12 Théorème du moment cinétique
12.1 Avant-propos
Parmi les alternatives au principe fondamental de la dynamique, on a vu les approches énergétiques qui permettent d’étudier simplement les positions d’équilibre ou de déterminer rapidement l’expression d’une norme de vitesse. Il existe une autre approche, vectorielle à nouveau, qui s’adapte parfaitement aux mouvements de rotation autour d’un point ou d’un axe. C’est le théorème du moment cinétique.
12.2 Le mouvement de rotation
12.2.1 Moment cinétique d’un point matériel
Le principe fondamental de la dynamiquepermet d’établir le mouvement d’un point matériel à travers l’étude des variations instantanées de la quantité de mouvement.
Le théorème du moment cinétiqueprocède de manière analogue à partir d’une grandeur vectorielle qui sert de mesure de la rotation d’un point matériel autour d’un autre point : le moment cinétique.
Moment cinétique
On appelle moment cinétique du point matérielM, de masse m et de vitesse #”v, autour du point O, la grandeur vectorielle −→
LO, exprimée en joule (kg·m2·s−1), qui vérifie :
−
→LO=−−→
OM∧m#”v Remarque
– Cette grandeur dépend du point où elle est calculée, siO0 6=O alors−→ LO6=−→
LO0; – Cette grandeur est nulle si #”v et−−→
OM sont alignés, c’est-à-dire si le mouvement est rectiligne, et maximale si #”v ⊥−−→
OM; – L’axe du vecteur−→
LO donne l’axe de rotation du point matériel, et son signe celui du sens de rotation via la règle de la main droite ;
– Si le mouvement de rotation s’effectue autour d’un axe privilégié de vecteur unitaire #”e∆, comme la rotation d’une porte par exemple, on pourra avantageusement utiliser la projection du moment cinétique sur cette axe.
12. Théorème du moment cinétique 12.2. Le mouvement de rotation
Moment cinétique scalaire
On appellemoment cinétique scalaire du point matérielM, de massemet de vitesse #”v, autour de l’axe de vecteur unitaire #”e∆, la grandeur scalaireL∆, exprimée en joule (kg·m2·s−1), qui vérifie :
L∆=−→ LO·#”e∆
Le sens de rotation est donné par le signe deL∆via la règle de la main droite.
12.2.2 Moment des actions mécaniques
Si une force permet de dévier un vecteur vitesse et donc de créer une accélération, il nous faut construire la grandeur permettant de déterminer quelle « partie » d’une force donnée génère un mouve- ment de rotation autour d’un point.
Moment d’une force
On appelle moment d’une force #”
F appliquée au point matériel M, par rapport au point O, la grandeur vectorielle −→
MO(#”
F), exprimée en joule (N.m), qui vérifie :
−→ MO(#”
F) =−−→
OM∧#”
F
De la même façon que pour le moment cinétique, si l’action mécanique a tendance à générer un mouvement de rotation autour d’un axe privilégié, de vecteur unitaire #”e∆, on pourra avantageusement utiliser la projection du moment de la force sur cette axe.
Moment scalaire d’une force
On appelle moment scalaire d’une force #”
F appliquée au point matériel M, par rapport à un axe de vecteur unitaire #”e∆, la grandeur scalaire M∆(#”
F), exprimée en joule (N.m), qui vérifie : M∆(#”
F) =−→ MO·#”e∆
Le calcul de ce moment scalaire peut-être simplifié si on comprend bien la notion de bras de levier.
Bras de levier & moment scalaire d’une force
On appelle bras de levier d’une force F#”, la distancedqui sépare l’axe de rotation ∆ d’un système de la droite d’action de la force.
Le moment scalaire d’une force se déduit de :
M∆=±dF
où le signe ± se déduit du sens de rotation imposé par la force : positif si identique à celui du vecteur #”e∆, négatif dans le cas contraire.
• α J∆ O
•M
`
F#”
d
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12. Théorème du moment cinétique 12.3. Théorème du moment cinétique
Fig. 12.1 – Force, bras de levier en pointillés noirs, droite d’action de la force en tirets rouges Dans le schéma ci-dessus, le bras de levier se déduit des relations trigonométriques d=`cosα, et le signe est le signe −si l’axe ∆ est orienté vers le haut, + dans le cas contraire.
12.3 Théorème du moment cinétique
12.3.1 Rotation par rapport à un point O où par rapport à un axe ∆
La rotation par rapport à un point est le cadre le plus général de l’écriture du théorème du moment cinétique.
Théorème du moment cinétique
Les variations du moment cinétique d’un point matériel sont dues aux moments des actions mé- caniques qu’il subit. Dans un référentiel galiléen, où O est un point fixe, on peut écrire :
d−→ LO dt =X
i
−→ MO(#”
Fi)
Ce théorème n’apporte rien de nouveau par rapport au principe fondamental de la dynamique, et sa mise en œuvre est d’une difficulté comparable voire supérieure. Il est donc rarement employé tel quel, alors que sa version scalaire, par les simplifications qu’elle permet d’exploiter est plus intéressante.
Théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe
Les variations du moment cinétique scalaire d’un point matériel, par rapport à un axe ∆ de vecteur unitaire #”e∆sont dues aux moments scalaire des actions mécaniques qu’il subit. Dans un référentiel galiléen, où ∆ est un axe fixe, on peut écrire :
dL∆ dt =X
i
M∆(#”
Fi)
Exemple
Soit un point matériel M de massem placé au bout d’un fil inextensible de longueurL et attaché au plafond selon le schéma ci-dessous.
θ
• O
M L
#”er
#”eθ
m#”g
droited’action
`
Fig. 12.2– Pendule simple
On associe, à la base de projection cylindrique proposée, un référentiel galiléen, de sorte que le théorème du moment cinétiquesoit applicable. Le pointO est fixe, et le pendule est en mouvement de rotation par rapport à l’axe Oz.
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12. Théorème du moment cinétique 12.3. Théorème du moment cinétique
Son moment cinétique scalaire est : L∆=−−→
OM∧m#”v·#”ez =L#”er∧Lθ˙#”eθ·#”ez =mL2θ˙
Son bras de levier est ` =Lsinθ et le poids a tendance à faire tourner le point matériel dans le sens indirect. On en déduit :
M∆=−`mg=−Lsinθmg Le théorème du moment cinétiquescalaire s’écrit :
dL∆
dt =M∆(P#”) soit :
mL2θ¨=−Lsinθmg
La résolution de cette équation passe généralement par l’approximation des petits angles où sinθ' θ et on reconnaît alors un oscillateur harmonique d’équation :
θ¨+ g Lθ= 0
et de solution, pour un angle initial θ0 et une vitesse initiale nulle : θ(t) =θ0cos
rg Lt
12.3.2 Conservation du moment cinétique
Les résultantes de force permettant la conservation du moment cinétique confèrent au mouvement des corps qui les subissent des propriétés particulières.
Planéité du mouvement
Un point matériel soumis à une résultante de forces #”
F telle que le moment cinétique −→
LO =−−→
cste conserve un mouvement plan tout au long de sa trajectoire.
Le plan contenant sa trajectoire est celui passant par O et perpendiculaire à−→ LO.
Un exemple de tel mouvement est celui des satellites en orbite autour d’une planète. En négligeant l’attraction des planètes avoisinantes, la force exercée par une planète sur un de ses satellites est colinéaire à #”er et son moment de force est donc le vecteur nul. Ainsi d
−
→LO
dt = #”0 et le mouvement d’un satellite est donc plan. Il en est de même pour la constitution des systèmes stellaires, comme le présente cette vidéo : https://www.youtube.com/embed/tmNXKqeUtJM
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