1 Lois du moment cinétique

(1)

Sup PCSI1 - Exercices de physique Lois du moment cinétique

1 Lois du moment cinétique

1. Conservation du moment cinétique :

Un point matériel (M, m) est mobile sans frottement sur un plan horizontal percé d'un trou O dans lequel est engagé un fil inextensible.

Ce fil est lié à l'une de ses extrémités à M tandis que l'autre est enroulée sur le tambour d'un treuil. Initialement, le fil est tendu, M est lancé à une vitesse Vo orthogonale à la direction du fil, à une distance L

o

du trou. Le treuil enroule le fil à vitesse constante, avec une vitesse angulaire Ω sur un tambour de rayon R, sans chevauchement des spires. On note A= R.Ω.

(a) Décrire qualitativement le mouvement de M. Etablir une relation entre la longueur r(t) de fil à l’instant t (r(t) = OM) et sa vitesse angulaire .

(b) Exprimer la vitesse du mobile M en fonction du temps, son module et l’angle que fait le vecteur-vitesse avec la direction ortho-radiale.

(c) Donner l'équation polaire de la trajectoire explicitant la relation entre r et l’angle polaire θ : r(θ).

Réponse : écrire la conservation du moment cinétique (à partir du TMC). r(t) = L

o

– At. r(  ) = L

o

V

o

/(V

o

+ A  ) 2. Pendule avec frottement :

Un dispositif est constitué d’une barre de masse négligeable, de longueur 3a, portant à ses extrémités des masses m et 2m, assimilables à des points matériels, pouvant tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal passant à une distance 2a de la masse 2m.

Le pendule est lâché sans vitesse initiale, avec un angle  = 

o

. On considère qu’il subit un frottement linéaire traduit par un couple de frottement de moment : C   h 

^

e

_x

.

Etablir l’équation du mouvement. Etudier (t) si 

o

est proche de , et en considérant h faible.

Réponse : Utiliser le TMC. On obtient le cas d’un oscillateur harmonique amorti.

3. Mouvement d'un cylindre :

Un cylindre peut tourner librement autour de son axe horizontal  qui est fixe par rapport au référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Le moment d'inertie du cylindre par rapport à  est J ; son rayon est R.

Un fil inextensible et de masse négligeable est enroulé autour du cylindre ; un corps de masse m est attaché à l'extrémité libre de ce fil. On demande de caractériser le mouvement de m que l'on pourra repérer par la coordonnée z comptée suivant la verticale descendante.

Réponse : écrire le TMC par rapport à l’axe ∆ pour le cylindre ; écrire la RFD pour la masse suspendue (attention, la tension du fil n’est pas égale au poids de la masse m).

1 Lois du moment cinétique

Sup PCSI1 - Exercices de physique Lois du moment cinétique

1 Lois du moment cinétique

1. Conservation du moment cinétique :

Un point matériel (M, m) est mobile sans frottement sur un plan horizontal percé d'un trou O dans lequel est engagé un fil inextensible.

Ce fil est lié à l'une de ses extrémités à M tandis que l'autre est enroulée sur le tambour d'un treuil. Initialement, le fil est tendu, M est lancé à une vitesse Vo orthogonale à la direction du fil, à une distance L

du trou. Le treuil enroule le fil à vitesse constante, avec une vitesse angulaire Ω sur un tambour de rayon R, sans chevauchement des spires. On note A= R.Ω.

(a) Décrire qualitativement le mouvement de M. Etablir une relation entre la longueur r(t) de fil à l’instant t (r(t) = OM) et sa vitesse angulaire .

(b) Exprimer la vitesse du mobile M en fonction du temps, son module et l’angle que fait le vecteur-vitesse avec la direction ortho-radiale.

(c) Donner l'équation polaire de la trajectoire explicitant la relation entre r et l’angle polaire θ : r(θ).

Réponse : écrire la conservation du moment cinétique (à partir du TMC). r(t) = L

– At. r(  ) = L

V

/(V

+ A  ) 2. Pendule avec frottement :

Un dispositif est constitué d’une barre de masse négligeable, de longueur 3a, portant à ses extrémités des masses m et 2m, assimilables à des points matériels, pouvant tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal passant à une distance 2a de la masse 2m.

Le pendule est lâché sans vitesse initiale, avec un angle  = 

. On considère qu’il subit un frottement linéaire traduit par un couple de frottement de moment : C   h 

e

.

Etablir l’équation du mouvement. Etudier (t) si 

est proche de , et en considérant h faible.

Réponse : Utiliser le TMC. On obtient le cas d’un oscillateur harmonique amorti.

3. Mouvement d'un cylindre :

Un cylindre peut tourner librement autour de son axe horizontal  qui est fixe par rapport au référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. Le moment d'inertie du cylindre par rapport à  est J ; son rayon est R.

Un fil inextensible et de masse négligeable est enroulé autour du cylindre ; un corps de masse m est attaché à l'extrémité libre de ce fil. On demande de caractériser le mouvement de m que l'on pourra repérer par la coordonnée z comptée suivant la verticale descendante.

Réponse : écrire le TMC par rapport à l’axe ∆ pour le cylindre ; écrire la RFD pour la masse suspendue (attention, la tension du fil n’est pas égale au poids de la masse m).

 g

2a 2m

m

a y

z