2. Théorèmes généraux de la dynamique du point matériel 2.1. Théorème de la résultante cinétique

(1)

CHAPITRE IV : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL 1. Buts, postulats et limites de la mécanique classique

2. Théorèmes généraux de la dynamique du point matériel 2.1. Théorème de la résultante cinétique

2.2. Théorème de l’energie cinétique 2.3. Théorème du moment cinétique

2.4. Application au mouvement du pendule simple 3. Mouvement d’un point matériel libre pesant

3.1. Chute verticale et tir vertical dans le vide 3.2. Chute verticale et tir vertical dans l’air 3.3. Tir oblique dans le vide

3.4. Tir oblique dans l’air

5. Mouvement d’un point matériel lié 5.1. Point lié à une courbe polie 5.2. Point lié à une courbe dépolie

4. Mouvement rectiligne d’un point matériel – Oscillateurs linéaires

6. Mouvement relatif d’un point matériel

(2)

1. Buts, postulats et limites de la mécanique classique

mouvements forces

observations

1.1. Buts de la dynamique

prédictions

⇒

construction d’une théorie

⇒

Méthode :

postulats

cohérence ?

mécanique rationnelle

(3)

Exemple de domaine de recherche

Forces de surfaces [Nelson, Minnesota University]

(4)

Quelques projets en miniaturisation des composants

Actionneur à crémaillère [Devos, 2001]

Actionneur Stick-Slip [Thiébaut/Lemberger, 2002]

Guidage flexible linéaire: spider [Vandaele, 2003]

Guidage flexible circulaire: col [Chau, 2003]

Balance à cols flexibles [Gruselle, 2005]

Table de positionnement [Hocke, 2004]

www.elliptec.com [Hocke, 2004]

(5)

Quelques projets en microassemblage

Condensation capillaire [Chau, 2005]

Préhension capillaire [Lambert & MPS, 2005]

Préhension sans contact [Vandaele, 2005]

Modélisation des forces électrostatiques [Sausse-Lhernould, 2005]

(6)

Préhenseur capillaire

(7)

Quelques projets en biomécanique

Pompe à insuline [4M,2003]

Genouillère d’endoscope [Mertens & Sersté, 2003]

Outil de chirurgie hépatique [Cauche, Simon &Gebo Consult, 2003]

Clamp aortique [Simon & Cardio Life, 2004]

(8)

1.2. Postulats de la mécanique classique

9 Espace : homogène - isotrope - métrique euclidienne

9 Temps : scalaire - homogène - monotone croissant 9 Masse : scalaire - constante dans le temps≥ 0

1.2.1. Concepts fondamentaux

1.2.2. Postulat des conditions initiales

(Galilée, 1638) )

(P 9 F

C. I. :

9 







o

d 0

) (

d v

t t r

t₌ =

o

) 0

0

(t r(t) r

OP = = _t₌ =

) , ; (

OP =r t r_o v_o

⇒ 1! trajectoire :

(9)

1.2.3. Loi d’inertie

( = 1ère loi de Newton)

repos ou MRU

⇒

= 0 )

(P F

1.2.4. Loi du mouvement

( = 2ème loi de Newton, 1687)

)

d (

d mv F

t = où mv = “quantité de mouvement” de P

) , , (

mr&&= F r r& t

⇒ ( si m = c^te et avec le postulat des C.I. ) :

système des équations différentielles du mouvement )

, ; (

OP = r t r_o v_o

⇒ LA trajectoire :

correspondant aux C.I.(r_o,v_o)

(10)

) , , (r r t F

r

m &&= &

) , , , , , , (

t z y x z y x F z m

t z y x z y x F y m

t z y x z y x F x m

z y x

&

&&

&

&&

&

&&

=

⇒

) , , , , ,

; (

) , , , , ,

; (

) , , , , ,

; (

o o o o o o

z y x z y x t z z

z y x z y x t y y

z y x z y x t x x

&

=

⇒ avec les C.I. , :

o o o

) 0 (

z t

z

y t

y

x t

x

=

o o o

) 0 (

z t

z

y t

y

x t

x

&

=

équations paramétriques de LA trajectoire Par exemple :

(11)

1.2.5. Principe action - réaction

( = 3ème loi de Newton)

F

M

-F

N

1.2.6. Principe de superposition des forces

( = 4ème loi de Newton)

F₁ F₂

F₁+F₂

P

(12)

1.3. Référentiels galiléens 1.3.1. Définitions

{

^;⁽¹ ^,¹ ^,¹ ⁾^;

}

O _x _y _z t

⇔ = référentiel

y

9 trièdre ( = repère spatial) 9 chronologie

Référentielabsolu = référentiel galiléen = référentiel inertial y

= référentiel postulats vérifiés

Choix d’un référentiel (dans le contexte de l’étude d’un mouvement)

Critères :

simplicité cohérence

(13)

référentiel local avec temps sidéral

référentiel géocentrique avec temps sidéral

référentiel héliocentrique (trièdre de Copernic) avec temps sidéral

référentiel héliocentrique avec temps atomique

observations

prédictions

⇒

construction d’une théorie

postulats ⇒

cohérence ?

changements de référentiels :

⇒

etc…

Mais ∃ limites à la mécanique classique…

(14)

1.3.2. Changement de trièdre

Si

{

^O^;⁽¹_x^,¹_y^,¹_z ⁾^;^t

}

= référentiel absolu :

= référentiel absolu

{

^O^'^;⁽¹X ^,¹Y ^,¹Z ⁾^;^t

}

∀t

⇔ 0

' 0

=

ω

jO

⇔ O’XYZ en translation rectiligne uniforme

(15)

F j

m =

Oxyz étant supposé absolu

cor entr

rel

F m j m j

j

m = − −

O’XYZ étant considéré comme relatif

0 j

_O_'

=

Ceci doit être vrai pour P confondu avec O’

0 j

j

entr

+

cor

=

La loi de Newton s ’écrit de manière identique dans ces deux trièdres ssi

ou j

_O_'

+ ε × O ' P + ω × ( ω × O ' P ) + 2 ω × v

_rel

= 0

(16)

0 v

2 ) P ' O (

P '

O + × × + × _rel =

×

ω ω ω

ε







= +

−

= +

−

0 X

X

0 X

X

0 ) (

X

Z X Y

Y X Z

2 Z 2 Y

ω ω ε

ω ω

Z 0

Y =ω =

ω

⇒

En particulier pour P fixé dans O’XYZ sur l’axe O’X à une distance X de O’

Si on fixe P sur l’axe O’Y à une distance Y de O’

X

= 0

ω _⇒ _ω ₌ ₀

Il suffit que O’XYZ soit en translation rectiligne uniforme par rapport à Oxyz pour que

0 j

j

entr

+

cor

= car j

_entr

= j

_cor

= 0

(17)

1.3.3. Changement de chronologie

Si

{

^O^;⁽¹_x^,¹_y^,¹_z ⁾^;^t

}

= référentiel absolu et :^T ⁼ ^f ⁽^t⁾

= référentiel absolu

{

^O^;⁽¹x^,¹y^,¹z ⁾^;^T

}

⇔ T = a+bt ( horloges “reliées linéairement” )

(18)

) T ( f t =

Soit deux référentiels dont les deux horloges sont liées par la relation

t F d

r m d

₂

2

=

Dans le premier référentiel, la loi de Newton s’exprime par

T d

f d t d

r d T d

r

d = ⇒

2

2 2 2

2

T d

f d t d

r m d T

d f F d

T d

r

m d  +



 



=  Dans le second

bT a

t = +

F T b

d r

m d ₂ ²

2 =

Le deuxième terme du second membre est nul ssi

et

(19)

2. Théorèmes généraux de la dynamique du point matériel

2.1. Théorème de la résultante cinétique

y Définition = résultante cinétique de P

( = quantité de mouvementde P ! ) v

= m R

y Théorème F

t = d

dR ≡ 2ème loi de Newton !

Conséquences

9 Si m = c^te : mj = F

9 forme différentielle : d(mv) = F dt

(

^r ^t ^v ^t ^t

)

^t

F v

m v

m ) _t ( ) _t ^t ( ), ( ), d

( ⁻ ⁼⁰ ⁼

∫

0

9 forme intégrale :

(20)

2.2. Théorème de l’énergie cinétique

y Définitions

Conséquences

= énergie cinétique de P

2

2 1 mv T =

y Théorème Si m = c^te : = P t T d d

= puissance développée par F v

F .

= P

9 forme différentielle : mv ) F .dr 2

d(1 ² =

9 forme intégrale : mv mv F r t v t t r

P

P ( ( ), ( ), ) .d 2

1 2

1

o o2

2 ⁻ ⁼

∫

en particulier, si F dérive d’un potentiel V :

⇒

Eo

V

T + = E_o = énergie totale de P

= constante du mouvement intégrale première de l’énergie

(21)

2.3. Théorème du moment cinétique

y Définitions

Conséquence

y Théorème Si O = point fixe : ( )

d

d M F

t ^O

O = M

Si F = force centrale de centre O :

= moment cinétique de P par rapport à O v

m

O =OP× M

vecteur constant

O = M

intégrale première = loi des aires

(22)

θ

2.4. Application au mouvement du pendule simple

L

P(m)

C.I. : en t = 0

o o

θ θ

&

& =

=

) , ; (

?

θ

=

θ

t

θ

_o

θ

^&_o

1°) par th rés cin 2°) par th én cin 3°) par th mom cin

(23)

θ

&1θ

=mL

R F = mg +T

1°) Théorème de la résultante cinétique : F t = d dR

) , ; (

θ

=

θ

t

θ

_o

θ

^&_o

⇒

(numériquement !) 0

sin

+ =

⇒

θ θ

L

&& g O

L

P

θ

mv 1_θ

mg

θ

T P

2 o

2 2 cos o 2 cos

0

sin

θ θ θ θ θ

θ

l

g l

g L

g = ⇒ − = −

+ & &

&&

rem :

(24)

2

1 ₂ ₂

θ

^&

mL T =

) , ; (

θ

=

θ

t

θ

_o

θ

^&_o

⇒ (numériquement !)

O

L

P

θ

v

mg T

θ

cos mgL -

V = 2°) Théorème de l’énergie cinétique : T +V = E_o

) , ; (

θ

^&² =

θ

^&²

θ θ

_o

θ

^&_o

⇒

2 o

2 2 cos o 2 cos

θ θ θ θ

l g l

g = −

−

⇒ & &

discussion qualitative du mouvement (V ≤E_o )

(25)

θ

V(

θ

)

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

θ

1

θ

2

puits de potentiel barrière de potentiel

(oscillations périodiques)

2

θ

1 ≤

θ

≤

θ

⇒

(26)

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

θ

V(

θ

)

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

puits de potentiel ⇒ mouvement révolutif

N.B. hyp. : OP = tige et non câble pouvant se détendre…

(27)

θ

V(

θ

)

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

barrière de potentiel puits de potentiel

⇒ équilibre stable en

θ

=

θ

_o = 0

(28)

θ

V(

θ

)

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

_o

puits de potentiel ⇒ équilibre instable en

θ

=

θ

_o =

π

(29)

θ

V(

θ

)

θ

o

θ

V(

θ

)

E₀

θ

o

θ

V(

θ

)

E₀

puits de potentiel ⇒

θ

→ ±

π

∞ t→

(30)

) , ; (

θ

=

θ

t

θ

_o

θ

^&_o

⇒

(numériquement !) 0

sin

+ =

⇒

θ θ

L

&& g

3°) Théorème du moment cinétique : ( )

d

d M F

t ^O

O = M

O

L

P

θ

mv

mg T

z

O = mL²

θ

^& 1

M

z

O F mgL

M ( ) = − sinθ 1

(31)

N.B. Détermination des petits mouvements autour de la position d’équilibre stable :

t

t sin

cos

_o ^o

ω

ω ω θ

θ

= + ^&

⇒

o

arctg o

θ ϕ ωθ

&

= = déphasagedes oscillations

= période des oscillations g

T

π

L

ω

π

2

2 =

=

mouvement isochrone: T indépendant des C.I.

ou

θ

= Asin(

ω

t +

ϕ

) 0

sin =

+

θ

L

&& g

2 o2 o2

ω

θ

+

θ

^&

=

A = amplitude des oscillations

avec

0 + ² =

→

θ

^&&

ω θ

L

= g

ω

où

= pulsation des oscillations

= fréquence des oscillations T

= 1 NB. :

2. Théorèmes généraux de la dynamique du point matériel 2.1. Théorème de la résultante cinétique

CHAPITRE IV : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL 1. Buts, postulats et limites de la mécanique classique

2. Théorèmes généraux de la dynamique du point matériel 2.1. Théorème de la résultante cinétique

2.2. Théorème de l’energie cinétique 2.3. Théorème du moment cinétique

2.4. Application au mouvement du pendule simple 3. Mouvement d’un point matériel libre pesant

3.1. Chute verticale et tir vertical dans le vide 3.2. Chute verticale et tir vertical dans l’air 3.3. Tir oblique dans le vide

3.4. Tir oblique dans l’air

5. Mouvement d’un point matériel lié 5.1. Point lié à une courbe polie 5.2. Point lié à une courbe dépolie

4. Mouvement rectiligne d’un point matériel – Oscillateurs linéaires

6. Mouvement relatif d’un point matériel

1. Buts, postulats et limites de la mécanique classique

1.1. Buts de la dynamique

Méthode :

Exemple de domaine de recherche

Quelques projets en miniaturisation des composants

Quelques projets en microassemblage

Préhenseur capillaire

Quelques projets en biomécanique

1.2. Postulats de la mécanique classique

1.2.1. Concepts fondamentaux

1.2.2. Postulat des conditions initiales

1.2.3. Loi d’inertie

1.2.4. Loi du mouvement

1.2.5. Principe action - réaction

F

-F

1.2.6. Principe de superposition des forces

1.3. Référentiels galiléens 1.3.1. Définitions

{

}

1.3.2. Changement de trièdre

{

}

{

}

ω

F j

m =

Oxyz étant supposé absolu

F m j m j

j

m = − −

O’XYZ étant considéré comme relatif

0 j

=

Ceci doit être vrai pour P confondu avec O’

0 j

j

+

=

La loi de Newton s ’écrit de manière identique dans ces deux trièdres ssi

ou j

+ ε × O ' P + ω × ( ω × O ' P ) + 2 ω × v

= 0

ω ω ω

ε

En particulier pour P fixé dans O’XYZ sur l’axe O’X à une distance X de O’

Si on fixe P sur l’axe O’Y à une distance Y de O’

= 0

ω ⇒ ω = 0

Il suffit que O’XYZ soit en translation rectiligne uniforme par rapport à Oxyz pour que

0 j

j

+

= car j

= j

= 0

1.3.3. Changement de chronologie

{

}

{

}

) T ( f t =

Soit deux référentiels dont les deux horloges sont liées par la relation

t F d

r m d

=

Dans le premier référentiel, la loi de Newton s’exprime par

T d

f d t d

ω _⇒ _ω ₌ ₀