Calculs de résultants sous forme de déterminants

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Calculs de résultants sous forme de déterminants

Marc Renaud

To cite this version:

Marc Renaud. Calculs de résultants sous forme de déterminants. Rapport LAAS n° 18166. 2018, 144p. �hal-01823546�

Calculs de r´esultants sous forme de d´eterminants

Marc RENAUD

Professeur ´ em´ erite INSA-Toulouse LAAS-CNRS 7 avenue du Colonel Roche

31077 Toulouse Cedex 4 - France e-mail : renaud@laas.fr

1 Introduction

Le but de cet article est de calculer le r´esultant dekformes (ou polynˆomes homog`enes) enk variables, qui exprime la condition pour que ces polynˆomes aient un z´ero commun non nul.

Ce r´esultant est un polynˆome en les coefficients desk formes. Son calcul est inconnu dans le cas g´en´eral.

Lorsque les degr´es des formes sont tous ´egaux cet article pr´esente les seuls cas actuellement connus o`u le calcul du r´esultat est th´eoriquement possible sous la forme d’un d´eterminant, pr´esent´es en [24]. Cependant pour certains de ces cas le calcul effectif des ´el´ements de ce d´eterminant n’est pas connu, ce qui empˆeche le calcul effectif du r´esultant. Nous pr´esentons – pour la premi`ere fois `a notre connaissance – le calcul effectif du r´esultant de trois formes ternaires de degr´e trois sous la forme d’un d´eterminant d’ordre minimal treize, alors que le calcul effectif sous la forme d’un d´eterminant d’ordre quinze ´etait d´ej`a connu grˆace a une m´ethode due `a J. Sylvester.

Bien entendu mˆeme dans le cas o`u le calcul effectif de tous les ´el´ements du d´eterminant est possible, le calcul pratique du r´esultant est hors de port´ee lorsque l’ordre de ce d´eterminant est trop ´elev´e.

Lorsque les degr´es des formes ne sont pas tous ´egaux cet article pr´esente quelques cas de calculs du r´esultant.

Concernant les travaux historiques sur les r´esultants signalons ceux de :

•Etienne Bezout (1730-1783)´

•Joseph (dit James) Sylvester (1814-1897)

•Arthur Cayley (1821-1895)

•Francis Macaulay (1862-1937)

•Alfred Dixon (1865-1936).

Quelques remarques et notations g´en´erales

∗ssi signifie : “si et seulement si”.

∗l’ordre utilis´e pour classer les monˆomes est toujours lexicographique

∗E(u) repr´esente la partie enti`ere d’un nombre r´eel u

2 Notations

2.1 Notation des variables

Soient k variables x1, x2, x3, x4, x5, x6, . . .=x, y, z, t, u, v, . . ..

2.2 Notation des formes ou polynˆ omes homog` enes

Soient k formes (i.e. k polynˆomes homog`enes) :

f₁(x₁, . . . , x_k), de degr´e d₁, . . .,f_k(x₁, . . . , x_k), de degr´ed_k.

2.3 Notations de certains espaces

S^dC^k ensemble des formes de k variables de degr´e d.

Alors dim (S^dC^k) =C_d+k−1^d , ^(d+k−1)!_{d! (k−1)!} :

•dim (S^dC¹) = 1

•dim (S^dC²) =d+ 1

dim (S⁰C²) = 1 ; base : {1}.

dim (S¹C²) = 2 ; base : {x, y}.

dim (S²C²) = 3 ; base : {x², x y, y²}.

dim (S³C²) = 4 ; base : {x³, x²y, x y², y³}.

dim (S⁴C²) = 5 ; base : {x⁴, x³y, x²y², x y³, y⁴}.

dim (S⁵C²) = 6 ; base : {x⁵, x⁴y, x³y², x²y³, x y⁴, y⁵}.

dim (S⁶C²) = 7 ; base : {x⁶, x⁵y, x⁴y², x³y³, x²y⁴, x y⁵, y⁶}.

dim (S⁷C²) = 8 ; base : {x⁷, x⁶y, x⁵y², x⁴y³, x³y⁴, x²y⁵, x y⁶, y⁷}.

etc.

•dim (S^dC³) = (d+2) (d+1) 2

dim (S⁰C³) = 1 ; base {1}.

dim (S¹C³) = 3 ; base : {x, y, z}.

dim (S²C³) = 6 ; base : {x², x y, x z, y², y z, z²}.

dim (S³C³) = 10 ; base :{x³, x²y, x²z, x y², x y z, x z², y³, y²z, y z², z³}.

dim (S⁴C³) = 15 ; base :{x⁴, x³y, x³z, x²y², x²y z, x²z², x y³, x y²z, x y z², x z³, y⁴, y³z, y²z², y z³, z⁴}.

dim (S⁵C³) = 21 ; base : {x⁵, . . . , z⁵}.

dim (S⁶C³) = 28 ; base : {x⁶, . . . , z⁶}.

dim (S⁷C³) = 36 ; base : {x⁷, . . . , z⁷}.

dim (S⁸C³) = 45 ; base : {x⁸, . . . , z⁸}.

etc.

•dim (S^dC⁴) = (d+3) (d+2) (d+1) 6

dim (S⁰C⁴) = 1 ; base {1}.

dim (S¹C⁴) = 4 ; base : {x, y, z, t}.

dim (S²C⁴) = 10 ; base : {x², x y, x z, x t, y², y z, y t, z², z t, t²}.

dim (S³C⁴) = 20 ; base :{x³, x²y, x²z, x²t, x y², x y z, x y t, x z², x z t, x t², y³, y²z, y²t, y z², y z t, y t², z³, z²t, z t², t³}.

dim (S⁴C⁴) = 35 ; base :{x⁴, x³y, x³z, x³t, x²y², x²y z, x²y t, x²z², x²z t, x²t², x y³, x y²z, x y²t, x y z², x y z t, x y t², x z³, x z²t, x z t², x t³, y⁴, y³z, y³t, y²z², y²z t, y²t², y z³, y z²t, y z t², y t³, z⁴, z³t, z²t², z t³, t⁴}.

dim (S⁵C⁴) = 56 ; base : {x⁵, . . . , t⁵}.

dim (S⁶C⁴) = 84 ; base : {x⁶, . . . , t⁶}.

dim (S⁷C⁴) = 120 ; base : {x⁷, . . . , t⁷}.

etc.

•dim (S^dC⁵) = (d+4) (d+3) (d+2) (d+1) 24

dim (S⁰C⁵) = 1 ; base {1}.

dim (S¹C⁵) = 5 ; base : {x, y, z, t, u}.

dim (S²C⁵) = 15 ; base :{x², x y, x z, x t, x u, y², y z, y t, y u, z², z t, z u, t², t u, u²}.

dim (S³C⁵) = 35 ; base : {x³, x²y, x²z, x²t, x²u, x y², x y z, x y t, x y u, x z², x z t, x z u, x t², x t u, x u², y³, y²z, y²t, y²u, y z², y z t, y z u, y t², y t u, y u², z³, z²t, z²u, z t², z t u, z u², t³, t²u, t u², u³}.

dim (S⁴C⁵) = 70 ; base : {x⁴, . . . , u⁴}.

dim (S⁵C⁵) = 126 ; base : {x⁵, . . . , u⁵}.

etc.

•dim (S^dC⁶) = (d+5) (d+4) (d+3) (d+2) (d+1) 120

dim (S⁰C⁶) = 1 ; base {1}.

dim (S¹C⁶) = 6 ; base : {x y, z, t, u, v}.

dim (S²C⁶) = 21 ; base : {x², x y, x z, x t, x u, x v, y², y z, y t, y u, y v, z², z t, z u, z v, t², t u, t v, u², u v, v²}.

dim (S³C⁶) = 56 ; base : {x³, . . . , v³}.

dim (S⁴C⁶) = 126 ; base : {x⁴, . . . , v⁴}.

etc.

•etc.

∧^pC^k ensemble des ξ1 ∧ . . . ∧ ξp et ∧⁰C^k={1}. Alors dim (∧^pC^k) = C_k^p , _{p! (k−p)!}^k! ; 06p6k :

dim (∧⁰C¹) = 1 ; base :{1}, dim (∧¹C¹) = 1 ; base :{ξ₁}, dim (∧⁰C²) = 1 ; base :{1}, dim (∧¹C²) = 2 ; base :{ξ₁, ξ₂}, dim (∧²C²) = 1 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂}, dim (∧⁰C³) = 1 ; base :{1},

dim (∧¹C³) = 3 ; base :{ξ₁, ξ₂, ξ₃},

dim (∧²C³) = 3 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂, ξ₁ ∧ ξ₃, ξ₂ ∧ ξ₃}, dim (∧³C³) = 1 ; base :{ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3},

dim (∧⁰C⁴) = 1 ; base :{1},

dim (∧¹C⁴) = 4 ; base :{ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄}, dim (∧²C⁴) = 6 ; base :

{ξ1 ∧ ξ2, ξ1 ∧ ξ3, ξ1 ∧ ξ4, ξ2 ∧ ξ3, ξ2 ∧ ξ4, ξ3 ∧ ξ4, }, dim (∧³C⁴) = 4 ; base :

{ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₄, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄}, dim (∧⁴C⁴) = 1 ; base :{ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4},

dim (∧⁰C⁵) = 1 ; base :{1},

dim (∧¹C⁵) = 5 ; base :{ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄, ξ₅},

dim (∧²C⁵) = 10 ; base :{ξ1 ∧ ξ2, ξ1 ∧ ξ3, ξ1 ∧ ξ4, ξ1 ∧ ξ5, ξ₂ ∧ ξ₃, ξ₂ ∧ ξ₄, ξ₂ ∧ ξ₅, ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₃ ∧ ξ₅, ξ₄ ∧ ξ₅},

dim (∧³C⁵) = 10 ; base :{ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3, ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ4, ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ5, ξ₁ ∧ξ₃ ∧ξ₄, ξ₁∧ξ₃∧ξ₅, ξ₁ ∧ξ₄ ∧ξ₅, ξ₂ ∧ξ₃ ∧ξ₄, ξ₂∧ξ₃∧ξ₅, ξ₂ ∧ξ₄ ∧ξ₅, ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅},

dim (∧⁴C⁵) = 5 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅},

dim (∧⁵C⁵) = 1 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅}, dim (∧⁰C⁶) = 1 ; base :{1},

dim (∧¹C⁶) = 6 ; base :{ξ₁, ξ₂, ξ₃, ξ₄, ξ₅, ξ₆},

dim (∧²C⁶) = 15 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂, ξ₁ ∧ ξ₃, ξ₁ ∧ ξ₄, ξ₁ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₃, ξ₂ ∧ ξ₄, ξ₂ ∧ ξ₅, ξ₂ ∧ ξ₆, ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₃ ∧ ξ₅, ξ₃ ∧ ξ₆, ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₅ ∧ ξ₆},

dim (∧³C⁶) = 20 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₄, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₂ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₃ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₄ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆},

dim (∧⁴C⁶) = 15 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆,

ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₂ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆},

dim (∧⁵C⁶) = 6 ; base :{ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₆, ξ₁ ∧ ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆, ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ4 ∧ ξ5 ∧ ξ6, ξ1 ∧ ξ3 ∧ ξ4 ∧ ξ5 ∧ ξ6, ξ₂ ∧ ξ₃ ∧ ξ₄ ∧ ξ₅ ∧ ξ₆},

dim (∧⁶C⁶) = 1 ; base :{ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4 ∧ ξ5 ∧ ξ6}, . . .

2.4 Notations des d´ eterminants

•si k = 2 soitAB ,

a b a⁰ b⁰

=a b⁰ + . . ..

•si k = 3 soitABC ,

a b c

a⁰ b⁰ c⁰ a⁰⁰ b⁰⁰ c⁰⁰

=a b⁰c⁰⁰+ . . ..

•si k = 4 soitABCD ,

a b c d

a⁰ b⁰ c⁰ d⁰ a⁰⁰ b⁰⁰ c⁰⁰ d⁰⁰ a⁰⁰⁰ b⁰⁰⁰ c⁰⁰⁰ d⁰⁰⁰

=a b⁰c⁰⁰d⁰⁰⁰+ . . ..

•k = 5 soitABCDE ,

a b c d e

a⁰ b⁰ c⁰ d⁰ e⁰ a⁰⁰ b⁰⁰ c⁰⁰ d⁰⁰ e⁰⁰ a⁰⁰⁰ b⁰⁰⁰ c⁰⁰⁰ d⁰⁰⁰ e⁰⁰⁰ a⁰⁰⁰⁰ b⁰⁰⁰⁰ c⁰⁰⁰⁰ d⁰⁰⁰⁰ e⁰⁰⁰⁰

=a b⁰c⁰⁰d⁰⁰⁰e⁰⁰⁰⁰+ . . ..

•k = 6 soit ABCDEF ,

a b c d e f

a⁰ b⁰ c⁰ d⁰ e⁰ f⁰ a⁰⁰ b⁰⁰ c⁰⁰ d⁰⁰ e⁰⁰ f⁰⁰ a⁰⁰⁰ b⁰⁰⁰ c⁰⁰⁰ d⁰⁰⁰ e⁰⁰⁰ f⁰⁰⁰ a⁰⁰⁰⁰ b⁰⁰⁰⁰ c⁰⁰⁰⁰ d⁰⁰⁰⁰ e⁰⁰⁰⁰ f⁰⁰⁰⁰ a⁰⁰⁰⁰⁰ b⁰⁰⁰⁰⁰ c⁰⁰⁰⁰⁰ d⁰⁰⁰⁰⁰ e⁰⁰⁰⁰⁰ f⁰⁰⁰⁰⁰

=a b⁰c⁰⁰d⁰⁰⁰e⁰⁰⁰⁰f⁰⁰⁰⁰⁰ + . . ..

•. . .

2.5 Notation du produit vectoriel pour k = 3

Lorsque k = 3 on note : A×B =



 a a⁰ a⁰⁰



×



 b b⁰ b⁰⁰



=





a⁰b⁰⁰−b⁰a⁰⁰ b a⁰⁰−a b⁰⁰

a b⁰−b a⁰



, o`u×repr´esente le produit vectoriel.

AlorsABC = (A, B, C) = (A × B) C o`u ( , , ) repr´esente un produit mixte et un produit scalaire.

3 D´ efinitions et probl` eme ` a r´ esoudre

3.1 D´ efinitions

Le r´esultantR(f1, . . . , fk) deskformesf1(x1, . . . , xk), . . . , fk(x1, . . . , xk) est le polynˆome irr´eductible en les coefficients de ces formes qui s’annule lorsque ces formes ont un z´ero commun sur C^k− {0}, i.e. un z´ero commun non nul ; il est tel que R(x^d₁¹, . . . , x^d_k^k) = 1

R(f₁, . . . , f_k) est une forme, donc un polynˆome homog`ene, en les coeffi- cients de chaque forme fi, de degr´e d1 . . . di−1di+1 . . . dk.

R(f₁, . . . , f_k) est une forme de degr´e totalD=Pk

i=1d₁ . . . d_i−1d_i+1 . . . d_k. t_k ,Pk

i=1(d_i−1) est le degr´e critique [14]¹.

Dans le cas particulier o`ud₁ = . . . =d_k=dle degr´e total estD=k d^k−1 et le degr´e critiquet_k =k(d−1).

3.2 Probl` eme ` a r´ esoudre

• Si on consid`ere k formes `a k variables il y a un r´esultant [31] [48]². Voir [44]³ pour les degr´es et les poids, ce qui permet de pr´evoir les termes qui doivent intervenir dans ce r´esultant.

•Le calcul g´en´eral est celui o`u :

f₁(x₁, . . . , x_k) est de degr´e d₁, . . ., f_k(x₁, . . . , x_k) est de degr´ed_k.

•Le cas particulier est celui o`ud₁ = . . .^,=d_k=d.

• Dans le cas g´en´eral, ou mˆeme dans le cas particulier, on ne sait pas calculer ce r´esultant de mani`ere th´eorique et par cons´equent on ne sait pas le calculer de mani`ere effective.

• Il existe des cas g´en´eraux pour lesquels on sait calculer ce r´esultant de mani`ere th´eorique sous la forme d’un d´eterminant, que le calcul effectif soit possible ou non.

•Lorsque l’on sait calculer ce r´esultant de mani`ere th´eorique sous la forme d’un d´eterminant on peut chercher le d´eterminant d’ordre minimal. Il arrive que le calcul effectif du d´eterminant d’ordre minimal est inconnu alors que celui d’un d´eterminant d’ordre sup´erieur est possible.

1. p. 2 2. p. 159 3. n. 78

4 Cas particulier o` u les degr´ es des k formes sont tous ´ egaux ` a d et complexe associ´ e

4.1 D´ efinitions

Soit donck le nombre des formes `ak variables et p∈Z;−k+ 16p6k (il y a donc 2k valeurs possibles de p) et m ∈ Z un param`etre appel´e pa- ram`etre de torsion⁴ et not´et par [14]⁵.

Soient :

• A^−p ,S^{m−p d}C^k ⊗ ∧^pC^k, qui n’apparaˆıt en fait que si m−p d >0 et 06p6k,

•B^−p ,(Sp d−m+(k−1) (d−1)−1

C^k)^∗ ⊗ ∧^p+k−1C^k, qui n’apparaˆıt en fait que si p d−m+ (k−1) (d−1)−1>0 et 06p+k−16k i.e. −k+ 16p61,

•C^−p ,A^−p ⊕ B^−p, o`u A^−p et/ou B^−p peut/peuvent disparaˆıtre.

4.2 Dimensions

dim A^−p = max(0, _{p! (k−p)!}^k (m−p d+k−1)!

(m−p d)! ), dans la mesure o`u A^−p existe, pour les 2k valeurs :p=−k+ 1, −k+ 2, . . . , k−1, k.

dim B^−p = max(0, (p+k−1)! (−p+1)!^k

[p d−m+(k−1)d−1]!

[p d−m+(k−1)d−k]!), dans la mesure o`u B^−p existe, pour les 2k valeurs : p=−k+ 1, −k+ 2, . . . , k−1, k.

4.3 Complexe de Weyman (ou, plus rarement, de Koszul) associ´ e

Consid´erons le complexe de Weyman (ou, plus rarement, de Koszul) : C^• ,C^•(m; f₁, . . . , f_k) [24]⁶ :

C^• : {0 −→ C^{−k δ}

−k

−→ C^{−k+1 δ}

−k+1

−→ . . . ^δ

−2

−→ C^{−1 δ}

−1

−→ C⁰ −→^δ0 C¹ −→^δ1 . . . ^δ

k−3

−→C^{k−2 δ}

k−2

−→C^k−1 −→0}, tel que, par d´efinition d’un complexe : δ^−k ◦ δ^−k+1 =δ^−k+1 ◦ δ^−k+2 = . . . =δ^k−3 ◦ δ^k−2 = 0.

4. “twist parameter” en anglais 5. p. 2

6. pp. 428-430 §B : “The Cayley determinental formula” pour le complexe de Koszul et pp. 430-433 §C : “Polynomial expressions for the resultant via Weyman’s complexes”

pour le complexe de Weyman

Il s’agit plus pr´ecisemment d’un complexe de co-chaines [3]⁷ [30]⁸ pour lequel les indices des termes C^−p, plac´es en haut (comme co-variant) aug- mentent de gauche `a droite. Les applicationsδ<sup>−p</sup> sont appel´ees differentielles ou co-bords. Cette notion de complexe de co-chaines est li´ee `a celle d’alg`ebre et de co-homologie. Elle est ´egalement li´ee `a la notion d’injectif et au foncteur Ext. Ce complexe est fini ou born´e car il ne s’´etend pas `a l’infini ni a gauche ni a droite.

Signalons que la notion de complexe de chaines [3]⁹ [30]¹⁰ utilise des termes munis d’indices plac´es en bas (comme variant) qui diminuent de gauche `a droite. Les applications entre termes (not´ees ∂ et non δ) sont ap- pel´ees diff´erentielles ou bords. Cette notion de complexe de chaines est li´ee a celle de topologie et d’homologie. Elle est ´egalement li´ee `a la notion de projectif et au foncteur Tor. Ce complexe est fini ou born´e s’il ne s’´etend `a l’infini ni a gauche ni a droite.

Il y a donc, a priori, 2ktermes¹¹dans le complexe et 2k−1 diff´erentiellesδ¹², mais en fait il y en aura souvent moins.

Posonsn−p = dim C^−p; −k+ 16p6k. On a : C^{−p δ}−→^−p C^−p+1, avec :

A^{−p δ}

−p

−→11 A^−p+1, B^{−p δ}

−p

−→12 A^−p+1 et B^{−p δ}

−p

−→22 B^−p+1. Alors : δ^−p =

δ₁₁^−p δ₁₂^−p 0 δ₂₂^−p

.

Lorsquem6k(d−1) le complexe associ´e est appel´e complexe de Weyman (not´e W par la suite, `a la droite du complexe).

Lorsquem > k(d−1) le complexe associ´e est appel´e complexe de Koszul (not´e K par la suite, `a la droite du complexe). Mais alors on verra que le complexe est :

C^• : {0−→C^−k =A^{−k δ}

−k

−→11 C^−k+1 =A^{−k+1 δ}

−k+1

−→11 . . . ^δ

−2

−→11

C⁻¹ = A^{−1 δ}

−1

−→11 C⁰ = A⁰ −→ 0} (K) et que les premiers termes peuvent disparaˆıtre.

7. p. 136 8. p. 118 9. p. 121 10. p. 117

11. on parlera toujours de termes non triviaux i.e. non nuls

12. on parlera toujours de diff´erentielles non triviales i.e. non nulles

4.4 Utilisation du jacobien et de ses d´ eriv´ ees partielles

On peut augmenter le nombre de formes de k `a 2k + 1 en utilisant le jacobien des k formes initiales et ses k d´eriv´ees partielles. Malheureusement le degr´e de toutes ces formes n’est pas le mˆeme et, en g´en´eral, cette utilisation n’apporte pas d’aide au calcul du r´esultant [44].

Soit J ,

∂f1

∂x¹ . . . _∂x^∂f1k

... ...

∂fk

∂x¹ . . . _∂x^∂fkk

le jacobien desk formes initiales.

• Aux k ´equations initiales f₁ = 0, . . . , f_k = 0, de degr´e d, en ^(k+d−1)!_{d! (k−1)!}

monˆomes on peut adjoindre :

•une ´equationJ = 0, de degr´e (d−1)k en _[(d−1)^[k+(d−1)_{k]! (k−1)!}^k−1]! monˆomes et :

•k´equations _∂x^∂J

1 = 0, . . . ,_∂x^∂J

k = 0 , de degr´e (d−1)k−1 en_[(d−1)^{(d k−2)!}k−1]! (k−1)!

monˆomes.

4.5 Cas ´ etudi´ es

Cas a: d= 1. t₁ = 0, ^t₂¹ = 0, E(^t₂¹) = 0.

Cas b : k= 2 ; d>2. t₂ = 2 (d−1), ^t₂² =d−1,E(^t₂²) =d−1.

Cas c :k = 3 ; d>2. t₃ = 3 (d−1), ^t₂³ = 1,5 (d−1).

Cas d : k= 4 ; d>2. t₄ = 4 (d−1), ^t₂⁴ = 2 (d−1), E(^t₂⁴) = 2 (d−1).

Cas e : k= 5 ; d= 2. t₅ = 5, ^t₂⁵ = 2,5,E(^t₂⁵) = 2.

Cas f :k = 5 ; d= 3. t₅ = 10, ^t₂⁵ = 5, E(^t₂⁵) = 5.

Cas g :k = 6 ; d= 2. t₆ = 6, ^t₂⁶ = 3, E(^t₂⁶) = 3.

4.5.1 Cas a : cas des formes lin´eaires : d= 1

Alors le r´esultant est de degr´e k. On calcule le r´esultant comme un d´eterminant d’ordre k. En effet pour que lesk formes lin´eaires

f₁(x₁, . . . , x_k), . . . , f_k(x₁, . . . , x_k) aient un z´ero commun non nul il faut et il suffit que le d´eterminant form´e avec les coefficients de ces formes s’annule.

Il s’agit d’un cas trivial de la m´ethode de Sylvester expos´ee ci-apr`es.

•k = 2

On note les formes de la fa¸con suivante :

f₁ =a x+b y

f₂ =a⁰x+b⁰y; ce que l’on note matriciellement :

f =A x+B y o`uf, A, B sont des matrices colonnes 2 × 1.

AlorsR(f₁, f₂) =AB, de degr´e 2.

•k = 3

On note les formes de la fa¸con suivante : f₁ =a x+b y+c z

f₂ =a⁰x+b⁰y+c⁰z

f₃ =a⁰⁰x+b⁰⁰y+c⁰⁰z; ce que l’on note matriciellement :

f =A x+B y+C z o`u f, A, B, C sont des matrices colonnes 3 × 1.

AlorsR(f₁, f₂, f₃) = ABC, de degr´e 3.

•k = 4

On note les formes de la fa¸con suivante : f1 =a x+b y+c z+d t

f₂ =a⁰x+b⁰y+c⁰z+d⁰t f₃ =a⁰⁰x+b⁰⁰y+c⁰⁰z+d⁰⁰t

f4 =a⁰⁰⁰x+b⁰⁰⁰y+c⁰⁰⁰z+d⁰⁰⁰t; ce que l’on note matriciellement :

f =A x+B y+C z+D, t o`uf, A, B, C, D sont des matrices colonnes 4 × 1.

AlorsR(f1, f2, f3, f4) =ABCD, de degr´e 4.

•k = 5

On note les formes de la fa¸con suivante : f₁ =a x+b y+c z+d t+e u

f₂ =a⁰x+b⁰y+c⁰z+d⁰t+e⁰u f3 =a⁰⁰x+b⁰⁰y+c⁰⁰z+d⁰⁰t+e⁰⁰u f₄ =a⁰⁰⁰x+b⁰⁰⁰y+c⁰⁰⁰z+d⁰⁰⁰t+e⁰⁰⁰u

f₅ =a⁰⁰⁰⁰x+b⁰⁰⁰⁰y+c⁰⁰⁰⁰z+d⁰⁰⁰⁰t+e⁰⁰⁰⁰u; ce que l’on note matriciellement : f =A x+B y+C z+D, t+E u o`u f, A, B, C, D, E sont des matrices colonnes 5 × 1.

AlorsR(f₁, f₂, f₃, f₄, f₅) =ABCDE, de degr´e 5.

•k = 6

On note les formes de la fa¸con suivante :

f₁ =a x+b y+c z+d t+e u+f v f₂ =a⁰x+b⁰y+c⁰z+d⁰t+e⁰u+f⁰v f₃ =a⁰⁰x+b⁰⁰y+c⁰⁰z+d⁰⁰t+e⁰⁰u+f⁰⁰v f₄ =a⁰⁰⁰x+b⁰⁰⁰y+c⁰⁰⁰z+d⁰⁰⁰t+e⁰⁰⁰u+f⁰⁰⁰v f₅ =a⁰⁰⁰⁰x+b⁰⁰⁰⁰y+c⁰⁰⁰⁰z+d⁰⁰⁰⁰t+e⁰⁰⁰⁰u+f⁰⁰⁰⁰v

f₆ = a⁰⁰⁰⁰⁰x +b⁰⁰⁰⁰⁰y +c⁰⁰⁰⁰⁰z +d⁰⁰⁰⁰⁰t + e⁰⁰⁰⁰⁰u+ f⁰⁰⁰⁰⁰v. ; ce que l’on note matriciellement :

f =A x+B y+C z+D, t+E u+F v o`uf, A, B, C, D, E, F sont des matrices colonnes 6 × 1.

AlorsR(f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆) = ABCDEF, de degr´e 6.

•etc.

4.5.2 Cas b : Cas des formes binaires non lin´eaires : k = 2; d>2

Alors le r´esultant est de degr´e 2d.

Le complexe associ´e est 0 −→ C⁻² −→^δ−2 C⁻¹ −→^δ−1 C⁰ −→^δ0 C¹ −→ 0. Il comporte, a priori, 4 termes et 3 diff´erentielles. Plus pr´ecisemment il a, a priori, la forme :

0−→C⁻² =A⁻² =S^m−2dC^{2 δ}

−→−2 C⁻¹ =A⁻¹ ⊕ B⁻¹

= (S^m−dC² ⊗ ∧¹C²) ⊕ (S^2d−m−2C²)^∗ −→^δ−1 C⁰ =A⁰ ⊕ B⁰

=S^mC² ⊕ [(S^d−m−2C²)^∗ ⊗ ∧¹C²]−→^δ0 C¹ =B¹ = (S^−m−2C²)^∗ −→0.

Pour A⁻² il faut m > 2d, pour A⁻¹ il faut m > d, pour B⁻¹ il faut m 62d−2, pour A⁰ il faut m > 0, pour B⁰ il faut m 6 d−2, pour B¹ il faut m6−2.

Lorsquem 62 (d−1) le complexe associ´e est W et lorsque m >2 (d−1) le complexe associ´e est K.

∗Cas b2 : d= 2. E(^t₂²) = 1.

On note les formes de la fa¸con suivante : f₁ =a x²+b x y+c y²

f₂ =a⁰x²+b⁰x y+c⁰y²; ce que l’on note matriciellement :

f =A x²+B x y+C y² o`uf, A, B, C sont des matrices colonnes 2 × 1.

Le r´esultant est de degr´e 4.

Le complexe associ´e est :

0−→C⁻² =A⁻² =S^m−4C^{2 δ}

−2

−→C⁻¹ =A⁻¹ ⊕ B⁻¹

= (S^m−2C² ⊗ ∧¹C²) ⊕ (S^2−mC²)^{∗ δ}

−1

−→C⁰ =A⁰ ⊕ B⁰

=S^mC² ⊕ [(S^−mC²)^∗ ⊗ ∧¹C²] ^δ

0

−→C¹ =B¹ = (S^−m−2C²)^∗ −→0.

Lorsque m 6 2 le complexe associ´e est W et lorsque m >2 le complexe associ´e est K.

Exemple: si m=−2 il y a 3 termes dans le complexe (W) : 0−→C⁻¹ =B⁻¹ = (S⁴C²)^{∗ δ}

−1

−→22 C⁰ =B⁰ = (S²C²)^∗ ⊗ ∧¹C²

δ⁰₂₂

−→

C¹ =B¹ ={1} −→0.

n−1 = 5, n₀ = 6, n₁ = 1 etn₀ =n−1+n₁ = 6.

Exemple: si m= 4 il y a 3 termes dans le complexe (K) : 0−→C⁻² =A⁻² ={1} ^δ

−2

−→11 C⁻¹ =A⁻¹ =S²C² ⊗ ∧¹C²

δ⁻¹₁₁

−→

C⁰ =A⁰ =S⁴C² −→0.

n−2 = 1, n−1 = 6, n₀ = 5 et n−1 =n−2+n₀ = 6.

Formule de Sylvester utilisant le jacobien J =

∂f1

∂x

∂f1

∂f2 ∂y

∂x

∂f2

∂y

=

2a x+b y b x+ 2c y 2a⁰x+b⁰y b⁰x+ 2c⁰y

= 2 [(a b⁰−b a⁰)x²+ 2 (a c⁰−c a⁰)x y+ (b c⁰ −c b⁰)y²] et :

Pour que les 3 formes f1, f2, J, de degr´es 2, aient un z´ero commun non nul il faut et il suffit que le d´eterminant form´e avec les coefficients de ces 3 formes s’annule ; par cons´equent :

R(f1, f2) = −¹₂

a a⁰ a b⁰−b a⁰ b b⁰ 2 (a c⁰−c a⁰) c c⁰ b c⁰−c b⁰

= (a c⁰−c a⁰)² −(a b⁰−b a⁰) (b c⁰−c b⁰).

Le coefficient−¹₂ apparaˆıt pour queR(x, y) = 1.

∗Cas b3 : d= 3. E(^t₂²) = 2.

On note les formes de la fa¸con suivante : f1 =a x³+b x²y+c x y²+d y³

f₂ =a⁰x³+b⁰x²y+c⁰x y²+d⁰y³; ce que l’on note matriciellement : f = A x³ +B x²y+C x y² +D y³ o`u f, A, B, C, D sont des matrices colonnes 2 × 1.

Le r´esultant est de degr´e 6.

Le complexe associ´e est : 0−→C⁻² =A⁻² =S^m−6C^{2 δ}

−→−2 C⁻¹ =A⁻¹ ⊕ B⁻¹

= (S^m−3C² ⊗ ∧¹C²) ⊕ (S^4−mC²)^∗ −→^δ−1 C⁰ =A⁰ ⊕ B⁰

=S^mC² ⊕ [(S^1−mC²)^∗ ⊗ ∧¹C²]−→^δ0 C¹ =B¹ = (S^−m−2C²)^∗ −→0.

Lorsque m 6 4 le complexe associ´e est W et lorsque m >4 le complexe associ´e est K.

Exemple: si m=−2 il y a 3 termes dans le complexe (W) : 0−→C⁻¹ =B⁻¹ = (S⁶C²)^{∗ δ}

−1

−→22 C⁰ =B⁰ = (S³C²)^∗ ⊗ ∧¹C²

δ⁰₂₂

−→

C¹ =B¹ ={1} −→0.

n−1 = 7, n₀ = 8, n₁ = 1 etn₀ =n−1+n₁ = 8.

Exemple: si m= 6 il y a 3 termes dans le complexe (K) : 0−→C⁻² =A⁻² ={1} ^δ

−2

−→11 C⁻¹ =A⁻¹ =S³C² ⊗ ∧¹C²

δ⁻¹₁₁

−→

C⁰ =A⁰ =S⁶C² −→0.

n₋₂ = 1, n₋₁ = 8, n₀ = 7 et n₋₁ =n₋₂+n₀ = 8.

∗Cas b4 : d= 4. E(^t₂²) = 3.

On note les formes de la fa¸con suivante : f₁ =a x⁴+b x³y+c x²y²+d x y³+e y⁴

f₂ =a⁰x⁴+b⁰x³y+c⁰x²y²+d⁰x y³+e⁰y⁴; ce que l’on note matricielle- ment :

f =A x⁴+B x³y+C x²y²+D x y³+E y³ o`uf, A, B, C, D, E sont des matrices colonnes 2 × 1.

Le r´esultant est de degr´e 8.

Le complexe associ´e est : 0−→C⁻² =A⁻² =S^m−8C^{2 δ}

−2

−→C⁻¹ =A⁻¹ ⊕ B⁻¹

= (S^m−4C² ⊗ ∧¹C²) ⊕ (S^6−mC²)^{∗ δ}

−1

−→C⁰ =A⁰ ⊕ B⁰

=S^mC² ⊕ [(S^2−mC²)^∗ ⊗ ∧¹C²]−→^δ0 C¹ =B¹ = (S^−m−2C²)^∗ −→0.

Lorsque m 6 6 le complexe associ´e est W et lorsque m >6 le complexe associ´e est K.

Exemple: si m=−2 il y a 3 termes dans le complexe (W) : 0−→C⁻¹ =B⁻¹ = (S⁸C²)^{∗ δ}

−1

−→22 C⁰ =B⁰ = (S⁴C²)^∗ ⊗ ∧¹C²

δ⁰₂₂

−→

C¹ =B¹ ={1} −→0.

n−1 = 9, n0 = 10, n1 = 1 et n0 =n−1+n1 = 10.

Exemple: si m= 8 il y a 3 termes dans le complexe (K) : 0−→C⁻² =A⁻² ={1} ^δ

−2

−→11 C⁻¹ =A⁻¹ =S⁴C² ⊗ ∧¹C²

δ⁻¹₁₁

−→

C⁰ =A⁰ =S⁸C² −→0.

n−2 = 1, n−1 = 10, n₀ = 9 et n−1 =n−2+n₀ = 10.

∗etc.

4.5.3 Cas c : Cas des formes ternaires non lin´eaires : k = 3; d>2

Alors le r´esultant est de degr´e 3d². Le complexe associ´e est :

0 −→ C^{−3 δ}

−3

−→ C^{−2 δ}

−2

−→ C^{−1 δ}

−1

−→ C⁰ −→^δ0 C¹ −→^δ1 C² −→ 0. Il comporte, a priori, 6 termes et 5 diff´erentielles. Plus pr´ecisemment il a, a priori, la forme :

0−→C⁻³ =A⁻³ =S^m−3dC³

δ⁻³₁₁

−→C⁻² =A⁻² =S^m−2dC³ ⊗ ∧²C^{3 δ}

−2

−→

C⁻¹ =A⁻¹ ⊕ B⁻¹ = (S^m−dC³ ⊗ ∧¹C³) ⊕ (S^3d−m−3C³)^{∗ δ}

−1

−→

C⁰ =A⁰ ⊕ B⁰ =S^mC³ ⊕ [(S^2d−m−3C³)^∗ ⊗ ∧²C³]−→^δ0 C¹ =B¹ = (S^d−m−3C³)^∗ ⊗ ∧¹C³

δ₂₂¹

−→C² =B² = (S^−m−3C³)^∗ −→0.

Pour A⁻³ il faut m > 3d, pour A⁻² il faut m > 2d, pour A⁻¹ il faut m >d, pour B⁻¹ il faut m63d−3, pour A⁰ il faut m>0, pour B⁰ il faut m 62d−3, pour B¹ il faut m6d−3, pour B² il faut m 6−3.

Lorsquem 63 (d−1) le complexe associ´e est W et lorsque m >3 (d−1) le complexe associ´e est K.

∗Cas c2 : d= 2. E(^t₂³) = 1.

On note les formes de la fa¸con suivante : f₁ =a x²+b x y+c x z+d y²+e y z +f z² f₂ =a⁰x²+b⁰x y+c⁰x z+d⁰y²+e⁰y z+f⁰z²

f₃ = a⁰⁰x² + b⁰⁰x y + c⁰⁰x z + d⁰⁰y² + e⁰⁰y z + f⁰⁰z²; ce que l’on note matriciellement :

f = A x²+B x y+C x z +D y² +E y z+F z² o`u f, A, B, C, D, E, F sont des matrices colonnes 3 × 1.

On remarque la sym´etrie :

x → y → z

y → z → x

z → x → y

a → d → f

b → e → c

c → b → e

d → f → a

e → c → b

f → a → d

.

Le r´esultant est de degr´e 12.

Le complexe associ´e est : 0−→C⁻³ =A⁻³ =S^m−6C³

δ₁₁⁻³

−→C⁻² =A⁻² =S^m−4C³ ⊗ ∧²C^{3 δ}

−2

−→

C⁻¹ =A⁻¹ ⊕ B⁻¹ = (S^m−2C³ ⊗ ∧¹C³) ⊕ (S^3−mC³)^{∗ δ}

−1

−→

C⁰ =A⁰ ⊕ B⁰ =S^mC³ ⊕ [(S^1−mC³)^∗ ⊗ ∧²C³]−→^δ0 C¹ =B¹ = (S^−1−mC³)^∗ ⊗ ∧¹C³

δ¹₂₂

−→C² =B² = (S^−m−3C³)^∗ −→0.

Lorsque m 6 3 le complexe associ´e est W et lorsque m >3 le complexe associ´e est K.

Exemple: si m=−1 il y a 3 termes dans le complexe (W) : 0−→C⁻¹ =B⁻¹ = (S⁴C³)^{∗ δ}

−1

−→22 C⁰ =B⁰ = (S²C³)^∗ ⊗ ∧²C³

δ⁰₂₂

−→

C¹ =B¹ =∧¹C³ −→0.

n−1 = 15, n₀ = 18, n₁ = 3 et n₀ =n−1+n₁ = 18.

Exemple: si m= 4 il y a 3 termes dans le complexe (K) : 0−→C⁻² =A⁻² =∧²C³

δ₁₁⁻²

−→C⁻¹ =A⁻¹ =S²C³ ⊗ ∧¹C³

δ₁₁⁻¹

−→

C⁰ =A⁰ =S⁴C³ −→0.

n−2 = 3, n−1 = 18, n₀ = 15 et n−1 =n−2+n₀ = 18.