Mécanique du point matériel

Mécanique du point matériel

Théorème du moment

cinétique

Mécanique du point matériel

I - Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point :

Soit un point matériel M(m), dans un référentiel galiléen (R), de rayon vecteur

et de vitesse ; O est l’origine du repère (Oxyz). Soit A un point quelconque, a priori mobile dans (R).

OM r r =

v r

M

O ^y

z

u r

u r

u r

r r

v r

Le moment cinétique du point M, par rapport au point A et exprimé dans (R), est :

v m

A

AM

r

r = ∧

σ

Propriétés :

) , sin(

)

( AM AM v

A

mv

r

r =

σ

σ ^r

AM et v r

Mécanique du point matériel

Dans la suite, A sera confondu avec l’origine O du repère (et sera donc fixe dans (R)) :

v m BA

v m AM

BA v

m

BM

B

r r

r r

r = ∧ = + ∧ = σ + ∧

σ _{( )}

Le moment cinétique dépend du point par rapport auquel on l’évalue :

Si le mouvement de M est plan, on peut utiliser les coordonnées polaires :

z r

o

r m v r m r u r r & u r mr & u r

&

r r

r

r θ θ

σ = ∧ = ∧ ₍ +

₎ =

v m r

v m

O

OM

r r

r

r = ∧ = ∧

σ

) ( Avec u r

u r

u r

∧

=

Mécanique du point matériel

II - Théorème du moment cinétique :

Le point M est soumis à des forces de résultante . Evaluons la dérivée temporelle du moment cinétique de M par rapport à O :

dt v m d r

v dt m

r v d

m dt r

d dt

d

r

r r r

r r r

∧ +

∧

=

∧

= ( )

σ

f r

O f

O

r f OM f

dt d

/ r

r r r r

r

Μ

=

∧

=

∧ σ =

f v r r

Enoncé du théorème du moment cinétique : « La dérivée du moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point fixe O d’un référentiel galiléen (R) est égale au moment par rapport à ce même point O des forces qui s’appliquent sur lui. »

Mécanique du point matériel

Interprétation du moment des forces par rapport à O :

f

O

OM

f

r r

r

= ∧

Μ

O

O f / r

r Μ

f r OM

r r = δ δ

δ δ

α α α α

δ α _r

O

rf

f

= =

Μ sin

/ r

r

δ δδ

δ est appelé « bras de levier » de la force . C’est la distance entre la droite d’action de la force et le point O.

f r

Le théorème du moment cinétique fournit, pour une masse ponctuelle, une autre méthode pour obtenir des résultats accessibles par le PFD.

Mécanique du point matériel

III - Un 1

exemple de résolution ; étude du pendule simple

1 - En l’absence de frottements :

M (m)

T r l

θ ^θ

θ _u

v r l &

=

O

u r z

u r

u r θ

g m r

) //

( )

( T m g OM m g car T OM

dt OM

d r

r r r r

∧

= +

∧ σ =

z O

z

O

m u

dt u d

m l & & r

r r

&

r l

σ θ θ

σ =

_; =

z

r r

u mg

g m OM

u u

mg u

g m OM

l r r

r r

l r r

θ

θ

θ

sin

) sin

(cos

−

=

∧

−

∧

=

∧

Par conséquent :

0 sin

2

θ = − sin θ θ + θ =

l

&

&

l r

& r

&

l g

soit u

mg u

m

Mécanique du point matériel

III - Un 1

exemple de résolution ; étude du pendule simple

2 - En présence de frottements fluides :

z

r

hm u hm u

u v

hm

OM r

r l

&

r l

r l

) (

)

( − = ∧ − = −

∧ θ

Il faut prendre en compte le moment de la force de frottements fluides par rapport à O :

z z

z

mg u hm u

u

m r

r l r l

&

&

l

θ = − sin θ −

Le théorème du moment cinétique donne alors :

Soit l’expression canonique traditionnelle :

0 sin

2

sin = +

+

=

+

+ θ θ θ σω θ ω θ

θ ^{& & &}

l

&

&

& g

h

Mécanique du point matériel

IV - Exercices

1 - Météorite : 2 - Un satellite :

) sin

( .

. 10

. 8 , 6 )

( )

( S mv S CS

kg m

s

OS CS

O

= =

α =

σ

1 3

1

3

. ; 36 . 10 .

10 . 9 , 5

) ( )

( )

( )

( )

(

:

−

−

=

=

=

=

=

=

h km v

h km v

S v

OP m P

v OA m A

cinétique moment

du on Conservati

P A

O P

O A

O

σ σ

σ

3 - Le toboggan :

0 cos =

− θ

θ r

& g

&

Equation différentielle du mouvement :

) sin (sin

2 θ θ

θ = −

= r gr

v &

Expression de la vitesse :

Vitesse maximale :

v ( θ = π / 2 ) = 2 gr ( 1 − sin θ ) = 6 m . s

= 21 , 7 km . h