Pourquoi étudier le moment cinétique ?

Le moment cinétique et l'atome d'hydrogène

Chapitres 10 et 11

mercredi 5 mars 2003

Pourquoi étudier le moment cinétique ?

1. Mouvement dans un potentiel central

L'opérateur commute avec l'hamiltonien :

2. Etude de la dynamique d'objets en rotation

molécule di-atomique classiquement :

2 cin

2 E L

= I I : moment d'inertie ˆ

2

ˆ ( ) ˆ

2

H p V r

= m +

ˆ ˆ ,

_i

0

 H L  =

 

i = x,y,z On peut diagonaliser simultanément et une composante H ˆ ˆ

L

i

ˆ ˆ ˆ L ! = × r ! ! p

Pourquoi étudier le moment cinétique (suite) ?

Comme en physique classique, il existe une relation fondamentale entre le moment cinétique d'un système et son moment magnétique

Pour caractériser les propriétés magnétiques d'un atome, d'une particule, …, il faut connaître son état de moment cinétique

Ré-analyse de l'expérience de Stern et Gerlach

3. Etude des propriétés magnétiques d'un système quantique

1. Le moment cinétique orbital

Rappel sur

Trois composantes

Relation de commutation :

, …

On ne peut pas diagonaliser simultanément deux composantes du moment cinétique

L'observable

Bien que ne commute pas avec et , on trouve :

et par conséquent :

où on a posé :

On peut donc diagonaliser simultanément et une des trois observables :

On choisit traditionnellement :

La diagonalisation de ; méthode 1 : très difficile

On cherche ψ (x,y,z) telle que :

avec β ^et γ ^{réels et :} L ^ˆ

_z

xp ^{ˆ ˆ}

_y

yp ^{ˆ ˆ}

_x

i x y

y x

 ∂ ∂ 

= − = − "   ∂ − ∂  

2

2 2

L ˆ y z

z y

 ∂ ∂ 

= − "   ∂ − ∂  

2 2

z x

x z

∂ ∂

 

− "   ∂ − ∂  

2

2

x y

y x

 ∂ ∂ 

− "   ∂ − ∂  

La diagonalisation de ; méthode 2 : difficile

On passe en coordonnées sphériques d'axe Oz et on cherche :

ϕ θ

r

Attention : x

y z

{ } ^{L L ˆ}

²

^{, ˆ}

^z

Remarque

Les opérateurs ne font intervenir que les variables θ,ϕ et pas la variable r.

Imposer à ψ (r, θ,ϕ ) d'être état propre de permettra de déterminer la dépendance en θ,ϕ , mais pas la dépendance en r

La dépendance en r viendra ultérieurement, lorsqu'on aura précisé l'hamiltonien, en particulier le potentiel V(r)

La diagonalisation de ; méthode 3 : facile (ou presque)

On va travailler avec les relations de commutation uniquement.

Intérêt supplémentaire : la méthode suivie ne s'applique pas seulement à

mais aussi à d'autres observables comme :

pour un système composite, ou à d'autres moments cinétiques sans équivalent classique (spin).

2.

Le problème général

d'une observable de moment cinétique

Les valeurs propres de et J ^ˆ

²

ˆ J

z

j m

0 1/2 1 3/2

-3/2 -1 -1/2

1/2 1 3/2

m = j

m = -j

j m val. prop.

de J ˆ

²

val. prop.

de ˆ J

z

0 0 0 0

1/2 1/2 -1/2

3 "

2

/ 4 " / 2

− " / 2

1 1

0 -1

2"

2

"

− 0 "

3.

Retour sur le moment cinétique orbital

ˆ ˆ ˆ

L ! = × r ! ! p

, ,

j m → l m

Les harmoniques sphériques

Imposer à d'être état propre de et va déterminer complètement la dépendance de en , la dépendance

en r étant arbitraire

,

( , , )

l m

r

ψ θ ϕ L ^ˆ

²

ˆ

L

z

,

l m θ ϕ ,

,

( , , ) ( )

,

( , )

l m

r R r Y

l m

ψ θ ϕ = θ ϕ

,

( , ) Y

l m

θ ϕ

l et m doivent être entiers

Contrainte en coordonnées sphériques : ψ θ ϕ ( , , r + 2 ) π ψ θ ϕ = ( , , ) r

,

( , 2 )

,

( , )

l m l m

Y θ ϕ + π = Y θ ϕ

Quelle est la dépendance en ϕ ^{d'un Y}

l,m

?

, ,

ˆ

_{z l m}

( , )

_{l m}

( , )

L Y θ ϕ = m Y " θ ϕ Y

^{l m,} _{l m,}

( , )

i m Y θ ϕ

ϕ

− ∂ =

" ∂ "

,

( , )

,

( )

^im

l m l m

Y θ ϕ = F θ e

^ϕ

Ceci impose :

exp(2 im π ) = 1 m entier l entier

Exemple d'harmoniques sphériques : les états de moment cinétique nul

On part de l=m=0 et on cherche Y

_{l m,}

( , ) θ ϕ telle que ˆ

_{z l m},

( , ) 0

L Y θ ϕ = L Y ˆ

_{+ l m},

( , ) θ ϕ = 0

Expression de : L ˆ

₊

L ˆ L ˆ

_x

iL ˆ

_y

e

^iϕ

i cot θ

θ ϕ

+

= + = "    ∂ ∂ + ∂ ∂   

On en déduit : Y

_0,0

( , ) θ ϕ = constante

( , , ) r R r ( )

ψ θ ϕ =

Etat à symétrie sphérique

Etat s

Les harmoniques sphériques (suite)

Moment cinétique 1

1, l = m

1, 1

l = m =

1, 0

l = m =

1, 1

l = m = −

cos θ e

^iϕ

cos θ e

^−iϕ

sin θ

1,

( , )

l m

Y

₌

θ ϕ

j=l m

0 1

-1

1 2

-2

2

Etat p

cf. orbitales p

_x

,p

_y

,p

_z

des chimistes

4.

L'atome d'hydrogène

Le problème de Kepler quantique

Electron (masse m, charge –q) autour du noyau (charge Zq).

Quels sont les états propres et les énergies propres E de

2 2

ˆ ˆ 2 ˆ

p Ze

H = m − r avec

2 2

4

0

e q

= πε ?

L'hamiltonien H ˆ est invariant par rotation : il commute avec L ˆ

²

, L ˆ

_z

On va chercher les états propres de parmi les états propres de H ˆ L ˆ

²

, L ˆ

_z

( , , ) r R r Y ( )

_{l m},

( , )

ψ θ ϕ = θ ϕ

La dépendance angulaire de ψ est fixée ; seule reste à déterminer la dépendance en r : problème à une dimension

( , , ) r ψ θ ϕ

L'équation radiale pour l'atome d'hydrogène

On reporte la forme ψ θ ϕ ( , , ) r = R r Y ( )

_{l m,}

( , ) θ ϕ dans l'éq. aux val.pr.

2 2

( , , ) ( , , ) 2

Ze r E r

m r ψ θ ϕ ψ θ ϕ

 

− ∆ − =

 

 

 

"

et on arrive à :

2 2 2 2

2 2

1 ( 1)

( ) ( )

2 2

d l l Ze

r R r E R r

m r dr mr r

 − + + −  =

 

 

 

" "

2 2

2 2 2

1 r 1 L ˆ

r r r

∆ = ∂ −

∂ "

On introduit souvent la fonction d'onde réduite : u(r) = r R(r)

2 2 2 2

2 2

( 1)

( ) ( )

2 2

d l l Ze

u r E u r

m dr mr r

 − + + −  =

 

 

 

" "

problème de Schrödinger 1D

Normalisation :

2 2 2

( , , ) 1 d Ω dr r ψ θ ϕ r =

∫ ∫

²

0

( ) 1 dr u r

+∞

∫ =

Unités caractéristiques de la physique atomique

2

1 2

0, 053nm a

= me " =

⁴

2

13, 6 eV

I

2

E = me =

"

(rayon de Bohr)

Pour l'atome d'hydrogène (Z=1)

Pour un noyau de charge Z

:

( ) 2

1 2

a

Z

= mZe "

_{( )} ^{2 4}

2

2 I Z

E = mZ e

"

Noyau de plomb, Z=82

( ) 13

1^Z

6 10 m

a # ×

⁻

( )^Z

100 keV E

I

#

Pour les grands Z, l'approximation non relativiste devient discutable car E

_I^(Z)

devient de l'ordre de mc

²

=511 keV.

Schrödinger Dirac

Etats stationnaires de moment cinétique nul (l=0) : états s

2 2 2

2

( ) ( )

2

d e

u r E u r m dr r

 

− − =

 

 

 

"

2

0

( ) 1 dr u r

+∞

∫ =

Z=1 :

On montre que les énergies propres pour les états liés sont : E = − E

_I

/ n

²

1, 2,...

n = E

-E

_I

-E

_I

/4 -E

_I

/9

/1

1

( ) e

^{r a}

u r ∝ r

⁻

0 1 2 3 4

2 1( ) u r

/ 1

r a

0 5 10 15

2 2( ) u r

/ 1

r a

/ 2 1

2

( ) (2

1

)

^{r a}

u r ∝ r a − r e

⁻

Energies propres de l'atome d'hydrogène (l quelconque)

E=0

l=0

l=1

l=2

E

I

−

I

/ 4

− E

I

/ 9

− E

niveaux : − E

_I

/ n

²

dégénérescence :

1 3 ... (2 + + + l

max

+ 1) avec

max

1

l = − n g

n

= n

²

niveaux s

niveaux p

niveaux d

avec n=1,2,...

n = 1 n = 2 n = 3

2 2 2 2

2 2

( 1)

( ) ( )

2 2

d l l e

u r E u r

m dr mr r

 − + + −  =

 

 

 

" "

Résolution de :

L'atome d'hydrogène au plan expérimental

Un des systèmes physiques les mieux connus : en tenant compte des corrections relativistes et liées à la théorie quantique des champs, on arrive à un accord théorie expérience au niveau de 10

^-12

Spectroscopie laser Paris & Munich

10 973 731, 568 59 (10) m

1

E

I

hc

=

−

http://info.web.cern.ch/info/Announcements/CERN/2002/0918-CoolAntiH/

Depuis quelques années, on sait fabriquer de l'anti-hydrogène : un anti-proton (charge –q) et un positron (ou anti-électron, charge +q)

Les niveaux d'énergie sont-ils les mêmes que ceux de H ?

Que penser des valeurs ½ entières de j ?

Valeurs éliminées pour le moment cinétique orbital Si m = 1/2 et Y

_{l m,}

( , ) θ ϕ ∝ exp( im ϕ ) , alors :

,

( , 2 )

,

( , )

l m l m

Y θ ϕ + π = − Y θ ϕ

Artefact ou indication d'un "monde" plus vaste ?

• Réponse macroscopique : l'expérience du ruban

• Réponse microscopique : la physique du spin ½