1. Moment cinétique

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M. VI - DYNAMIQUE ; ROTATIONS

1. Moment cinétique

• La mécanique du point peut être décrite sans rotation : toute “rotation” dʼun point est une translation curviligne (un point ne tourne pas sur lui même).

La description sous forme de rotation est alors équivalente à celle qui consi- dère les translations, mais elle peut être utile pour simplifier certains calculs en les réexprimant autrement.

• On peut ainsi définir le “moment cinétique” dʼun point matériel M par rapport à un point O (qui nʼest pas forcément lʼorigine du repère) :

!

"_O =

!

OM

"

^p^.

On peut en outre définir le “moment cinétique algébrique” dʼun point M par rapport à un axe orienté Δ (arbitraire) :

!

"_# =

!

"_O ^•u_# où

!

u_" est un vecteur

unitaire orienté selon Δ et où O est un point quelconque de Δ.

◊ remarque : le choix judicieux (arbitraire) du point O référence des moments peut simplifier les calculs.

2. Moments des forces

• On peut définir dʼune façon analogue le “moment” (par rapport à un point O, qui nʼest pas forcément lʼorigine du repère) dʼune force appliquée à un point matériel M :

!

M

O =

!

OM

"

^F^.

On peut de même définir le “moment algébrique” par rapport à un axe orienté Δ (arbitraire) :

!

M

" =

!

M

O •u_" où

!

u_" est un vecteur unitaire orienté selon Δ

et où O est un point quelconque de Δ.

(2)

2

3. Théorème du moment cinétique

• Dans de nombreux cas (mais pas tous), le mouvement peut alors être décrit par le théorème du moment cinétique :

!

M

O

"

⁼

!

d"_O

dt , ou bien en projec- tion sur un axe :

!

M

"

#

⁼

!

d"_# dt ^. En effet :

!

d"_O dt ⁼

!

OM

"

^F

( )

#

⁺

!

v_M "v_O

( ) ^#

^p ; or

!

v_M

"

^p⁼

!

0, d'où la relation précédente quand

!

v_O||

!

v_M (et en particulier si O est fixe).

◊ remarque : cette relation ne fournit une information supplémentaire que pour le cas dʼun système complexe ; pour un point matériel elle équivaut au prin- cipe fondamental de la dynamique.

◊ remarque : pour un point en rotation autour dʼun point O (à distance OM = r constante), on obtient :

!

OM

"

^v^{= r}²

!

" ; on peut alors définir un “moment dʼinertie” J = m r² et écrire :

!

M

O

"

^{= J}

!

d"

dt (analogue à

!

"

F^{= m}

!

dv dt ^, mais cette relation nʼest valable que dans ce cas très particulier).

4. Exemples d’applications

4.1. Mouvements à force centrale

• Dans ce cas, avec O fixe :

!

M

O

"

⁼

!

OM

"

^F⁼

!

0 et

!

"_O =

!

OM

"

^p est constant.

Puisque

!

OM reste perpendiculaire à

!

"_O, le mouvement de M se fait dans le plan perpendiculaire à

!

"_O et contenant O.

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3

En coordonnées polaires dans le plan du mouvement :

!

OM = r

!

u_r ;

!

v = r^•

!

u_r + rθ^•

!

u_" ;

!

"_O = m r²θ^•

!

u_z ; donc la quantité C = r²θ^• est constante.

• La “vitesse aréolaire” (vitesse algébrique de “balayage” de lʼaire par OM) est : S^• =

!

1 2^r

2θ^• = C

2 ; la constance de cette vitesse aréolaire pour les mouvements à accélération centrale est appelée “loi des aires”.

◊ remarque : il faut ne pas confondre lʼaire S et lʼabscisse curviligne s.

4.2. Pendule simple

• En se limitant au mouvement dans un plan vertical :

!

"_O =

!

OM

"

^p^{= m ℓ}²θ^•

!

u_z , et

!

M

O

"

⁼

!

OM

" (

^T+P

)

= -mg ℓ sin(θ)

!

u_z ; cʼest-à-dire algébriquement (avec

!

u_" =

!

u_z ) :

!

"_#^{= m ℓ}²θ^• et

!

M

"

#

= -mg ℓ sin(θ).

Puisque O est fixe :

!

d"_# dt ⁼

!

M

"

#

, cʼest-à-dire : θ^•• +

!

g

!^sin(^θ^{) = 0.}

Pour les petites amplitudes (θ ≤ 20 °) : θ^•• +

!

g

! ^θ ^{≈ 0} dʼoù : θ = θ₀ cos(ωt + φ) avec ω =

!

g

! ^.

◊ remarque : si le pendule est lâché immobile, le mouvement débute dans le plan vertical contenant O et M (les forces sont dans ce plan) ; mais si le mouvement est dans un plan vertical contenant O, alors

!

"_O||

!

M

O

"

⁼

!

"_O^• , donc le mouvement reste dans ce plan (perpendiculaire à

!

"_O^).

& exercices n° I, II et III.

(4)

4

5. Travail d'une force lors d'un mouvement circulaire

• Pour un point en mouvement circulaire (par rapport à un point fixe O quelconque sur un axe de rotation Δ) le travail d'une force

!

F peut s'exprimer en fonction de son moment :

δW =

!

M

". dθ =

!

M

O •"dt =

!

OM

"

^F

#

$

%

& ^•'dt =

!

"

#

^OM

$

%

&

' ^•F dt =

!

v•F dt.

◊ remarque : on note généralement

!

" = θ^•

!

u_" ; par ailleurs pour un vecteur

!

OM de norme constante :

!

dOM d" ⁼

!

u_"

#

^OM^.

◊ remarque : le produit mixte est invariant par “permutation circulaire” :

!

A"B

( )

^•^C⁼

!

C"A

( )

^•^B⁼

!

B"C

( )

^•^A^.