Mécanique du point matériel

Mécanique du point matériel

Énergies

Mécanique du point matériel

1 - Énergie cinétique :

(Dans toute la suite, on considère un point matériel M (m), de vitesse dans un référentiel (R) galiléen.)

L’énergie cinétique du point matériel est :

v

2

2 1 m v E

=

E

s’exprime dans le SI en Joule : Autres unités d’énergie :

2 2

. . 1

1 J = kg m s

J eV 1 , 6 . 10

1 =

MJ J

h

kW . 3 , 6 . 10 3 , 6

1 =

=

J cal 4 , 18

1 =

Mécanique du point matériel

2 - Théorème de l’énergie cinétique :

Le PFD appliqué au point matériel dans le référentiel (R) supposé galiléen donne :

dt v m d f =

On multiplie scalairement cette équation par le vecteur vitesse :

dt v v m d

v

f .  .



 



= 

dt v dE

dt m d dt v

v m d

or  =



 



= 

 

 





2 . 1

Par conséquent :

c

ou f v dt dE

dt v dE

f . = . =

Interprétation : entre les instants t et t+dt, l’énergie cinétique de M varie d’une quantité qui dépend de la force et du déplacement du point, appelée travail de la force lors du déplacement et noté .

dt v r d = W

δ r

d

f

Mécanique du point matériel

Travail élémentaire d’une force :

r d f dt

v f

W

= . = .

δ

Travail total d’une force lors d’un déplacement de A à B :

∫

∫ ⁼

=

AB AB

AB

C C

C

f

f v dt f d r

W . .

,

AB

AB f C

C

f

W

W

≠

Le travail dépend a priori du trajet choisi pour aller de A à B :

Si la force est constante, alors :

[ ] ^{OM f AB}

f r

d f

W

C C

f

AB AB

. .

,

= ∫ . = =

A

B

C

C’

M M’

f

dt v r

d =

O

(Remarque : le travail de deux forces est additif)

Mécanique du point matériel

Puissance instantanée d’une force :

v dt f

W

P

f

= = .

δ (Une puissance s’exprime en Watt (W)

dans le SI) Enoncé du théorème de l’énergie cinétique :

La variation d’énergie cinétique d’un point matériel est égale à la somme des travaux des forces qui lui sont appliquées :

•

Sous forme élémentaire (entre t et t+dt) :

•

Sous forme intégrée :

On parle également du théorème de la puissance cinétique :

dt v dE

F

P

= . =

F

∫

=

=

−

=

∆

CAB

c F c

c

E B E A W F d r

E ( ) ( ) .

dt v F r

d F W

dE

= δ

= . = .

Mécanique du point matériel

3 - Exemples de forces conservatives :

La tension d’un ressort :

x T u

ℓ _{O x}

x

Le travail élémentaire de la tension lors d’un déplacement s’écrit : d r = dx u

dx kx u

dx u

k r

d T

W

= . = − ( ℓ − ℓ

).

.

= − . δ

Ce travail peut s’écrire sous la forme d’une différentielle :

 

 



− 

=

−

=

2 . dx d 1 kx kx

W

δ

On pose :

2

2 1 kx

E

= (à une constante près)

Alors :

P T

T

dE et W E

W = − = − ∆

δ

E est appelée énergie potentielle élastique de la masse m (elle est définie à une constante près).

M(m)

Mécanique du point matériel

Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant l’énergie potentielle par rapport au déplacement x, on obtient :

x p p

p

u

dx T dE

dx et T dE

soit dx kx

dE = = − = −

Cette relation entre la force et l’énergie potentielle est générale.

Le poids d’un corps :

Le travail du poids d’un corps M(m) lors d’un déplacement s’écrit : d r r

d g m W

= .

z δ

O

h M

g m

g

x

y

z

z y

x

u g g

u dz u

dy u

dx r

d

−

=

+ +

=

P g

m

mgdz d mgz dE

W = − = − ( ) = − δ

A

B

u

Mécanique du point matériel

On définit ainsi E

= mgz comme étant l’énergie potentielle de pesanteur du point M.

Elle ne dépend que de la cote de z. Le travail total du poids de M pour aller de A à B est ainsi :

mgh W

=

Ce travail ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la dénivellation entre les points A et B.

Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant par rapport à la cote z, on obtient :

z p p

p

u

dz g dE

m dz et

mg dE soit

dz mg

dE = − = − = −

Remarque : si l’axe (Oz) est orienté vers le bas, alors . Il faut donc bien préciser l’orientation choisie pour l’axe (Oz) ! Un bon moyen de vérifier si l’expression utilisée est correcte consiste à vérifier que l’énergie potentielle de pesanteur augmente toujours avec l’altitude.

mgz

E

= −

Mécanique du point matériel

La force gravitationnelle :

On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. Le travail élémentaire de la force gravitationnelle subie par le point P est :

P(m)

x O(M) y

z

u

u

r G mM f = −

r = OP

r d

r d r u

G mM r

d f

W

.

.

−

= δ =

) ( )

( )

( r u

dr u

r d u

d

r

d = = +

) ( . )

( ) ( . )

(

.

r

d r dr u r u d u dr r u d u

u = + = +

) 1 (

2 0 1 2

) 1 ( .

:

 =

=



 



= 

 

 



= 

r

r

d u d u d u

u Mais

 

 



 −

−

=

−

= r

G mM d

dr r

G mM W

où

D ' : δ

Mécanique du point matériel

On définit alors l’énergie potentielle gravitationnelle E

telle que :

f P

P

alors W dE

r G mM

E = − δ = −

Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.

Relation entre la force et l’énergie potentielle : en dérivant E

(r) par rapport à la variable r, on obtient :

r P P

P

u

dr f dE

dr et f dE

r soit G mM dr

dE = = − = −

2

On retrouve, là encore, une relation identique à celles vues pour les deux forces précédentes (la

variable est ici la distance r).

Mécanique du point matériel

La force coulombienne :

On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La force coulombienne subie par le point P est :

u

r f qQ

2

4

1

= πε

Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :

mM qQ

G ⇔

−

⇔ ;

4 1

πε

r P f P

P

u

dr f dE

et dE

W alors

r

E = qQ δ = − = −

πε

4

1

L’énergie potentielle coulombienne est alors :

Mécanique du point matériel

4 - Généralisation :

Energie potentielle et force conservative :

On dit qu’une force dérive d’une énergie potentielle E

si le travail de la force peut s’écrire comme :

f

f P

f

f d r dE

ou W E

W = . = − = − ∆

δ

Cette force est alors appelée force conservative.

Conséquence importante : « Le travail d’une force conservative est indépendant de la trajectoire suivie et ne dépend que des positions initiale et finale et est égale à la diminution de l’énergie potentielle (-

E

). »

Ainsi, pour calculer le travail de la force, il suffira juste de connaître la fonction E

et

calculer sa diminution.

Mécanique du point matériel

Relation entre la force et la dérivée de l’énergie potentielle

Si E

(x) dépend d’une des variables cartésiennes (par exemple, x) :

P x

f f x d r f x u x dx u f x dx dE

W = ( ). = ( ) .( ) = ( ) = −

δ

D’où : x

P

P u

dx x dE

f dx et

x dE

f ( ) = − ( ) = −

Si E

(r) dépend de la variable r = OM :

f f r d r f r dr dE P

W = ( ). = ( ) = − δ

D’où : r

P

P u

dr r dE

f dr et

r dE

f ( ) = − ( ) = −

Ce sont ces relations qu’il faut désormais utiliser pour passer de la force à

l’énergie potentielle, et vice versa.

Mécanique du point matériel

Exemples :

? ) ( 3 ;

1 2

) 1

( x kx ² ax ³ f x

E _P = +

x x

P u bx u

x x k

f x

E ( ) = ? ; ( ) = − +

r r

P u

r u c

r r k

f r

E ( ) = ? ; ( ) = − 2 + 3

Mécanique du point matériel

Energie mécanique et intégrale première du mouvement :

Soit un point matériel M soumis à une force conservative . Le théorème de l’énergie cinétique appliqué dans un référentiel galiléen donne :

f

= 0 +

−

=

= _{P c P}

c W f dE soit dE dE

dE δ

0 )

( E _c + E _P = d

On définit alors : , l’énergie mécanique du point matériel M. Elle est constante puisque :

P c

m E E

E = +

= 0 dE m

mouvement du

cste E

E E

E _m = _c + _P = _{m 0} =

Si le point matériel est soumis à plusieurs forces conservatives (poids et tension d’un ressort), on définira alors l’énergie mécanique comme :

cste E

E E

E _m = _c + _{P , pesanteur} + _{P , ressort} =

Mécanique du point matériel

« Lorsqu’un point matériel est soumis uniquement à des forces conservatives (c’est-à- dire pour lesquelles on peut définir des énergies potentielles), son énergie mécanique (somme de son énergie cinétique et des différentes énergies potentielles) reste

constante lors du mouvement. »

Il y a transfert incessant entre ces deux formes « cinétique » et « potentielle » de

l’énergie.

Mécanique du point matériel

La conservation de l’énergie mécanique fait intervenir les coordonnées de M (dans les énergies potentielles) et sa vitesse (dans l’énergie cinétique) : c’est donc une équation différentielle du 1

ordre, appelée intégrale 1

du mouvement.

Nous verrons en exercice qu’il est souvent préférable d’utiliser cette intégrale 1

même

si l’on souhaite déterminer la nature de la trajectoire ; en effet, on élimine les forces qui

ne travaillent pas et, par dérivation, on peut revenir à l’accélération et donc au PFD.

Mécanique du point matériel

Forme intégrale Forme différentielle

Forme locale

r P

r x

P

x

u

dr r u dE

r f f

dx u x u dE

x f

f ( )

) ( ) ;

) (

( = − = = −

=

[ ⁻ ] ^{= =} ∫

−

=

∆

−

f A P

P

P

E B E A W f d r

E ( ) ( ) . dE W f d r

P

=

= .

− δ

TABLEAU RECAPITULATIF

Mécanique du point matériel

Energie mécanique – Intégrale 1

du mouvement

0 0

2

0 2

0 2

0 2

2

4 1 2

1 2 1 2 1

2 1 2

1

m m m

m

r E mv qQ

r E G mM mv

E mgz

mv

E kx

mv

= +

=

−

=

±

= +

πε

Tension d’un ressort :

Champ de pesanteur :

Champ gravitationnel :

Champ coulombien :

( : dépend de l’orientation de l’axe (Oz))

±

Mécanique du point matériel

5 - Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1

du mouvement :

Vitesse de libération (interaction gravitationnelle)

Quelle vitesse initiale minimale v

faut-il communiquer à un point matériel situé à la surface de la Terre pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle terrestre ?

Avec , on obtient :

2 0

1

lim

0

= + = − =

T T P

c

m

R

G mM mv

E E

E

T T

R v 2 GM

lim

=

0 2

T T

R g = GM

) 370

6 (

. 2

, 11

2

lim

R g km s R km

v =

=

=

Mécanique du point matériel

Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1

du mouvement :

Limites de trajectoire et énergie (interaction coulombienne) :

Une particule fixe, de charge électrique + q (q > 0), est placée à l'origine O d'un axe (Ox) : tout le problème se déroule sur cet axe. On néglige le poids des particules.

a) On lance à une distance a de O une seconde particule, de charge - q et de masse m, dans une direction tendant à l'éloigner de O. Quelle vitesse initiale v

doit-on lui communiquer pour qu'elle échappe à l'attraction de la particule fixe en O ?

b) La particule mobile a maintenant la charge + q et sa vitesse initiale est v

et est dirigée

vers O. Montrer que cette particule ne peut atteindre O ; calculer la distance minimale

d'approche b en fonction de v

.

Mécanique du point matériel

x x q

E

2

4

) 1

( ⁼ πε )

( x E

O x

a mv q

E

2

0 2

0

0

4

1 2

1

+ πε

=

b x a

P c

m

E E

E

= + )

(a E

)

( x E

)

(

0 ) (

m P

c

E b

E b E

=

=

) ( x E

) (a E

A

B

Mécanique du point matériel

Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1

du mouvement :

Equation différentielle du pendule (étude énergétique) :

M(m)

T ℓ

θ ^θ

θ u v = ℓ ɺ

O

z

u z

u

u

g m

La tension ne travaille pas (perpendiculaire au déplacement) ; le système est conservatif :

θ

θ ; cos

2 ;

1

0

= mv − mgz v = ℓ ɺ z = ℓ

E

θ

θ cos

2

1

0

m ℓ ɺ mg ℓ

E

= −

θ θ

θ

θ sin

0

0

m ℓ ɺ ɺ ɺ mg ℓ ɺ dt

dE

+

=

=

D’où l’intégrale 1ère du mouvement :

En dérivant par rapport au temps :

Soit l’équation différentielle du mouvement : θ + sin θ = θ ^{ɺ ɺ} + ω

sin θ = 0 ℓ

ɺ

ɺ g

Mécanique du point matériel

Quelques exemples d’utilisation de l’intégrale 1

du mouvement :

Etats liés, états libres :



 a b

) ( x U

−

∞

→

→

( ) = +∞ ; lim ( ) = 0 lim

0

U x U x

x x

a) Etude mathématique :

a r b

U U

b et x a

dx pour x dU

) 4 2 (

) 0

(

min min

min

= = = −

=

b) Petits mouvements :

) (

) (

8 )

(

3 4

x x k x

a x x b

f = − − = − −

3 4 0

3 0 4 2

0

2 8

1

; 2

8 ma

b ma

b m

k

π π

ν ω

ω = = = =

Mécanique du point matériel

6 - Équilibre d’un point et conditions de stabilité :

Conditions d’équilibre :

On suppose que l’énergie potentielle ne dépend que de la variable x, E

(x). La force s’écrit :

x P

u dx x dE

f ( ) = −

Une position d’équilibre correspond à une force nulle (et vitesse initiale nulle) :

0 0

)

( = =

dx donc dE

x

f

C’est-à-dire à un extremum de l’énergie potentielle.

Mécanique du point matériel

Conditions de stabilité :

Une position d’équilibre stable va correspondre à la condition :

0 0

0 < <

> dx

soit df df

alors dx

On en déduit, en remarquant que :

2 2

dx E d dx

dE dx

d dx

df

−

 =



 



 −

=

Equilibre stable :

Equilibre instable :

Equilibre indifférent :

2

0

2

>

dx E d

2

0

2

<

dx E d

0

2

E = d

E P

x

C’est-à-dire E

minimale

C’est-à-dire E

maximale

E P

x

Mécanique du point matériel

Exemple :

Un point matériel M(m) est astreint à se déplacer sans frottement le long d’un axe (Ox). Il est relié à un point A par l’intermédiaire d’un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide . Etudier l’équilibre de M (existence et stabilité).

> h ℓ

) ,

( k ℓ

M(m) x O

A h

( )

(

)

2 2

2 2

2 0 2

2

2 ) 1

(

ℓ ℓ

−

 +







 





+

=

− +

=

x h

x h

k x dx

dE

x h

k x

E

P P

2 2

0

: 0

h x

x ou

x

dx pour dE

m P

−

±

=

±

=

=

=

ℓ

Mécanique du point matériel

) 5

, 1

; 1

( h = m ℓ = m

) ( x E

x

2 2

0

h

x

= ℓ −

2 0

) 2 (

) 1 0

( = k h − ℓ E

x

−

Mécanique du point matériel

Exercice (la porte de garage) :

Une porte de garage P

P

de longueur 2L peut se mettre en mouvement : P

se déplace sur l’axe (Cy) sans frottement, P

a un mouvement circulaire de rayon L autour de (Oz). On modélise cette porte en s’intéressant uniquement au triangle OAM (une masse m étant placée en M). La tige OM est rigide, de masse négligeable et de rayon R. Un ressort de longueur à vide et de raideur k, exerce une force de rappel sur le point M (constamment dirigée vers le point A).

a) Exprimer l’énergie potentielle du point matériel M(m) en fonction de l’angle

.

b) Déterminer les positions d’équilibre du point matériel M(m) et discuter leur stabilité. Conclure.

Données :

C

A R O

P₁

P₂

M θ

L

1

0

12 1 , 2 ; 50 000 .

; 1 10

; 10

;

30 = = = = = =

= kg R cm L R m R m k N m

m ℓ

u

u

Mécanique du point matériel

Energie potentielle de pesanteur : E

= mgR cos θ + cste

Energie potentielle élastique :

Energie potentielle totale (en choisissant la constante nulle) :

[

]

2 / 1 2

2 ,

2 2

2 2

0 ,

) cos

2 2 (

1

cos 2

; :

) 2 (

1

ℓ ℓ

− +

+

=

+ +

=

−

=

−

=

θ

θ LR

R L

k E

LR R

L AM

OA OM

AM Or

AM k

E

él p

él p

[

]

2 / 1 2

2 ,

,

( 2 cos )

2

cos + 1 + + − ℓ

= +

= E E mgR θ k L R LR θ

E

Numériquement :

2 2

/

1

12 )

) cos

20 101

((

000 25

cos 3 ,

294 + + −

= θ θ

E

Mécanique du point matériel

La porte de garage est donc dans une position stable en position haute (porte ouverte) et instable en position basse (porte fermée) ; de cette manière, il est facile d’ouvrir la porte.

E

(

), en J

θ θθ

θ

(rad)

Mécanique du point matériel

8 - Approche du portrait de phase :

0n considère un pendule simple de longueur que l'on écarte sans vitesse initiale de l'angle

par rapport à la verticale descendante

Le pendule est soumis à des frottements fluides et son équation différentielle devient :

Son portrait de phase est donné sur la figure, avec :

* A quoi voit-on qu’il y a des frottements ?

* Indiquer les positions d’équilibre stables et instables.

* Commenter l’allure des différentes courbes.

ℓ

0

2

sin

0

=

+

+ θ ω θ

θ ^{ɺ ɺ} h ^ɺ

1 1

0

= 5 rad . s

et h = 0 , 5 s

ω

Mécanique du point matériel

Mécanique du point matériel

Approche du portrait de phase :