il est indépendant du chemin suivi et ne dépend que de la position initiale et de la position finale, communes à tous ces travaux. Donc :

Les forces électrostatiques sont des forces conservatives.

1 Voir annexe 1 page 5.

2 L’expression 1/4pe0 est une constante caractéristique des forces électrostatiques dans le vide. Elle vaut environ 9.10⁹ F^-1.m. La δW(!

F)= ! F.d!

l = q Q 4πε₀r²

u!_r.(dr u!_r+r dθ u!_θ +rsinθdϕu!_ϕ)= q Q 4πε₀r²dr W_A→_B(!

F)= δW(! F)=

A→B

∫

_4πε^{q Q}

0r²dr

r_A r_B

∫

⁼⁻_4πε^{q Q}

0r_B + q Q 4πε₀r_A

W_A→_B(! F₁+ !

F₂+ !

F₃+...)= (! F₁+ !

F₂+ !

F₃+...).d!

A→B l

∫

= !

F₁.d!

A→B l

∫ ⁺ ∫

A→B^F^!²^.d^!^l

⁺ ∫

A→B^F^!³^.d^!^l ⁺^...

=W_A→B(!

F₁)+W_A→B(!

F₂)+W_A→_B(! F₃)+...

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II. Expression de l’énergie potentielle électrostatique

On ne peut pas choisir le point O comme référence des énergies potentielles car la force électrostatique tend vers l’infini quand r tend vers 0. Au contraire cette force tend vers 0 quand r tend vers l’infini. On s’intéresse donc au travail de la force électrostatique lorsque la charge q d’abord infiniment éloignée de la charge Q se rapproche pour atteindre le point P :

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Déduisez-en la variation d’énergie potentielle électrostatique puis l’énergie potentielle.

Au besoin voir T12 Autres travaux § II.A.1 De quelles grandeurs cette énergie dépend-elle ? Quelle est l’allure de sa représentation graphique en fonction de la distance r ?

La définition de la variation d’énergie potentielle donne :

L’expression de l’énergie potentielle électrostatique s’écrit alors :

L’énergie potentielle électrostatique dépend de la charge q qui subit le champ et de la charge source par sa valeur Q et par sa position qui détermine r.

La figure 2 montre l’allure de la représentation graphique de l’énergie potentielle électrostatique dans les deux cas attractif et répulsif.

T12.C1 Figure 2 : Représentation graphique de l’énergie potentielle électrostatique.

Remarque sur la constante Epe(¥) : L’énergie potentielle électrostatique à l’infini n’est pas déterminée par la définition de l’énergie potentielle. Ceci n’a pas de conséquence néfaste car seules les variations d’énergie potentielle importent. Comme déjà vu, l’expression du travail de la force électrostatique F ne fait pas intervenir Epe(¥). On peut cependant éventuellement lui attribuer une valeur nulle car l’interaction entre les deux charges tend vers 0 lorsqu’elles sont infiniment éloignées.

B. Application : L’atome d’hydrogène

L’atome d’hydrogène peut être considéré comme formé d’une charge source ponctuelle, le proton et d’une charge ponctuelle test, l’électron. Nous allons utiliser l’interprétation exposée dans le chapitre 12. Pour former un atome d’hydrogène un opérateur rapproche l’électron du proton, ces derniers étant initialement infiniment éloignés.

L’opérateur effectue un « déplacement réversible » c’est-à-dire à vitesse nulle.

Le travail alors fourni par cet opérateur est égal à l’énergie électrostatique reçue par l’atome : W_∞→P(!

F)= δW(! F)=

∞→

∫

P _4πε^{q Q} 0r²dr

∞

∫

r ⁼⁻_4πε^{q Q} 0r

E_pe(P)−E_pe(∞)=−W_∞→P(!

F)= q Q 4πε₀r

E_pe(P)= q Q

4πε₀r+E_pe(∞)

(3)

Ô lecteur ! Ô lectrice ! Ce travail est-il résistant ou moteur ?

L’opérateur doit lutter contre la force électrostatique attractive entre les deux charges de signes contraires. Il fournit donc un travail résistant, négatif. Lorsque l’énergie potentielle électrostatique à l’infini est choisie égale à 0, l’énergie de l’atome est négative :

Remarque : L’énergie d’ionisation est égale au travail à fournir par un opérateur de façon réversible pour éloigner infiniment le proton et l’électron qui formaient initialement l’atome. Elle est donc l’opposée de l’énergie de l’atome :

C. Généralisation

L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q soumise à la force électrostatique créée par un ensemble de N charges sources est la somme des énergies potentielles dues à chaque charge source :

L’énergie potentielle électrostatique dépend de la charge q qui subit le champ et de l’ensemble source par les valeurs des charges sources {Qi} et par leurs positions qui déterminent les valeurs des distances {ri}.

III. Expression du potentiel électrostatique

L’énergie potentielle électrostatique dépend de la charge test q, plus précisément lui est proportionnelle.

Ô lectrice ! Ô lecteur ! Déduisez l’expression du potentiel électrostatique de celle de l’énergie. Au besoin voir T12 Autres travaux § III.A.2.

On déduit l’expression du potentiel électrostatique de celle de l’énergie :

Le potentiel électrostatique en P ne dépend plus de la charge q. Il dépend uniquement de l’ensemble source par la valeur de la charge Q et par la distance r. Il caractérise l’action de l’ensemble source au point P.

W_∞→P^réversible(!

F_op)= E_pe(P)−E_pe(∞)=ΔEreçue par l'atome

E_pe(P)=W_∞→P^réversible(! F_op) ΔEreçue par l'atome

" # $ $ %

⁺ ^E^pe⁽^∞⁾

choix

"#%

E_pe(∞)=0⁼^W^∞→P

réversible(! F_op) ΔEreçue par l'atome

" # $ $ %

^<⁰

E_ionisation =W_P→∞^réversible(!

F_op)=−W_∞→P^réversible(!

F_op)=−ΔEreçue par l'atome

E_ionisation =−E_pe(P)+ E_pe(∞)

choix

"#$

E_pe(∞)=0⁼⁻^E^pe⁽^P)

E_pe(P)−E_pe(∞)=− W_∞→P(! F_i)

i=1

∑

N ⁼ _4πε^{q Q}ⁱ 0r_i

i=1

∑

N

E_pe(P)= q Q_i 4πε₀r_i

i=1

∑

N ⁺^E^pe^(∞)

V(P)−V(∞)=−W_∞→P(! F)

q = Q

4πε₀r V(P)= Q

4πε₀r+V(∞)

(4)

B. Généralisation

L’expression du potentiel électrostatique se déduit de celle du travail :

Le potentiel électrostatique en P ne dépend plus de la charge q. Il dépend uniquement de l’ensemble source par la valeur des charges {Qi} et par les distances {ri}. Il caractérise l’action de l’ensemble source au point P.

Les expressions établies montrent les paramètres dont dépendent respectivement l’énergie potentielle et le potentiel électrostatiques- charge test et ensemble source pour l’énergie, uniquement ensemble source pour le potentiel. Elles sont générales ; Dans un cours d’Électrostatique, on les calcule dans des cas particuliers d’ensemble source, en introduisant des répartitions volumiques, surfaciques ou linéiques de charges sources.

V(P)−V(∞)=−

W_∞→P(! F_i)

i=1

∑

N

q = Q_i

4πε₀r_i

i=1

∑

N

V(P)= Q_i 4πε₀r_i

i=1

∑

N ⁺^V^(∞)

(5)

Annexe : Coordonnées sphériques Définition

Les coordonnées sphériques r, q, j sont représentées sur la figure 3 ci-dessous. Par définition :

Les vecteurs unitaires sont définis par :

Le trièdre (ur, uq, uj) est un trièdre trirectangle, direct, unitaire.

T12.C1 Figure 3 : Les coordonnées sphériques r, q, j.

Composantes des vecteurs de base sphériques en coordonnées cartésiennes Les composantes des vecteurs unitaires ur, uq, uj dans le trièdre (x, y, z) sont :

On en déduit :

r=OP θ=(Oz!"

,OP!"!

) appelé colatitude

ϕ=(Ox!"!

,Op!"!

) appelé longitude

u!_r = 1 rOP

"!"

u!_θ tangent au méridien de P, orienté dans le sens des θ croissants, unitaire u!_ϕ tangent au parallèle de P, orienté dans le sens des ϕ croissants, unitaire

u!_r =

sinθcosϕ sinθsinϕ cosθ

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

u!_θ =

cosθcosϕ cosθsinϕ

−sinθ

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

u!_ϕ =

−sinϕ cosϕ 0

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

(6)

Composantes du vecteur déplacement unitaire en coordonnées sphériques En coordonnées sphériques, la définition du vecteur unitaire ur donne :

Le déplacement élémentaire s’en déduit :

Les trois composantes de ce déplacement élémentaire sont représentées sur la figure 4 ci-dessous.

T12.C1 Figure 4 : Les déplacements élémentaires exprimés en coordonnées sphériques.

du!_r dθ ⁼

cosθcosϕ cosθsinϕ

−sinθ

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

=u!_θ du!_r dϕ ⁼

−sinθsinϕ sinθcosϕ 0

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

=sinθu^!_ϕ

OP

!"!

=ru"_r

dOP

!"!

=dru"_r+rdu"_r =dru"_r+rdu"_r

dθ dθ+rdu!_r dϕ dϕ dOP

!"!

=dru"_r+rdθu!_θ +rsinθdϕu!_ϕ

I. Les forces électrostatiques sont conservatives

Interactions électrostatiques