1. Le moment cinétique orbital

Le moment cinétique et l'atome d'hydrogène

Chapitres 10 et 11

mercredi 3 mars 2004

Le mouvement dans un potentiel central

L'opérateur commute avec l'hamiltonien : ˆ2

ˆ ( )ˆ

2

H p V r

= m+

ˆ ˆ, _i 0

H L  =

 

i = x,y,z On peut diagonaliser simultanément et une composante Hˆ Lˆ_i

ˆ ˆ ˆ L r pG= ×G G

Recherche des états propres Ψ(x,y,z)et de leurs énergies pour

2

0

( ) 4

V r q

πε

= − r= x²+y²+z²

Premier pas vers l’étude du magnétisme

Comme en physique classique, il existe en mécanique quantique une relation fondamentale entre le moment cinétique d'un système et son moment magnétique

Pour caractériser les propriétés magnétiques d'un atome, d'une particule, …, il faut connaître son état de moment cinétique

Ré-analyse de l'expérience de Stern et Gerlach

1. Le moment cinétique orbital

Rappel sur

Trois composantes

Relation de commutation :

, …

On ne peut pas diagonaliser simultanément deux composantes du moment cinétique

L'observable

Bien que ne commute pas avec et , on trouve :

et par conséquent :

où on a posé :

On peut donc diagonaliser simultanément et une des trois observables :

On choisit traditionnellement :

La diagonalisation de ; méthode 1 : très difficile

On cherche

ψ

avec

β

γ

y x

 ∂ ∂ 

= − = − = ∂ − ∂ 

2 2 2

Lˆ y z

z y

 ∂ ∂ 

= −=  ∂ − ∂ 

2 z x 2

x z

∂ ∂

 

−=  ∂ − ∂ 

2 x y 2

y x

 ∂ ∂ 

−=  ∂ − ∂ 

La diagonalisation de ; méthode 2 : difficile

On passe en coordonnées sphériques d'axe Ozet on cherche :

ϕ θ

r

Attention : x

y z

{ } ^{L L ˆ ˆ}

^,

Remarque

Les opérateurs ne font intervenir que les variables

θ,ϕ

Imposer à

ψ

θ,ϕ

θ,ϕ

La dépendance en rviendra ultérieurement, lorsqu'on aura précisé l'hamiltonien, en particulier le potentiel V(r)

La diagonalisation de ; méthode 3 : facile (ou presque)

On va travailler avec les relations de commutation uniquement.

Intérêt supplémentaire : la méthode suivie ne s'applique pas seulement à

mais aussi à d'autres observables comme :

pour un système composite, ou à d'autres moments cinétiques sans équivalent classique (spin).

2.

Le problème général

d'une observable de moment cinétique

Les valeurs propres de et

j m

0 1/2 1 3/2

-3/2 -1 -1/2

1/2 1 3/2 m = j

m = -j

j m val. prop.

de Jˆ²

val. prop.

de ˆJ_z

0 0 0 0

1/2 1/2

-1/2 3=²/ 4 =/ 2

−=/ 2

1 1

0 -1

2=2

= 0

−=

3.

Retour sur le moment cinétique orbital

ˆ ˆ ˆ

L r p G = × G G

, ,

j m → l m

Les harmoniques sphériques

Imposer à d'être état propre de et va déterminer complètement la dépendance de en , la dépendance en r étant arbitraire

, ( , , )

l m r

ψ θ ϕ

,

l m

θ ϕ

, ( , , ) ( ) , ( , )

l m r R r Yl m

ψ θ ϕ

θ ϕ

,

( , ) Y

θ ϕ

Les harmoniques sphériques sont choisies normées :

2

, ( , ) sin 1

Yl m

θ ϕ θ θ ϕ

∫∫

:=m

:=² l(l+1)

l et m doivent être entiers

Contrainte en coordonnées sphériques :

ψ θ ϕ

π

ψ θ ϕ

, ( , 2 ) , ( , )

l m l m

Y

θ ϕ

π

θ ϕ

Quelle est la dépendance en

ϕ

, ,

ˆ_{z l m}( , ) _{l m}( , )

L Y

θ ϕ

θ ϕ

i m Y

θ ϕ

ϕ

− ∂ =

= ∂ =

, ( , ) , ( ) ^im

l m l m

Y

θ ϕ

θ

Ceci impose :

exp(2im

π

Exemple d'harmoniques sphériques : les états de moment cinétique nul

On part de l=m=0et on cherche

Y

( , ) θ ϕ

L Y

θ ϕ

θ ϕ

Expression de :Lˆ₊ Lˆ Lˆ_x iLˆ_y e^iϕ icot

θ

θ ϕ

+ = + == ∂∂ + ∂∂ 

On en déduit : _0,0 1

( , ) constante=

Y

θ ϕ

=

π

4 r R r

ψ θ ϕ

=

π

Les harmoniques sphériques (suite)

Moment cinétique 1

1, l= m

1, 1 l= m=

1, 0

l= m=

1, 1

l= m= −

sin

θ

sin

θ

θ

1,

( , )

l m

Y

θ ϕ

j=l m

0 1

-1

1 2

-2

2

Etat p

cf. orbitales p_x,p_y,p_zdes chimistes

4.

L'atome d'hydrogène

Le problème de Kepler quantique

Electron (masse m, charge –q) autour du noyau (charge Zq).

Quels sont les états propres et les énergies propres Ede

2 2

ˆ ˆ 2 ˆ

p Ze

H = m− r avec ^{2 2}

4 0

e q

=

πε

L'hamiltonienHˆ est invariant par rotation : il commute avec Lˆ² , Lˆ_z

On va chercher les états propres de parmi les états propres deHˆ Lˆ² , Lˆ_z ( , , )r R r Y( ) _{l m}, ( , )

ψ θ ϕ

θ ϕ

La dépendance angulaire de

ψ

( , , )r

ψ θ ϕ

L'équation radiale pour l'atome d'hydrogène

Il est commode de poser ( ) ,

( , , ) u r _{l m}( , )

r Y

ψ θ ϕ

θ ϕ

On reporte cette forme dans l'éq. aux val.pr.

2 2

( , , ) ( , , ) 2

Ze r E r

m r

ψ θ ϕ ψ θ ϕ

 

− ∆ − =

 

 

 

=

et on arrive à :

2 2

2 2 2

1 r 1 Lˆ

r r r

∆ = ∂ −

∂ =

u(r): fonction d'onde réduite

2 2 2 2

2 2

( 1)

( ) ( )

2 2

d l l Ze

u r E u r

mdr mr r

− + + −  =

 

 

 

= =

problème de Schrödinger 1D

Normalisation :

∫

∫

ψ θ ϕ

+∞

∫

Unités caractéristiques de la physique atomique

2

1 2 0,053nm

a =me= = ⁴

2 13,6 eV

I me2

E = =

= (rayon de Bohr)

Pour l'atome d'hydrogène (Z=1)

Pour un noyau de charge Z:

( ) 2

1 2

a Z

=mZe= _{( )} ^{2 4}

2 2

I Z mZ e

E =

=

Noyau de plomb, Z=82

( ) 13

1^Z 6 10 m

a × ⁻

( )^Z 100 keV EI

Pour les grands Z, l'approximation non relativiste devient discutable car E_I^(Z)devient de l'ordre de mc²=511 keV.

Schrödinger Dirac

Etats stationnaires de moment cinétique nul (l=0) : états s

2 2 2

2 ( ) ( )

2

d e

u r E u r mdr r

 

− − =

 

 

 

= 2

0

( ) 1 dr u r

+∞

∫

On montre que les énergies propres pour les états liés sont : E= −E n_I / ² 1, 2,...

n= E

-E_I -E_I/4 -E_I/9

/ 1

1( ) e ^{r a}

u r ∝r ⁻

0 1 2 3 4

2 1( ) u r

/ 1

r a

0 5 10 15

2 2( ) u r

/ 1

r a

/ 2 1

2( ) (2 1 ) ^{r a}

u r ∝r a −r e⁻ 0

Energies propres de l'atome d'hydrogène (l quelconque)

E=0

l=0

l=1

l=2

EI

−

I/ 4

−E

I / 9

−E

niveaux : −E n_I/ ² dégénérescence :

1 3 ... (2+ + + lmax +1) avec

max 1

l = −n g_n =n²

niveaux s

niveaux p

niveaux d

avec n=1,2,...

n = 1 n = 2 n = 3

2 2 2 2

2 2

( 1)

( ) ( )

2 2

d l l e

u r E u r

mdr mr r

− + + −  =

 

 

 

= =

Résolution de :

L'atome d'hydrogène au plan expérimental

Un des systèmes physiques les mieux connus : en tenant compte des corrections relativistes et liées à la théorie quantique des champs, on arrive à un accord théorie expérience au niveau de 10^-12

Spectroscopie laser

Paris & Munich E^I 10 973 731,568 59(10) m ¹ hc

= −

http://info.web.cern.ch/info/Announcements/CERN/2002/0918-CoolAntiH/

Depuis quelques années, on sait fabriquer de l'anti-hydrogène : un anti-proton (charge –q) et un positron (ou anti-électron, charge +q)

Les niveaux d'énergie sont-ils les mêmes que ceux de H ?

Que penser des valeurs ½ entières de j ?

Valeurs éliminées pour le moment cinétique orbital Si m = 1/2 et Y_{l m,} ( , )

θ ϕ

ϕ

, ( , 2 ) , ( , )

l m l m

Y

θ ϕ

π

θ ϕ

Artefact ou indication d'un "monde" plus vaste ?

• Réponse macroscopique : l'expérience du ruban

• Réponse microscopique : la physique du spin ½