Travaux dirigés corrigés Mécanique du Point Matériel

Université Sultane Moulay Slimane Faculté Polydisciplinaire

Béni Méllal

FILIÈRE :SMP/SMC/SMA

MODULE : M1/M1/M4

Travaux dirigés corrigés Mécanique du Point Matériel

Préparé par Mohamed LAMSAADI

Année universitaire 2012-2016

Série N° 1

Rappels et Compléments Mathématiques

Exercice 1

Dans un repère orthonormé direct ^ℜ

(

^O,ir,jr,kr

)

, on considère les vecteurs : j

i vr r r

3

1 = 3 + , vr ir jr kr + +

= 3

2 , vr ir jr kr

3 = − +2 et vr ir kr

−

=2

4

1. Représenter les vecteurs vr₁ et vr₂

. 2. Calculer vr₁

, vr₂

et les produits vr₁.vr₂

et vr₁ vr₂

∧ . 3. Calculer l’angle formé par les vecteurs vr₁

et vr₂ . 4. Montrer que le vecteur vr₃

est perpendiculaire au plan (P) formé par les vecteurs vr₁ et vr₂

. 5. Montrer que le vecteur vr₄

appartient au plan (P) 6. Déterminer le vecteur unitaire ur

porté par le vecteur

(

vr1 vr2

)

+ 7. Calculer le produit mixte

(

vr1,vr2,vr3

)

et montrer qu’il est invariant par permutation circulaire.

Exercice 2

On considère dans le plan xOy deux vecteurs unitaires perpendiculairesur vr

et , tournant autour de l’axe (Oz). Soit R(O,x,y,z) un repère muni de la base O.N.D (ir,rj,kr)

. En posant θ

→ = ) u , Ox

( r

(θ =ωt, ωest une constante). Soit rr cosbtir+sin bt jr+t²kr

= une fonction

vectorielle et λ(t)= e^−at une fonction scalaire (a et b sont des constantes) 1. Exprimer les vecteurs ur vr

et dans la base (ir,jr,kr) . 2. Déterminer le vecteur wr

, tel que le système (ur,vr,wr)

constitue une base O.N.D 3. Calculer

R

R d

v d d

u d

θ θ

r r

et dans la base (ir, jr,kr)

puis dans la base (ur,vr,wr) . 4. Calculer

R R dt

v d dt

u

dr r

et dans la base (ir, jr,kr)

puis dans la base (ur,vr,wr) . 5. Calculer

dt R

) r ( d r

λ et dt R

) r u ( d r r

∧ dans les bases (ir, jr,kr)

et (ur,vr,wr) .

Exercice 3

1. Considérons deux points A et B, définis en coordonnées cartésiennes par :^A

(

^{2, 2,2}

)

^et

(

0,1,0

)

B .

Donner les coordonnées cylindriques

(

ρ,ϕ,z

)

et sphériques

(

r,θ,ϕ

)

de ces deux points, respectivement dans les bases

(

er ,er ,erz

)

ϕ

ρ et

(

er_r,er_θ,er_ϕ

)

.

2. Dans un repère orthonormé direct ^ℜ

(

^{O,ir, jr,kr}

)

, un point M est repéré, à tout instant t, par ses coordonnées sphériques

(

r,θ,ϕ

)

telles que :

( )

_^









 +

= ^−τ 1

t

e a t

r ,

( )

t t

τ θ π

= 4 et

( )

3 ϕt = π (a et τ sont des constantes positives)

Tracer qualitativement la courbe (C) décrite par les positions successives du point M quand t varie de 0 à 2 . τ

Exercice 4

Considérons un repère orthonormé direct ^ℜ

(

^{O,ir, jr,kr}

)

. En tout point M(x,y,z) de l’espace, on définit une quantité physique f telle que : f

(

x,y,z

)

= r² avec r = OM et

k z j y i x OM

r r

r + +

=

1. Calculer le gradient du champ scalaire f, gradf , et la différentielle totale de f, df.

2. Montrer qu’en tout point M, df = gradfdOM (dOM est le vecteur déplacement élémentaire) 3. Considérons le champ scalaire f, donné en tout point de l’espace par :

( )

M 3r³sin²

( )

θ cos

( ) ( )

θ sin2ϕ

f =

Exprimer gradf dans les bases sphérique

(

er_r,erθ,erϕ

)

et cartésienne

(

^ir,jr,kr

)

^.

4. Soit une fonction vectorielle fr(x,y,z)

définie dans la base (ir,jr,kr) par : k

z j z xy i yz x ) z , y , x (

fr r r r

+ +

= ^{2 2}

Calculerdivf r

et rotf r

→

. Exercice 5

Un enfant achète un cornet de glace. La glace fait une demi boule (sphérique) et remplit le cornet (de forme conique) de hauteur h

= 11cm et d’angle 2α = 30°(figure ci-contre).

1. Calculer le volume Vb de la demi boule en fonction de h et tan(α).

2. Calculer le volume Vc du cornet en fonction de h et tan(α).

3. En déduire le volume total de la glace (exprimé en litre) que mangera l’enfant.

devoir à la maison Exercice 1

Dans un repère orthonormé direct ^ℜ

(

^O,ir,jr,kr

)

, on considère deux vecteurs ur et vr définis à tout instant t par : ur sin

( )

tir cos

( )

t jr t₂kr

2 + +

= , vr e ^tir cos

( )

t jr sin

( )

t kr 3 3

2 +

−

= ⁻ 1. Déterminer

ℜ / dt

u dr

et dt /ℜ v dr

à l’instant t = 0.

2. Déterminer l’instant t1 où le vecteur wv e ^tir cos

( )

t jr sin

( )

tkr 3 2

3 + 3 −

= est perpendiculaire à vr

. Exercice 2

Dans le plan horizontal (xoy) d’un repère orthonormé direct ^ℜ

(

^O,ir,rj,kr

)

, un point M est repéré à tout instant t par ses coordonnées polaires

(

ρ,ϕ

)

telles que ρ

( )

t = acos

( )

ωt et

( )

t ωt

ϕ = (a et ω étant des constantes positives, OM ρer_ρ

= et 







= Ox^∧,OM

ϕ )

1. Dans la base polaire

(

erρ,erϕ

)

, calculer le vecteur

= ℜ / dt

OM vr d

2. Dans la base polaire

(

erρ,erϕ

)

, déterminer puis représenter les vecteurs OM et vr

à l’instant

( )

^s

/ t =π 4ω

O h αα

z

Solution de série N° 1 Exercice 1

1.

2.

- vr₁ = 3² +3² +0² = 18 = 3 2

, vr₂ = 1² +3² +1² = 11 - vr₁.vr₂ = 3 × 1 + 3 × 3 + 0 ×1 = 12

- v v

( ) (

i

)

j

( )

k i j k

r r r r

r r r

r₁ ∧ ₂ = 3×1−0×3 − 3×1−0×1 + 3×3−3×1 =3 −3 +6

3.











= 











= 











= 







 ^∧

2 2 4 11

2 3

12

2 1

2 2 1

1 arccos arccos

v . v

v . arccos v v

,

v r r

r r r

r

Ou bien 









= 











= 











 ∧

 =



 



 ^∧

11 3 11

2 3

54

2 1

2 1 2

1 arcsin arcsin

v . v

v arcsin v

v ,

v r r

r r r

r

⇒  =



 



 ^∧

2 1 ,v vr r

31.48°

4.

3 2 3 1 3

2 3

1 et

0 2 1 1 3 1 1

0 2 0 1 3 1

3 v v v v

v . v

v .

v r r r r

r r

r r

⊥

⊥

⇒





=

× +

×

−

×

=

=

× +

×

−

×

= ⇒ vr₃ ⊥

( )

P

5.

K j i j i k i

vr r r r r r r r

−

−

− +

=

−

=2 3 3 3

4 ⇒ vr₄ vr₁ vr₂

−

= ⇒ vr₄ ∈

( )

P 6.

53 6 4

2 1

2

1 i j k

v v

v u v

r r r r

r r

r r + +

+ =

= + ⇒ u i j k

r r r r

53 1 53

6 53

4 + +

=

7.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

1 2 3

) (

2 3 1

) (

3 1 2

)

2 1 3 2 1 3

1 3 2 1 3 2

3 2 1 3 2 1

18 18 18

v , v , v v , v , v v , v , v v

v v v , v , v

v v v v , v , v

v v v v , v ,

v r r r r r r r r r

r r r r r r

r r r r r r

r r r r r r

=

=

⇒







=

∧

=

=

∧

=

=

∧

=

⇒

(

vr1,vr2,vr3

)

est invariant par permutation circulaire.

Exercice 2

O Kr

j r

vr1

Vr2

ir z

y

x

ir j

r

ur vr

kr

•θ θ

y

x z

1.

( )

i sin

( )

j cos

ur r r

θ θ +

= , vr sin

( )

ir cos

( )

jr θ θ +

−

= 2.

Pour que le système (ur,vr,wr)

constitue une base O.N.D, if faut ur = vr = wr =1

et ur vr wr

=

∧

( ) ( )

(

^{cos i sin j}

) (

^sin

^{( )}

^{i cos}

^{( )}

^j

)

^k

v

ur r r r r r r

= +

−

∧ +

=

∧ θ θ θ θ

⇒

wr kr

= 3.

( ) ( )

( )

_sin

_{( )}

_{i cos}

_{( )}

_{j v}

d

j sin i cos d d

u d

R R

r r r r

r r

= +

− + =

= θ θ

θ θ θ

θ

( ) ( )

( )

_cos

_{( )}

_{i sin}

_{( )}

_{j u}

d

j cos i sin d d

v d

R R

r r r r

r r

−

=

−

− + =

= − θ θ

θ θ θ

θ 4.

( ) ( )

( )

_sin

_{( )}

_{i cos}

_{( )}

_{j v v}

dt

j sin i cos d dt

u d

R R

r

&r

& r

& r r

r r

ω θ θ θ θ θ θ

θ + = − + = =

=

( ) ( )

( )

_cos

_{( )}

_{i sin}

_{( )}

_{j u u}

dt

j cos i sin d dt

v d

R R

r

&r

& r

& r r

r r

ω θ θ θ θ θ θ

θ + = − − = − = −

= − 5.

dt r d dt

r d dt

) r ( d

R R

λ λ

λ r r r

+

=

( )

bt i +bcos

( )

bt j+2tk sin

dt b r d

R

r r r r

−

= , ae ^at

dt

dλ = − −

⇒ ^e

[ (

^bsin

( )

^{bt -acos}

( )

^bt

)

^{i +}

(

^bcos

( )

^{bt -asin}

( )

^bt

)

^j+

(

^{2t at}

)

^k

]

dt ) r (

d _{at 2}

R

r r

r r

−

−

= ⁻ λ

R R

R dt

r u d dt r

u d dt

) r u (

d r

r r r

r r

∧ +

∧

∧ =

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

t i sin

( )

t j

(

sin

( ) ( )

sinbt cos

( )

cos

( )

bt

)

k cos

i t cos k

bt cos cos j

t sin k

bt sin sin

k t + j bt sin + i bt cos j

cos i

sin dt r

u d

2 2

2 2

2 R

r r r

r r r r

r r r

r r r

r

θ ω θ

ω θ

ω θ

ω

θ ω θ

ω θ

ω θ

ω

θ ω θ ω

+

− +

=

+

− +

−

=

∧ +

−

=

∧

( ) ( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

i tcos

( )

j

(

cos

( )

bcos

( )

bt sin

( )

bsin

( )

bt

)

k sin

t

i sin t k bt sin b sin j cos t k bt bcos cos

k t 2 + j bt bcos + i bt sin b j sin i dt cos

r u d

R

r r

r

r r

r r

r r r

r r r

r

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

+ +

−

=

+ +

−

=

−

∧ +

=

∧

2 2

2 2

⇒ ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )

( )

i tcos

( )

j

(

cos

( )

bcos

( )

bt sin

( )

bsin

( )

bt

)

k sin

t

k bt cos cos bt

sin sin j

t sin i

t dt cos

) r u (

d _{2 2}

R r r r

r r

r r r

θ θ

θ θ

θ ω θ

ω θ

ω θ

ω

+

− +

+

− +

∧ =

2 2

⇒

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

(

b

)

cos

(

bt

)

k

j cos t t sin i

sin t t dt cos

) r u (

d 2 2

R r

r r r

r

−

− +

− +

+

∧ =

θ ω

θ θ

ω θ θ

ω 2 2

Pour exprimer les dérivées dt R

) r ( d r

λ et dt R

) r u ( d r r

∧ dans la base (ur,vr,wr)

, il faut exprimer )

k , j , i (r r r

en fonction de la base (ur,vr,wr) . Exercice 3

1. x = ρcos

( )

ϕ et y = ρsin

( )

ϕ

( )

θ cos

( )

ϕ sin

r

x = , y = r sin

( ) ( )

θ sinϕ et z = rcos

( )

θ

⇒

ρ = x² + y²

,

_



 



= 



 



= 



 



= 

ρ

ϕ yρ arccos ^x

arcsin x

arctan y

,

r = ρ² + z²

,



 



= 



 



= 

r arccos z g z

arctan ρ θ

Coordonnées cartésiennes

(

x,y,z

)

Coordonnées cylindriques

(

ρ,ϕ,z

)

Coordonnées sphériques

(

r,θ,ϕ

)

(

^{2, 2,2}

)

_



 



 2

2,π4 , _



 





4 2 4

2 π π

, ,

(

0,1,0

)



 



 0

1,2π ,



 





2 1 2π π

, ,

2.

La coordonnée ϕ est fixe, donc la courbe (C) est dans le plan méridien.

Quand le temps t augmente de 0 à 2τ, la distance r diminue et l’angle θ augmente

Exercice 4

1. f

(

x,y,z

)

= r² = x² +y² + z² ⇒ k z j f y i f x f f

grad r r r

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ , dz

z dy f y dx f x df f

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

z z , f y y , f x x

f 2 2 =2

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ ⇒ gradf xi yj zk

r r

r 2 2

2 + +

= , df =2xdx +2ydy +2zdz 2.

zk j f y i f x f f

grad r r r

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ ,dOM dxir dyjr dzkr + +

= ⇒ dz df

z dy f y dx f x OM f d f

grad =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ 3.

( )

^ϕ

θ θ ϕ

θ ^e

f sin e r

f e r

r f f

grad r_r r r

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( )

θ

( )

θ

( )

ϕ ϕ

θ θ

θ θ ϕ

ϕ θ

θ

2 6

2 2 3

2 9

2 3

3 2

3 2 2

cos cos sin

f r

sin cos

sin sin

f r

sin cos sin

r r f

∂ =

∂

−

∂ =

∂

∂ =

∂

⇒

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

( )

θ

( )

θ

( )

ϕ _ϕ ^θ

θ θ

θ ϕ

ϕ θ

θ

e cos cos sin r

e sin cos

sin sin

r

e sin cos sin

r f

grad _r

r

r r

2 6

2 2 3

2 9

2

3 2

2 2 2

+

− +

=

M

erθ

err

erϕ

erρ

3 ϕ = π

kr

O θ

r

ρ

ir

j r

( )

^t

M

erθ

(

t =0

)

M

(

t =2τ

)

M

En coordonnées cartésiennes, la fonction f est exprimée par :

(

r,θ,ϕ

)

3r³ sin²

( )

θ cos

( ) ( )

θ sin2ϕ

f =

( )

θ cos

( )

ϕ sin

r

x = , y = r sin

( ) ( )

θ sinϕ et z = rcos

( )

θ ⇒ f

(

x,y,z

)

=6xyz

⇒ gradf yzir xzjr xykr 6 6

6 + +

= 4.

k z j z xy i yz x ) z , y , x (

fr r r r

+ +

= ^{2 2} ⇒ f_x = x²yz,f_y = xy²z,f_z = z

z f y f x f f f

div ^{x y z}

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

= rr

r ⇒ divfr =2xyz +2xyz +1= 4xyz+1

y k f x j f z f x i f z f y f f

f

rot ^{z y z x y x}

r r r r

r r













∂

− ∂

∂ + ∂



 





∂

− ∂

∂

− ∂













∂

− ∂

∂

= ∂

∧

∇

= ⇒ rotfr xy ir x yjr

(

y z x z

)

kr

2 2 2

2 + + −

−

=

Exercice 5

1.

Volume de la demi-boule, v_b:

( )

θ drdθdϕ sin

r

dv = ² : élément de volume en coordonnées sphériques.

R r ≤

≤

0 , 0 ≤ϕ ≤ 2π,

0≤θ ≤ π2

⇒

( )

3 2 2

3 1

2 3

0 2 3

0 0

2 R

. R . d d sin dr r dv v

R / b

π π ϕ

θ θ

π π

=

=

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

( )

h

tanα = R ⇒ π 3 3

( )

α 3

2 h tan v_b =

2.

Volume du cornet, v_c: dz

rdrd

dv = ϕ : élément de volume en coordonnées cylindriques.

r r ≤ ′

≤

0 , 0≤ϕ ≤2π, 0≤ z ≤ h

( )

z

h r R h R z

tan r′ = → ′= α =

⇒ 2 2 3

3 2

2

0 2 2

2

0

2 2 2 2

0 0

2

0 0 0

0

h h dz R h z

dz R h z d R

dz rdr d

dz rdr dv

v

h h

h h z

h R r

c

π π π

ϕ ϕ

π

π

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

^{= = =}

















=

=

=

′

⇒ 3

2h v_{c =} πR

( )

h

tanα = R ⇒ π 3 2

( )

α 3 ^tan v_c = h

3.

Quantité de glace exprimée en litre :

( ) ( )

π

( ( )

α

( )

α

)

π α

π α 3 3 2

2 3 3

3

3 2 3

3

2 h tan tan

h tan h tan

v v

V_T = _b + _c = + = +

°

=

=11cm,α 15

h ⇒ V_T =153.7cm³ V_T =153.7cm³ ⇒ V_T =0.1537litres O

h αα z

O h αα

z

z r′

Série N° 2

Cinématique du Point Matériel et changement de référentiel Exercice 1

Les coordonnées d’un point matériel M dans un repère orthonormé direct R(O,ir,jr,kr) sont données en fonction du temps par : x(t) = t-1, y(t) =-t²+1 et z(t) = 0.

1. Déterminer l’équation de la trajectoire de M.

2. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération de M.

3. Calculer les accélérations tangentielle et normale de M.

4. Déduire le rayon de courbure Rc de la trajectoire en fonction du temps.

Exercice 2

On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cylindriques sont, à chaque instant: ρ(t)=a₀ t²+ρ0, ϕ(t)=ωt-ϕ₀ et z(t)=-vt, avec ρ0=1m, a₀=1m.s-², ω=3rad.s^-1, ϕ0=2rad et v=2m.s^-1.

1. Exprimer dans la base cylindrique (er ,er ,er_z)

ϕ

ρ , les vecteurs vitesse et accélération de M.

2. Calculer la norme du vecteur vitesse de M à l’instant t = 1 s.

3. Calculer la norme du vecteur accélération de M à l’instant initial (t = 0 s).

Exercice 3

L’abscisse curviligne d’un point matériel M décrivant un cercle de rayon R est t

b t a ) t (

s = ² +

2

1 , a et b étant des constantes.

1. Exprimer, dans la base de Frenet (r,nr,br)

τ , les accélérations tangentielle et normale de M.

2. Déduire le module de l’accélération de M.

Exercice 4

On considère un point M en mouvement dans le plan xOy. M est repéré par ses coordonnées polaires suivantes : ( cos ); t

2

0 ϕ ϕ ω

ρ = ρ 1+ = où ρ₀ et ω sont des constantes positives.

1. Quelle est l’allure de la trajectoire de M.

2. Exprimer, en fonction de l’angle ϕ, l’abscisse curviligne s de M, comptée à partir du point A qui correspond à ϕ = 0. Pour quel angle polaire a-t-on s = ρ0 ? On désignera par B la position correspondante de M.

3. En déduire le périmètre de la trajectoire.

4. Exprimer dans la base polaire (er_ρ,er_ϕ)

, les vecteurs vitesse et accélération de M 5. En déduire, les modules de la vitesse et de l’accélération de M en fonction de ρ. 6. Déterminer le rayon de courbure Rc de la trajectoire.

7. Déterminer les vecteurs de la base de Frenet (r,nr,br).

τ

8. Calculer les accélérations tangentielle et normale de M.

9. Application numérique : ρ0 = 50cm, ω = 3.2rad/s. Calculer la vitesse, l’accélération et le rayon de courbure en A et B.

Exercice 5

On laisse tomber d’un immeuble de hauteur h une bille M sans vitesse initiale. Dans un référentiel R(O,ir,jr,kr)

lié à cet immeuble, la chute de celle-ci s’effectue verticalement selon un mouvement uniformément accéléré d’accélération r gkr

−

γ = (voir la figure ci-dessous).

1. Déterminer le vecteur position O′M de la bille dans un référentiel R′(O′,ir′, jr′,kr′)

lié à une voiture se déplaçant suivant un mouvement rectiligne uniforme de vitesse ur uir

= et passant à la verticale de chute au moment du lâcher. Déduire l’équation de la trajectoire de la bille dans

) k , j , i , O (

R′ ′ r′ r′ r′ .

2. Déterminer le vecteur position O′M de la bille dans le même référentiel R′(O′,ir′, jr′,kr′) si on admet que la voiture entame au moment du lâcher et à partir de la verticale de chute un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération r air

γ = . Déduire l’équation de la trajectoire de la bille dans R^′(O^′,i^′, j^′,k^′)

r r

r .

devoir à la maison Exercice 1

Une particule M se déplace sur l’axe Ox, de vecteur unitaire ir

, avec une accélération négative, proportionnelle à la vitesse à chaque instant: r -kvir

γ = (k est une constante positive). A l’instant t = 0, elle passe en O avec une vitesse v₀ = 20 m s^-1.

1. Déterminer la loi v(x) (la vitesse au point x).

2. A quelle vitesse et à quel instant la particule passera-t-elle à 150 m de l’origine O, si le module de l’accélération à l’instant 0 vaut 2 m s^-2 ?

Exercice n2

Un nageur plonge d’un point A situé sur une rive d’un fleuve de largeur l et veut atteindre l’autre rive en un point B situé juste en face de A. Pour cela, il nage suivant une direction faisant un angle α avec (AB). Sa vitesse par rapport à l’eau est v et la vitesse du courant est u.

1. Sur un schéma, représenter vectoriellement les vitesses et déterminer l’angle α en fonction de v et u.

2. Exprimer, en fonction de l, u et v,le temps nécessaire t (temps de traversée) pour que le nageur traversera la fleuve.

3. Que devient ce temps si le point B n’est pas situé en face de A.

kr

ir′ k^′

r

ir γr

O O′

M

x

z z^′

x′ h

Solution de série N° 2

Cinématique du Point Matériel et changement de référentiel Exercice 1

1.

x(t) +1 = t ⇒ , y =-x²-2x (équation de la trajectoire) ⇒ la trajectoire est une parabole.

2.

( )

k i tj

dt j dz dt i dy dt dx /

dt OM / d

M

vr r r r r r

−2

= +

+ ℜ =

= ℜ

( ) ( )

j t k

d z j d t d

y i d t d

x d / dt

OM d /

dt / M v / d

M r r r r r

r 2

2 2 2

2 2

2 2

2

−

= +

+ ℜ =

ℜ =

= ℜ γ ℜ

3.

Accélérations tangentielle

: ( )

τ

γ r

r r

dt / M v d

t

= ℜ

( )

(

M /

)

_t ^{i t} _t ^j

v / M

v r r

r r r

2

2 1 4

2 4

1 1

+

− +

ℜ =

= ℜ

τ

, ( )

2 2

4 1 4 4

1

t t dt

t d

dt / M v d

+

=



 



 + ℜ =

r

⇒

j

t i t

t t

t

r r r

2 2

2 1 4

8 4

1 4

− +

= + γ

Accélération normale : γr_n γr

(

M /

)

γr_t

− ℜ

=

⇒

j

i t t t

n

r r r

2

2 1 4

2 4

1 4

− +

− + γ = 4.

Rayon de courbure :

( )

( ) ( ) ( )

2 4

1 ²

3 3 2

t /

M /

M v

/ M

R_c v = ⁺

ℜ

∧ ℜ

= ℜ

γr r

r

⇒

( )

2 4

1 ²

3

t2

R_c = ⁺ Ou bien

( )

R n / M v

c n

r r

r ^{ℜ 2}

γ =

⇒ ( )

R n / M v

c n

r r

r ^{ℜ 2}

γ =

,

nr =1

⇒

( ) ( ) ( )

2 4 1

4 1

2 4

1 4

4

1 ²

3 2 2

2 2

2 2 2

t

t t

t / t

M R v

n c

= +



 



 + +



 



 +

= +

= ℜ γr r

Exercice 2 1.

( ) ( )

dt k dz /

dt e e d

dt d /

dt k z e d / dt

OM / d

M

v r r

r r r

r +

+ ℜ ℜ =

= +

= ℜ

ℜ ρ ^ρ ρ _ρ ρ ^ρ

⇒ ^vr

(

^{M /ℜ}

)

⁼ 2^a₀^terρ ⁺

(

^a₀^{t2 +} ρ₀

)

ω^erϕ ^−vkr

⇒

( ) ( ) ( (

2 0

) )

^{2 2}

0 2

2a0t a t v

/ M

v^r ℜ = + + ρ ω +

( ) ( )

ρ ω ϕ ω ϕ

(

ρ

)

ω ρ

γ a e a te a te a t e

/ dt

/ M v / d

M ^{r r r r}

r r ₂

0 2 0 0

0

0 2 2

2 + + − +

ℜ =

= ℜ ℜ

⇒ γ^r

(

M /ℜ

)

=

[

2a₀ −

(

a₀t² + ρ₀

)

ω²

]

e^rρ + 4a₀ωte^rϕ

⇒

γr

(

M /ℜ

)

=

[

2a₀ −

(

a₀t² + ρ₀

)

ω²

]

² +

(

4a₀ωt

)

²

2.

Norme du vecteur vitesse de M à l’instant t = 1 s.

(

M /

) (

a

) ( (

a

) )

v . m/s v^r ℜ = 2 ₀ ² + ₀ + ρ₀ω ² + ² = 663 3.

Norme du vecteur accélération de M à l’instant initial (t = 0 s).

(

M /ℜ

)

=

(

2a0 − ρ0ω²

)

² =7ms⁻² γ^r

Exercice 3 1.

Accélérations tangentielle

: ( )

τ τ

γ ^{r &&r}

r

r s

dt / M v d

t ℜ =

= dt a

s s = d =

2 2

&

& ⇒ γ^r_t = aτ^r

Accélération normale :

( )

R n / M v

c n

r r

r ℜ ²

γ =

Le point M décrit un cercle de rayon R ⇒ Le rayon de courbure est R_c = R

( )

^&τ^v

rM / s

v ℜ = ⇒

( )

R n b n at

R s

n

r

& r

r = ² = + ²

γ

⇒ ( )

R n b at

n

r = + ² r

γ 2.

Module de l’accélération de M :

(

M /

)

γt γn

γ^r ℜ = ^r + ^r (ℜ est le référentiel dans lequel M décrit le cercle)

⇒ γ^r

(

M /ℜ

)

² = γ^r_t ² + γ^r_n ²

⇒

( ) ( )

2 4 2 2

R b a at

/

M ℜ = + ⁺

γ^r

⇒

( ) ( )

²¹

2 4

2 









 + +

= ℜ

R b a at

/ γrM

Exercice 4 1.

La trajectoire de M est une cardioïde. Elle admet l’axe (Ox) comme un axe de symétrie.

Elle coupe cet axe en O

(

ρ = 0,ϕ =π

)

et en A

(

ρ = ρ₀,ϕ = ⁰

)

. Elle rencontre l’axe (Oy) en



 



 = =

2 2

0 π

ρ ϕ

ρ ,

C et en 

 



 = = −

′ 2 2

0 π

ρ ϕ

ρ ,

C .

B

A O

y

x

C′ C

3 π

2 ρ0

2 ρ0

ρ0

2.

En coordonnées polaires : dOM dρer_ρ ρdϕer_ϕ +

=

En coordonnées curvilignes : τr ds OM

d =

⇒

( )

ds² =

( )

dρ ² +

(

ρdϕ

)

² ⇒ ds =

( )

dρ ² +

(

ρdϕ

)

²

( )

(

ϕ

)

ρ = ρ 1+cos 2

0 ⇒ ρ

( )

ϕ ϕ

ρ sin d

d 2

− 0

= ⇒ ⁰

( )

^{2 0}

(

¹

( ) )

²

2

2 

 



 +

 +



 



−

= ρ ϕ ϕ

ϕ ρ ϕ

d cos d

sin ds

⇒ ρ ϕ

( ( )

ϕ

)

cos d

ds = 21+ 2

0 ⇒ ϕ ϕ

ρ cos d

ds 



 



= 

0 2 ⇒ ^{s =}

∫

^ρ0cos_^ϕ₂^_^dϕ

⇒ _{0 0}

2 sin 2 s

s +



 



= ϕ

ρ

L’abscisse curviligne s de M est comptée à partir du point A, c-à-d s = 0 en A.

⇒ s = 0 si ϕ = 0 ⇒ s

(

ϕ =0

)

=2ρ₀sin

( )

0 + s₀ =0 ⇒ s₀ =0

⇒ 



 



= 

2 ₀ ϕ2 ρ sin s

Si s = ρ₀ ⇒ 



 



=  2 ₀ 2

0

ρ ϕ

ρ sin ⇒

2 1 2 =



 



ϕ

sin ⇒

3 ϕ = π

⇒ ⁰ ₀

4 3 1 3

2

3 ρ π ρ

ρ π =





 



 

 + 

 =



 



 cos ⇒ 



 





3 4 3

0

ρ ,π B 3.

Le demi périmètre (demi longueur de la trajectoire) est la longueur de l’arc AO.

0 0 0

0

0 2

2 2 2

2

1 ϕ ρ

ρ ϕ ϕ

ρ

π π ϕ ϕ

 =



 



 



 



= 



 



= 

=

∫ ∫

=

=

sin d

cos ds

P

O

A

⇒ le périmètre de la trajectoire est P = 4ρ₀ 4.

( ) ( ) _{( ) ( ( ) )}

ϕ ρ

ρ ρ

ρ ρ ϕ ω

ϕ ρ ω

ρ ρ

ρ sin e cos e

/ dt

e e d

dt d / dt

e d / dt

OM / d

M

v r r r

r r

r = − + +

+ ℜ ℜ =

ℜ =

=

ℜ 1

2 2

0 0

⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )

_ρ

( )

_ϕ

ρ ϕ

ϕ ρ

ϕ ω ρ ρ ω

ϕ ρ

ω ρ ϕ

ω ρ ϕ

ϕ ρ ω

ϕ ρ ω

γ

e sin e

cos

e cos e

sin e

sin e

/ cos dt

/ M v / d

M

r r

r r

r r r

r

2 0 2

0 0

2 0

2 0

2 0 2

0

2

2 1 2

2 2

 −



 



 +

−

=

+

−

−

−

− ℜ =

= ℜ ℜ

5.

( ) ( ) ( ( ) )





 



= 



 



 +

 +



 



= 

ℜ 1 2

2

2 ⁰

2 0

2

0 ρ ϕ ω ρ ω ϕ

ϕ ρ ω

cos cos

sin /

M vr

( ) ( ) ( ( ) )





 

 + 

=

 +















 



 +

=

ℜ 1 8 2

2 2

2 2

2 0 2

0 2 2 0 0

ω ϕ ϕ ρ

ω ρ ρ ω

ϕ ρ

γrM / cos sin cos

On exprime vr

(

M/ℜ

)

et γ^r

(

M/ℜ

)

en fonction de ρ :

( )

( )

0 2

0 0

2 1 2

2 ρ

ρ ϕ

ρ ϕ ρ ρ ϕ

ρ  =



 



⇒ 



 



= 

⇒ +

= cos cos cos

⇒ vr

(

M /ℜ

)

=ω ρ₀ρ

,

( )

ω ρ ρ ρ

γ ² ₀² 8 ₀

2 +

= ℜ / rM 6.

Rayon de courbure Rc de la trajectoire

: ( ) (

ℜ

)

∧

(

ℜ

)

= ℜ

/ M /

M v

/ M R_c v

γ^r r

r 3

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )

z

z z

e cos

e cos

cos e

sin /

M /

M v

r

r r r

r



 



= 











 +

+ +

= ℜ

∧ ℜ

2 2

3

1 2 2 2

2 3 2

2 0 2

0 0

2 3 2

0 0

ω ϕ ρ

ω ϕ ρ

ω ρ ω ϕ

ϕ ρ ω

γ ρ

⇒

( ) ( )





 



=  ℜ

∧

ℜ 2 2

3 _{2 3 2}

0

ω ϕ ρ

γ M / cos

/ M

vr r



 



= 

⇒



 











 



 





= 3 2

2 2

2 3

2

0 2

3 2

3 0

0

ρ ϕ ω ϕ

ρ ω ϕ ρ

cos R

cos cos

R_{c c}

7.

Les vecteurs de la base de Frenet (τ^r,n^r,b^r) :

-

( )

( )

^{ϕ ρ ϕ ϕ}

τ sin e cos e

/ M v

/ M

v r r

r r r



 

 + 



 



−  ℜ =

= ℜ

2 2

- le mouvement de M se fait dans le plan (xoy) ⇒ τ^r et nr

∈ (xoy).

⇒ k^r ⊥τ^r et kr nr

⊥ ⇒ br kr

=

- n^r = b^r∧τ^v = k^r ∧τ^v ⇒ ϕ _ρ ϕ _ϕ e sin e cos

nr r r



 



− 



 



− 

= 2 2

A chaque instant t, le point M appartient à un cercle de rayon R_c = R_c

( )

ϕ et de centre C tel que MC R_cnr

= 8.

Accélérations tangentielle

: ( )

τ τ

γ ^{r &&r}

r

r s

dt / M v d

t ℜ =

=



 



= 

2ρ₀ sin 2ϕ

s ⇒ 



 



− 

=

= 2 2

2 0 2

2 ρ ω ϕ

dt sin s

s&& d ⇒ ρ ω ϕ τ

γ^r ^r



 



− 

= 2 2

2

0 sin

t

Accélération normale :

( )

R n n s R

/ M v

c c

n

& r r r

r ²

2

ℜ = γ =

O y

x erϕ

erρ

τ^r

nr ϕ

ρ

•

erz b kr r



 



= 

0 2 ω ϕ ρ cos

s& ⇒ n

cos cos

n

r r



 











 



 





=

2 3

2

2

0

2 0

ρ ϕ ω ϕ ρ

γ

⇒

r_n cos nr



 



= 

2 2

3 2

0

ω ϕ ρ γ

On vérifie que γr

(

M /

)

γrt γrn

+

=

ℜ ?

n cos

n sin

t

r r r

r 



 

 + 



 



− 

=

+ 2 2

3 2 2

2 0 2

0 ϕ

ω ρ ϕ τ

ω γ ρ

γ

⇒

( )

_ρ

( )

_ϕ

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕ ω ρ ρ ω

ϕ ρ

ϕ ϕ

ω ϕ ϕ ρ

ϕ ω ϕ

γ ρ γ

e sin e

cos

e sin e cos cos

e cos e

sin

n sin

t

r r

r r

r r r

r

2 0 2

0 0

2 0 2

0

2

2 2

2 2

3 2

2 2

2

 −



 



 +

−

=







 



 



− 



 



− 



 

 + 







 



 

 + 



 



− 



 



− 

= +

⇒γr

(

M /

)

γr_t γr_n +

= ℜ 9.

Application numérique (ρ0=50cm, ω=3.2rad/s ) : - En A :

(

M /

)

. m/s

vr ℜ = ρ₀ω =16

( )

₀ ² 75 ²

2

3 . m/s

/

M ℜ = ρ ω = γr

m .

R_c 0 33

3 2

0 =

= ρ - En B :

(

M /

)

. m/s

v 138

2 3

0 =

=

ℜ ρ ω

r

( )

0 ² 66 ²

2

7 . m/s

/

M ℜ = ρ ω =

γr

m .

R_c 029

3 3

0 =

= ρ

Exercice 5

Le vecteur position de la bille dans le référentiel ^ℜ

(

^O,ir,jr,kr

)

^{est :}

k z

OM r

= (x = y =0)

La bille est en chute libre sans vitesse initiale dans ^ℜ

(

^O,ir,jr,kr

)

avec une accélération k

gr

r = −

γ

⇒ g

dt z d

z = ²₂ = −

γ ⇒ ² _{0 0}

2

1gt v t z

z = − + +

A t =0, v₀ = 0, z₀ = h ⇒ z = − gt² +h 2

1 ⇒ OM gt h kr



 



− +

= ²

2 1 kr

ir′ k′r

ir γr

O O′

M

x

z z′

x′ h