Mécanique du point matériel

Mécanique du point matériel

Changements de référentiels

Référentiels non galiléens

Mécanique du point matériel

- A -

Cinématique

Changements de référentiels

Mécanique du point matériel

I – Relativité du référentiel :

Le mouvement d’un mobile diffère selon le référentiel d’étude (relativité du mouvement).

Problématique :

On connaît le mouvement d’un point matériel dans un référentiel (R).

Quelle est la nature de ce mouvement, étudié dans un référentiel (R’) en mouvement par rapport à (R) (trajectoire, vitesse et accélération) ?

Exemple :

Quelle est l’allure du mouvement de la Lune par rapport au Soleil ?

Mécanique du point matériel

1 - Notations utilisées :

y

x

z

z’

x’

y’

(R’) (R)

O

O’

u r

x

u r

y

u r

z

u r '

z

u r '

y

u r '

x M

OM

r r = r r ' = OM '

(R), O, ,

( u r

_x

, u r

_y

, u r

_z

)

z y

x

y u z u

u x OM

r

r r r r

+ +

=

=

R

R dt

v a d

dt a r v d

v 



 



= 

 =



 



= 

=

r r r r

r r

) ( )

( ;

(R’), O’, ,

( u r '

_x

, u r '

_y

, u r '

_z

)

z y

x

y u z u

u x M

O

r

r' ' ' r' ' r' ' r' +

+

=

=

' )

' ( '

) ' (

' ' '

' ; '

'

R R

R

R dt

v a d

dt a r v d

v 



 



= 

 =



 



= 

=

r r r r

r r

Mécanique du point matériel

2 - Relations entre v et v’ (composition des vitesses) :

M O OO

OM

r r = = ' + '

) ' , ' , '

( u r

_x

u r

_y

u r

_z

R R

R

R

dt

M O d dt

OO d

dt OM v d

v













 +













 =













=

= ' '

)

(r r

L’indice (R) signifie que la vitesse v est exprimée par rapport au référentiel (R), pour lequel les vecteurs de base sont constants, mais pas les vecteurs , qui varient au cours du temps. Ainsi :

) , ,

(ur_x ur_y ur_z

'

' ' '

R R

R

dt

M O v d

dt M O mais d

dt OM

v d













=

 ≠

























= r

r

Mécanique du point matériel

En effet, si on explicite :

(

_{x y z}

)

_R

R

u z u

y u

dt x d dt

M O

d

' ' r' ' r' ' r' +

+

 =













( )











 + +

+

 =























 + +

+ +

+

 =













dt u z d dt

u y d

dt u x d

dt v M O d

dt u z d

dt u y d

dt u x d

u z u

y u

dt x M O d

y z x

R

y z x

z y

x R

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

' ' '

' '

' '

' '

r r r r

r r r r

&

& r

& r

Finalement :

 





 



 + +

+ +

= dt

u z d

dt u y d

dt u x d

O v M

v M

v

^{x y}

'

^z

' ' ' '

' )

' ( )

( ' )

(

r r r r

r

r

Mécanique du point matériel

Interprétation :

 





 



 + +

+ +

= dt

u z d

dt u y d

dt u x d

O v M

v M

v

^{x y}

'

^z

' ' ' '

' )

' ( )

( ' )

(

r r r r

r r

Vitesse de M dans (R)

Vitesse de M

dans (R’) Vitesse d’entraînement

v

e

M v

M

v r r r

+

= ' ( ) )

(

Point coïncident : on appelle point coïncident le point P de (R’), immobile dans ce référentiel, qui coïncide à l’instant t avec le point matériel M.

La vitesse d’entraînement v_e est la vitesse du point coïncident dans (R).

(Loi de composition des vitesses)

Mécanique du point matériel

3 - Relations entre a et a’ (composition des accélérations) :

La formule de composition des accélérations dans le cas général est compliquée et hors programme.

Dans la suite, on se limitera à deux types de mouvements d’entraînement du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) :

* Un mouvement de translation

* Un mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Mécanique du point matériel

II – Référentiels en translation l’un par rapport à l’autre :

Un solide est animé d’un mouvement de translation si tous ses points possèdent à tout instant le même vecteur vitesse :

* Exemple de la main.

* Exemple de la grande roue (translation circulaire) et du référentiel géocentrique (transparent suivant)

Les vecteurs de base du référentiel (R’) gardent donc une direction constante ; par conséquent :

' 0

' r ' r r

r

 =



 



= 

 





 



= 

 

 





R z R

y R

x

dt u d dt

u d dt

u

d

Mécanique du point matériel

Référentiel géocentrique :

*** Origine : le centre d’inertie de la Terre

*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines « fixes »

(R

_K

)

(R

_G

)

« Etoiles fixes »

(R_G) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport à (R_K).

Mécanique du point matériel

Loi de composition des vitesses :

Loi de composition des accélérations :

) ' ( )

( ' )

(M v M v O

vr r r

+

=

) ' ( )

( ' )

(M a M a O

ar r r

+

=

La vitesse d’entraînement est égale à la vitesse de O’ dans (R).

C’est la vitesse de translation de (R’) par rapport à (R).

L’accélération d’entraînement est égale à l’accélération de O’ dans (R).

C’est l’accélération de translation de (R’) par rapport à (R).

Pour une translation uniforme : ar(M) ar'(M)

=

Mécanique du point matériel

III – Référentiels en rotation l’un par rapport à l’autre :

1 – Notations :

x

y z =z’

(R)

O

u r

x

u

r y

u r

z ^M

OM r

r =

y’

x’

u

r' y

u r '

x θ θθ θ H

z y

x

z y

x

u z u

y u

x

u z u

y u

x OM

r

r r

r

r r

r r

+ +

=

+ +

=

=

' ' '

'

(Rotation autour d’un axe fixe, noté Oz)

Trajectoire de M

Trajectoire du point coïncident

Mécanique du point matériel

On note :

u

x

u

x

et r u r

z

&

r

r ω θ ω ω

θ = ( , ' ) ; = =

est appelé vecteur vitesse angulaire de rotation du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R).

On peut rappeler que (voir cours de cinématique) :

x x

R y y

y R

x

u u

dt u u d

dt u u

d ' ' '

; '

' ' & r r

r r

& r r

ω θ

ω

θ   = − = −





 



= 

 =



 





ω ^r

2 – Loi de composition des vecteurs vitesse :

( )

dt u y d dt

u x d v u

z u

y u

dt x d dt

OM

v d

^{x y}

z R y

x R

' ' ' '

' '

' '

'

r r r

r r

r

r   = + + = + +





 





=

Mécanique du point matériel

D’où la loi de composition des vecteurs vitesse :

) ' '

' '

(

'

_{y x}

R

u y

u x

dt v OM

v r d r & r & r

θ θ − +

 =







 





=

Soit : Or :

) ' '

' '

( )

' ' '

'

(

_{x y z y x}

z

x u y u z u x u y u

u

OM & r r r r & r & r

r θ θ θ

ω ∧ = ∧ + + = −

Remarque :

OM v

avec v

v OM

v

v ^r = ^{r '} + ω ^r ∧ = ^{r '} + ^r

_e

^r

_e

= ω ^r ∧ HM

OM

v ^r

_e

= ω ^r ∧ = ω ^r ∧

La vitesse d’entraînement est la vitesse d’un point immobile de (R’) et qui a donc un

simple mouvement de rotation autour de l’axe (Oz) (cercle de centre H et de rayon HP, où P = M est le point coïncident, confondu avec M à l’instant t).

Mécanique du point matériel

dt A A d dt

A d

R R

r r r

r

∧

 +







 



= 

 





 



 ω

'

Remarque : (dérivation et changement de référentiel)

dt OM OM d

dt OM soit d

OM v

v

R R

∧

 +













 =













∧ +

= ^r

ω

^r

ω

^r

r

'

'

On peut généraliser cette formule au cas d’un vecteur quelconque :

A r

C’est cette relation qui va être utilisée pour déterminer la loi de composition des vecteurs accélération.

Mécanique du point matériel

( ) ^{2 '}

' OM OM v

dt a d

a r r r r r

r

r  + ∧



 



 ∧ + ∧ ∧

+

= ω ω ω ω

3 – Loi de composition des vecteurs accélération :

dt v v d dt

v a d

R R

r r r

r r

∧

 +



 



= 



 



= 

ω

'

En utilisant la relation précédente :

Puis :

( ^{v OM} ) ( ^{v OM} )

dt

a

^r =

d

^r'+

ω

^r ∧ _R' +

ω

^r ∧ ^r'+

ω

^r ∧

( ^OM )

dt v OM OM d

dt d dt

v a d

R R R

∧

∧ +

∧

 +













∧ +

 ∧



 

 +



 



=  ^r

ω

^r

ω

^r

ω

^{r r}

ω

^r

ω

^r

r ' '

' ' '

Soit :

Mécanique du point matériel

( ) ^{2 '}

' OM OM v

dt a d

a r r r r r

r

r  + ∧



 



 ∧ + ∧ ∧

+

= ω ω ω ω

Accélération de M dans (R)

Accélération de M dans (R’)

Accélération d’entraînement de M

(celle du point coïncident)

Accélération de Coriolis de M

c e a a

a

a r r r r + +

= '

L’accélération de Coriolis est nulle si le point M est au repos dans (R’).

Cette relation se généralise à un mouvement d’entraînement de (R’) par rapport à (R) quelconque.

Mécanique du point matériel

( ^OM )

a ^r

_e

= ω ^r ∧ ω ^r ∧

Cas d’une rotation uniforme (ωωωω = cste) :

( ^{b c} ) ^{a c b a b c}

a r r r r r r r r r ) . ( )

.

( −

=

∧

∧

Rappel mathématique :

OM OM

OM OM

a r

_e

= ( ω r . ) ω r − ( ω r . ω r ) = ( ω r . ) ω r − ω

²

Par conséquent :

Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz) :

ω r . OM = ω OH

D’où :

a

r_e = (

ω

.

OH

)

ω

r −

ω

²

OM

=

ω

² (

OH

−

OM

) =

ω

² (

OH

+

MO

) =

ω

²

MH

Finalement :

HM a

r_e = −

ω

²

On retrouve l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme.

Mécanique du point matériel

- B -

Dynamique

Référentiels non galiléens

Mécanique du point matériel

I – Les « pseudo » forces d’inertie :

1 – Exemple d’une voiture accélérée :

2 – Principe fondamental dans un référentiel non galiléen :

(R) est un référentiel galiléen et (R’) un référentiel en mouvement quelconque par rapport à (R).

Un point matériel M (m) est soumis à des forces (« réelles ») dont la résultante est nommée .

On note v et a la vitesse et l’accélération de M dans (R).

On note v’ et a’ la vitesse et l’accélération de M dans (R’).

On rappelle que, dans le cas général :

f r

c

e

a

a a

a r r r r + +

= ' v

e

v

v r r r +

= '

Mécanique du point matériel

Le PFD appliqué dans le référentiel galiléen (R) donne : En utilisant la composition des accélérations :

On pose :

f a

m r r

=

) (

) (

' )

'

( a a

_e

a

_c

f soit m a f m a

_e

m a

_c

m r r r r r r r r

− +

− +

=

= +

+

e

ie

m a

f r r

−

=

c

ic

m a

f r r

−

=

« Pseudo » force d’inertie d’entraînement

« Pseudo » force d’inertie de Coriolis

Alors :

m a f f

_ie

f

_ic

r r

r r

+ +

= '

On peut ainsi appliquer un « pseudo » PFD dans un référentiel non galiléen, à condition de rajouter aux forces « réelles » les « pseudo » forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis.

Mécanique du point matériel

3 – Le mouvement d’entraînement est une translation :

C’est le cas par exemple d’une voiture qui accélère en ligne droite.

Alors :

Dans le référentiel de la voiture, le « pseudo » PFD devient :

Si la résultante des forces est nulle :

Si la voiture freine : le passager est projeté vers le pare-brise.

Si la voiture accélère : le passager est collé au siège.

route voiture

a m f

a

m

r' r r _/

−

=

/

0

r r r

r

_e

= a

_{voiture route}

et a

_c

= a

route voiture

a

a

r' r _/

−

=

Mécanique du point matériel

4 – Le mouvement d’entraînement est une rotation autour d’un axe fixe :

x

y z =z’

(R)

O

u r

x

u

r y

u r

z

M

OM r

r =

y’

x’

u

r' y

u r '

x θ θθ θ

H

( ) ^



 



 ∧ + ∧ ∧

−

= OM OM

dt m d

f ^r

_ie

ω ^r ω ^r ω ^r

'

2 m v

f r

_ic

r r

∧

−

= ω

Pour un mouvement de rotation uniforme :

C’est la force centrifuge !

HM m

f

_ie

= + ω

²

r

Mécanique du point matériel

II – Exemples d’applications :

1 – Ascenseur et poids apparent :

) (

0

' R m g m a

_e

a

m r r r r r

− + +

=

=

O z

u

y

g g r r

−

=

u r

y

Pèse personne Ascenseur

y e

e

a u

a r r

=

R r

g m r

L’équilibre « relatif », dans le référentiel de l’ascenseur s’écrit :

Soit, en introduisant la notion de « poids apparent

», P_app :

y e

e app

app

u a

g m a

g m P

R P

r r

r r

r r

) (

)

( − = − +

=

−

=

Remarque : g est en valeur absolue (g > 0) alors que a_e est en valeur algébrique (> ou < 0).

Mécanique du point matériel

II – Exemples d’applications :

2 – Ressort sur un plateau de manège tournant : Notations :

ω ^r

T r

f

ie

r

O

x

x’

y’

y z

g m r

R r

M

La vitesse de rotation est constante.

A t = 0, la longueur du ressort est .

Le point M se déplace sans frottement sur l’axe (Ox’). A t = 0, (Ox’) était confondu avec (Ox) et M était immobile par rapport au manège, avec x’ = L.

Etudier, selon les valeurs de ωωωω et k (constante du ressort) la nature du mouvement du point M.

l

0

(R) : réf terrestre galiléen ; (R’) : réf lié au plateau (non galiléen)

Mécanique du point matériel

ω ^r

T r

f

ie

r

O

x x’

y’

y z

g m r

R r

) 0 '

: (

' '

' ' 2

' 2

' '

' ) '

(

' ' '

; '

' '

'

2 0

= +

=

−

=

∧

−

=

=

−

=

−

−

=

=

=

+ +

+ +

=

x z

z y

y

y ic

x ie

z

x

x x

ic ie

R frottement de

Pas

u R u

R R

u x m v

m f

u x m

f

u mg g

m

u x

k T

u x v

u x a

f f

T g

m R

a m

r r r

& r r r

r r r

r r

l r r

& r r

& r

&

r

r r r

r r r

ω ω

M

ω

y

R mg

R x m

x m

x k x

m

+

−

=

+

−

=

+

−

−

=

0

' ' 2

0

' )

' (

'

₀ ²

&

& l

&

ω

ω

f

ic

r

Mécanique du point matériel

mg R

x m

R '

_y

= 2 ω & ' ≠ 0 ! ;

_z

=

Equation du mouvement : On pose :

Alors :

0 2

) '

(

' l

&

& x k m x k

m + − ω =

m

= k

ω

0 (Pulsation propre du système masse-ressort)

0 2 0 2

2

0

) '

(

' l

&

& x + ω − ω x = ω

2 0 0 2

2 2 0

0 2

2 0 0 2

2 0 0

2 0 2

0 2 2 0

2 0 2 0

2 0

2 0 0

) (

' :

cos )

( ' :

l l

l l

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω

+ −

 

 



 −

− −

=

<

+ −

 

 



 −

− −

=

>

t ch

L x

Si

t L

x Si

Réaction du plateau :

Mécanique du point matériel

II – Exemples d’applications :

3 – Tige tournant à vitesse angulaire constante :

f

ie

r

x

y z

(R)

O

u r

z

M

g m

r

y’

x’

u

rr

α α α α H

Tige

ω ^r

θ = θ = θ = θ = ωωωωt

(R’)

R

r La tige est dans le plan (Ox’z).

Dans le référentiel (R’) lié à la tige :

On projette sur l’axe de la tige :

) (

2

2

r z

r

u r m

HM m

R u

mg u

r m

& r r

r r

& r

&

∧

− +

+

−

=

ω ω

r m

mg r

m && = − cos

α

+ (

ω

² sin ²

α

)

α α

ω

^{sin ) cos}

( ² r g

r& − = −

&

f

ic

r

Mécanique du point matériel

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :

2 )

sin ( )

sin (

) sin (

cos

α ω

α

α

ω α

ω g

Be Ae

r = ^t + ^{− t} +

Compte tenu des CI :

3 cas sont à considérer :

( )

₂

0 2

) sin (

sin cos )

sin (

cos

α ω

α α α ω

ω

α

g

t g ch

r

r  +









 −

=

. '

: ) sin (

cos

. 0 :

) sin (

cos

. :

) sin (

cos

0 2 0 2 0 2

M de instable

équilibre d

position r g

en tombe g M

r

tige la

de long le

grimpe g M

r

α ω

α α ω

α α ω

α

=

<

>

Mécanique du point matériel

Résolution par la conservation de l’énergie mécanique

Définition de l’énergie potentielle centrifuge : la force d’inertie centrifuge s’écrit :

Elle dérive de l’énergie potentielle centrifuge telle que (en coordonnées cylindriques) :

Par conséquent (à une constante près) :

2 2

, 2

1 m

ω ρ

E _{p ie} = −

ρ

ρ

ω

ω

HM m u

m

fr_ie r

2

2 =

=

ρ

ρ

ω ρ

ρ

^{u m u}

d

fr_ie dE ^{p ie} r r

, 2

=

−

=

Mécanique du point matériel

La force de Coriolis, perpendiculaire à la vitesse (donc au déplacement) ne travaille pas.

La masse m constitue donc, dans (R’), un système conservatif dont l’énergie mécanique, constante, s’écrit :

Par dérivation temporelle :

Soit :

On retrouve l’équation différentielle obtenue en utilisant le pseudo-PFD dans (R’).

2 2

2 ( sin )

2 cos 1

2

1 mr mgr

α

m

ω

r

α

E_m = & + −

0 )

sin (

cos − ² =

+

= mrr mg r m rr

dt dE _m

&

&

&

&

&

α ω α

α α

ω

α ω

α

cos )

sin (

0 )

sin (

cos

2

2

g r

r

r g

r

−

=

−

=

− +

&

&

&

&

Mécanique du point matériel

- C -

Dynamique

Caractère galiléen approché de quelques référentiels d’utilisation

courante

Mécanique du point matériel

I – Le référentiel terrestre :

1 – Définitions et notations :

Ω r

x

y z

O

C N

(E) H

λ λ λ λ

O : Paris

Ox : dirigé vers l’Est et tangent au parallèle du lieu.

Oy : dirigé vers le Nord et tangent au méridien du lieu.

Oz : dirigé selon le rayon terrestre CO et dirigé vers l’extérieur de la Terre.

λ λλ

λ : latitude du lieu,

Ω: vitesse angulaire de la Terre autour de l’axe NS :



 



−

∈ , 2 2

π π

) sin

(cos ur_y ur_z r

λ λ +

Ω

= Ω

1

5 .

10 . 3 ,

7 ^{− −}

≈

Ω rad s

Mécanique du point matériel

I – Le référentiel terrestre :

2- Le poids d’un corps :

Ω r

2

HO Ω

g r

0

g r

C H O

λ λ λ λ

α α α α

Immobilité relative d’une personne située sur un pèse –personne en O :

2

0

2

r r r

= +

Ω +

− u m HO R

R

G mM

_z

T T

Comme dans l’exemple de l’ascenseur, on définit :

HO m

u R

G mM P

R P

P

z T

T app

2

2 + Ω

−

=

−

=

= r r

r r

r

En posant , il vient :

P

r

m g

r

=

HO g

HO u

R G M

g

^T _z ² ₀ ²

2 + Ω = + Ω

−

= r r

r

Mécanique du point matériel

g est appelée accélération de la pesanteur et comprend deux termes :

* le terme gravitationnel g₀ (prépondérant)

* le terme centrifuge ΩΩΩΩ²OH (faible)

La direction du fil à plomb (la verticale du lieu, donnée par la direction du poids mg) n’est pas confondue avec le rayon terrestre CO (écart d’un angle αααα).

Quelques valeurs numériques :

Pôles T

T

m s g

R

g

=

GM

= ⁻² =

0 2 9,81 .

) '

( .

10 . 4 , 3 )

(Ω ²

HO

_max = Ω ²

R

_T ≈ ⁻²

m s

⁻²

à l équateur

% 34 , 0 10

. 4 ,

3 ³

0

0 − ≈ ₋ =

g g

g

_équateur

Mécanique du point matériel

Evaluation de l’angle d’inclinaison αααα :

Ω r

2

HO Ω

g r

0

g r

C H O

λ λ λ λ

α α α α

HO g

λ α ^sin sin

2

=

Ω

g HO sin

2

sin = λ Ω

α

λ α

α ; ; cos

sin ≈ g ≈ g

₀

HO = R

_T

λ λ λ

α ^{sin 2}

cos 2 sin

0 2 2

0

g

R R g

T T

= Ω Ω

≈

AN :

Quelle devrait la vitesse de rotation de la Terre pour être en état d’apesanteur ?

) 45 (

1 , 0 0017

,

max

≈ 0 = ° λ = °

α rad Pour

2

HO

Ω

Mécanique du point matériel

I – Le référentiel terrestre :

3 – Effets de la force de Coriolis :

* Déplacements parallèles au sol : un mobile se déplace selon un méridien ou un parallèle.

La force de Coriolis est toujours dirigée vers la droite dans le sens du mouvement (dans l’hémisphère Nord) et vers la gauche dans le sens du mouvement (dans

l’hémisphère Sud).

On le montre à partir de la définition de la force de Coriolis :

Dans l’hémisphère Nord :

* La rive droite des fleuves est souvent plus érodée que la rive gauche

* Les rails de chemin de fer sont davantage usés à droite.

'

2 m v

f r

_ic

r r

∧ Ω

−

=

Mécanique du point matériel

* Enroulement des dépressions et des anticyclones :

Basse

pression Haute

pression

Dans l’hémisphère Nord

Animation Cabri

Mécanique du point matériel

Exercice : (deux trains qui se croisent)

Deux trains identiques, de masse m = 10 t (et assimilés à des points matériels), animés d'un mouvement uniforme (de vitesse égale à v = 144 km.h^-1) le long d'un parallèle (situé à la latitude λλλλ = 45°), se croisent.

Calculer la différence des forces de réaction sur les rails du train qui se dirige vers l'Est et de celui qui se dirige vers l'Ouest.

Mécanique du point matériel

Chute libre verticale : un mobile se trouve à l’instant t = 0 sur l’axe (Oz) à une hauteur h. On le lâche sans vitesse initiale (pas de frottements).

Dans l’hypothèse où le référentiel terrestre est galiléen, la chute libre est verticale et on peut écrire :

La prise en compte de la force de Coriolis entraîne une légère déviation vers l’Est (force dirigée selon les x > 0) :

Ordre de grandeur de la déviation observée :

h t

g z

t g

v

_z

= −

₀

= −

₀ ²

+ 2

; 1

z z z

y z

z

ie

m v u m u u v u

f r r r r r r

∧ +

Ω

−

=

∧ Ω

−

= 2 2 (cos λ sin λ )

x x

z

ie

mv u mg t u

f r r r

) cos 2

( cos

2 Ω λ =

₀

Ω λ

−

=

cm x

alors m

h = 100 ;

λ

= 45 ° = 1,5

Mécanique du point matériel

*** Origine : le centre d’inertie de la Terre

*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines « fixes »

(R

_K

)

(R

_G

)

« Etoiles fixes »

(R_G) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport au référentiel de Kepler (R_K). La période est de 365,25 jours (année sidérale).

(R_G) n’est pas, en toute rigueur, galiléen.

II – Le référentiel géocentrique :

1 – Définitions et notations :

T S

Mécanique du point matériel

II – Le référentiel géocentrique :

2 – Accélération d’entraînement de (R_G) par rapport à (R_K) : Le théorème du centre d’inertie, appliqué à la Terre, donne :

a_T représente l’accélération d’entraînement du référentiel (R_G) dans son mouvement de translation quasi circulaire autour de (R_K).

LT TL

ST GM TS

a GM

TL LT M ST GM

TS M a GM

M

S L T

L T S

T T

T

3 3

3 3

−

−

=

−

−

= r r

Mécanique du point matériel

II – Le référentiel géocentrique :

3 – Le champ des marées :

On considère un point matériel M (m). L’étude de son mouvement est faîte dans (R_G), considéré comme non galiléen (M peut être une particule d’eau d’un océan, par exemple).

M est soumis aux forces suivantes :

• Les forces gravitationnelles exercées par la Terre, le Soleil, la Lune (éventuellement les autres planètes …).

• Des forces appliquées F (électriques, magnétiques, réaction, …)

• La force d’inertie d’entraînement, f_ie = - ma_T (la force de Coriolis est nulle car (R_G) est en translation par rapport à (R_K)).

Mécanique du point matériel

Le PFD appliqué dans (R_G) donne :

T S

L

T

SM F m a

MS LM GmM

ML TM GmM

TM M GmM

a

m

r r r

−

 +



 



− −

+

−

= 3 3 3

) (

En remplaçant a_T par son expression précédente :



 



− −

−

 +



 



− −

+

−

=

ST TS

LT GM TL

m GM

F SM

MS LM GmM

ML TM GmM

TM M GmM

a m

S L

L S T

3 3

3 3

) 3

( r r

F ST

TS SM GM

MS m GM

LT TL

LM GM ML

m GM TM

TM a GmM

m ^{T L L S S}

r r

 +



 



 − +

 +



 



 − +

+

−

= 3 3 3 3 3

Mécanique du point matériel

Champ gravitationnel terrestre au point M

3 3 3 3 3

S S

T L L

GM GM

GmM GM GM

ma TM m LM LT m SM ST F

TM ML TL MS TS

 

 

= − +  − +  +  − +  +

   

uuur uuuur uuur uuur uuur r

r

Différence des champs gravitationnels (dus à la Lune) aux points M

et T (centre de la Terre).

Différence des champs gravitationnels (dus au Soleil) aux points M et T

(centre de la Terre).

Autres forces

Mécanique du point matériel

ϕϕ

ϕϕ_{L et} ϕϕϕϕ_S sont appelés « champs des marées ».

Ce sont des termes différentiels qui, lorsqu’ils sont négligés, conduisent à considérer le référentiel géocentrique comme étant galiléen.

Nous allons voir que ces champs permettent d’expliquer qualitativement le phénomène des marées océaniques.

) ( )

(

) ( )

(

3 3

3 3

T G M

G TS ST

SM GM MS

GM

T G M

G LT

TL LM GM

ML GM

S S

S S

S

L L

L L

L

r r r

r r r

−

 =



 



 − +

=

−

 =



 



 − +

=

ϕ

ϕ

Mécanique du point matériel

II – Le référentiel géocentrique :

4 – Les marées océaniques :

Hypothèses (théorie statique des marées) :

• Pas de rotation propre de la Terre.

• La Terre serait, en l’absence de phénomène des marées, recouverte uniformément d’eau au repos dans (R_G).

• On prend en compte l’effet de la Lune et du Soleil (« champs des marées »).

On considère tout d’abord l’influence de la Lune.

Mécanique du point matériel

T L

B A

TL R_T

) ( A ϕ ^r

L

) ( B ϕ ^r

L

0 7 3

3

2

0

1 , 1 . 10

2 )

( )

( g

TL R M

g M R

TL GM M

B

A

_{L T} ^L _T ^{L T}

L

=

−

 

 



= 

=

= ϕ ϕ

Terre

Lune

Mécanique du point matériel

0 8 3

3

2

0

5 , 1 . 10

2 )

( )

( g

TS R M

g M R

TS GM M

B

A

^T

T S T

S T

S S

=

−

 

 



= 

=

= ϕ ϕ

Le champ des marées dû au Soleil vaut, aux mêmes points A et B :

On constate que :

Les contributions de la Lune et du Soleil sont du même ordre de grandeur.

2 , ) 2

( )

( =

A A

S L

ϕ ϕ

Prendre en compte de la rotation propre de la Terre et d’autres choses plus compliquées !