Icimed´enote la charge de l’´electron etesa charge

(1)

Matrices, rotations

1. Le moment magnétique d’un électron estµe =gµB, o ùµB =~e/(2me) est le magnéton de Bohr etg ≈2. Icim_edénote la charge de l’électron etesa charge. Comparer cette valeur avec celle d’une sphère qui porte la chargeeet dont le moment cinétique intrinsèque autour de l’axez est ~/2. On suppose que la densité de charge ρ dans la sphère est la densité de masse sont constantes. Utiliser que le vecteur du moment magnétique et le moment d’inertie d’une sphère de massemet de rayon asont~µ= ¹₂R

d³r ~r∧(ρ~v)etI_s= 2ma²/5, respectivement.

2. O `u dans le plan complexe sont situ´ees les valeurs propres d’une matrice unitaire ?

3. Les matrices de Pauli sont donn´ees par σ_x=

0 1 1 0

, σ_y =

0 −i

i 0

, σ_z=

1 0 0 −1

. (a) Montrer qu’elles v´erifient les relations

i. [σx,σy] = 2iσz (cycl.) ii. tr{σ_kσ_j}= 2δ_kj On note que tr{A} = Pn

i=1A_ii siAest une matrice de dimensions n×net que tr{AB}=tr{BA}(Ba les mˆeme dimensions queA).

(b) Calculer leurs valeurs et vecteurs propres 4. On donne la matrice

U(n, φ) = cos(φ/2)1+isin(φ/2)(n_xσ_x+n_yσ_y+n_zσ_z)

o ù σ_x,y,z sont les matrices de Pauli et n = (n_x, n_y, n_z)^T contient les composantes d’un vecteur d’unité~npar rapport à la base d’un espace euclidien, tel quen^Tn= 1.

(a) D´efinissantN=nxσx+nyσy+nzσz, montrer que i. N² =1,

ii. Nest une matrice hermitienne.

iii. Montrer queUest unitaire et calculer det(U).

(b) On donne la repr´esentation d’un vecteur dans l’espace des spineurs par

ξ=xσx+yσy+zσz. Calculerξ⁰=U^†(~n, )ξU(~n, ), pour|| 1.

5. On donne la matrice

K=

0 1 1 0

(a) Montrer queK²=1.

(b) Montrer queA(φ) = exp(φK) =

cosh(φ) sinh(φ) sinh(φ) cosh(φ)

(c) Soit la “norme” krk de r ≡ (x, y)^T (x, y ∈ R) d´efinie par krk = p|x²−y²|. Montrer quek˜rk=krk, o `u˜r=A(φ)r.

(2)

Spin

1. On donne le champ magn´etique

B~ =Bsinϕ ~e_x+Bcosϕ ~e_z, o `uϕ∈[0,2π).

(a) Donner la repr´esentation matricielleHde l’hamiltonien en utilisant la forme des matrices de Pauli introduites dans le cours.

(b) Calculer les ´energies possibles du spin.

(c) Calculer les spineurs propres deH. Conseil : ConstruireB~ par rotation `a partir deB~₀ =B~e_z et utiliser la formule de rotation corres- pondante pour les spineurs.

2. On donne un champ magn´etique constant,B~ =B~ez, et on consid`ere un

“spin1/2” dont l’´etat pourt= 0est d´ecrit par le spineur χ(0) = cosφχ⁺_z + sinφχ⁻_z =

cosφ sinφ

,

o ùφ ∈ Ret χ⁺_z et χ⁻_z décrivent, respectivement, une polarisation pa- rallèle et antiparallèle à l’axezdans un repère cartésien.

(a) Calculerχ(t)pour le champ magn´etique donn´e.

(b) Calculer les valeurs moyennes hs_i(t)i pour les composantes i = x, y, z du spin. Quelle trajectoire est d´ecrite par la pointe du vec- teurh~s(t)i?

3. On donne les matrices S_x=i~





0 0 0 0 0 −1 0 1 0



, S_y =i~





0 0 1 0 0 0

−1 0 0



, S_z=i~





0 −1 0

1 0 0

0 0 0



.

qui repr´esentent un spin d’amplitude~.

(a) Construire la matrice H qui représente l’hamiltonien pour un champ magnétique B~ = B~n, o ù ~n = nx~ex +ny~ey +nz~ez est un vecteur d’unité dans une direction quelconque. Montrer queHest une matrice hermitienne.

(b) i. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres (normalis´es) correspondants de la matriceHsiB~ =B~e_z.

ii. Soientλ₊, λ₀, λ−les valeurs propres, o ùλ₊< λ₀ < λ−, et soient χ₊,χ₀,χ₋ les spineurs propres associés. Quelle est la significa- tion physique de ces valeurs propres et à quelle orientation du

(3)

Espace vectoriel unitaire (I)

2. Soit|uiun vecteur d’unité dans un espace vectoriel unitaire à deux dimensions. Combien de vecteurs normalisés et orthogonaux à |ui y a- t-il ? La même question si l’espace vectoriel est réel. (Utiliser une base orthonormée pour exprimer les vecteurs dans cet espace vectoriel. ) 3. Soit{|a₁i,|a₂i}une base orthonormée d’un espace vectoriel unitaire à

deux dimensions (“baseA”). On donne une deuxi`eme base (“baseB”) dans cet espace par

|b₁i= 1

√

2{|a₁i+i|a₂i}, |b₂i= 1

√

2{|a₁i −i|a₂i}. (a) Montrer que la baseBest orthonorm´ee.

(b) Donner la repr´esentation matricielle de{|a₁i,|a₂i}et de{|b₁i,|b₂i}

dans la baseA.

(c) Donner la repr´esentation matricielle dehb₁|ethb₂|dans la baseA (d) Donner la repr´esentation matricielle de|a₁iet|a₂idans la baseB.

(e) Construire l’opérateur unitaireUqui est défini par|b_ji=U|aji(j= 1,2) et donner sa représentation matricielle dans la baseA.

(f) Soit|χiun vecteur dont la repr´esentation matricielle dans la baseA est donn´ee par

χ^(A)= 1

√2 1

0

. Quelle est la repr´esentation dans la baseB?

(g) SoitT un op´erateur qui a la repr´esentation matricielle dans la base Aest

T^(A) =

1 0 0 −1

. Quelle est la repr´esentation dans la baseB?

4. SoitT=|uihu|un op´erateur dans un espace unitaire `andimensions.

(a) Est-ce queTest hermitien ?

(b) Quelle propriété doit posséder le vecteur|uiafin queTsoit un pro- jecteur ? (Rappel : Un projecteurPa les propriétésP²=PetP^†=P.) (c) Montrer que les valeurs propres dePsont ou 0 ou 1.

(4)

Espace vectoriel unitaire (II)

1. La dérivée d’un opérateurAqui dépend d’un paramètreλest donnée par

dA dλ = lim

→0

A(λ+)−A(λ)

.

Montrer que (a) d

dλ(AB) = dA

dλB+AdB dλ. (b) d

dλA⁻¹ =−A⁻¹dA dλA⁻¹. (c) d

dλexp(λC) =Cexp(λC) = exp(λC)C, siCne d´epend pas deλ.

(d) d dλAⁿ=

n

X

l=1

A^l−1dA

dλA^n−l (n≥1).

Avec ces r´esultats calculer (a) d

dλ(exp(λB)Aexp(−λB)), (b) d

dλ(exp(λA) exp(λB)), o `u niAniBne d´ependent deλ.

2. On d´efinit ∂F(A,B,C, . . .)

∂A = lim

→0

F(A+1,B,C, . . .)−F(A,B,C, . . .)

.

Montrer que (a) dAⁿ

dA =nAⁿ⁻¹ (n∈Z, n6=−1).

(b) dexp(A)

dA = exp(A).

3. Montrer que pour trois op´erateursA,B,Cquelconques [AB,C] =A[B,C] + [A,C]B, [A,BC] =B[A,C] + [A,B]C.

4. SoientAetBdeux opérateurs qui vérifient la relation[A,B] =i1et soit F(A,B)une fonction qui est définie par la série

F(A,B) =

∞

X

n,m=0

f_nmAⁿB^m,

o `ufnm ∈Csont des constantes.

(a) Montrer par r´ecurrence que

(5)

Oscillateur harmonique

1. On donne les op´erateurs d’´echelle de l’oscillateur harmonique, a=

rmω₀

2 x+ i

√2mω0

p,

a^†=

rmω0

2 x− i

√2mω₀p.

(a) Donner la repr´esentation matricielle deaet dea^†dans la base des

´etats propres{|u_ni}de l’hamiltonien.

(b) La mˆeme question pour les bases{|xi}et{|pi}.

(c) Résoudre les équations du mouvement pour les opérateursaet a^† dans l’image de Heisenberg (aH(t)eta^†_H(t)).

2. Calculer pour l’oscillateur harmonique en une dimension les valeurs moyennes suivantes pour les ´etats propres{|u_ni}de l’op´erateur hamiltonien :

(a) hxiethpi(Expliquer le r´esultat).

(b) hx²iethp²i.

(c) ∆x∆p, o `u∆x=p

h[x− hxi]²iet∆p=p

h[p− hpi]²i.

3. On considère un oscillateur harmonique en une dimension qui porte une chargeQ et qui est exposé à un champ électriqueE_el constant en direction de sa coordonnée de déplacement,x. (On suppose queQest choisie tel que l’énergie baisse sixaugmente.)

(a) Quelle est la forme de l’opérateur hamiltonien pour ce problème ? (b) Donner les niveaux d’énergie de cet oscillateur et les fonctions

d’onde propres un(x) associées. Conseil : Utiliser la méthode du complément quadratique pour écrire l’opérateur hamiltonien dans une forme convenable pour cet exercice.

(c) Comment faut-il choisirE_elpour que l’´energie de l’´etat fondamental soit nulle ?

(6)

Moment cin´etique

1. Les relations suivantes sont à vérifier en utilisant uniquement l’algèbre des commutateurs (voir exercice 3 de la feuille de TD 4)

(a) Montrer que

[~L,V] =−i~~r∧ ∇V(~r), o `u~L=Lx~ex+Ly~ey+Lz~ezet~r=x~ex+y~ey +z~ez.

(b) Avec les relations prouvées ci-dessus, montrer que le moment cinétique est une quantité conservée, siV(r) =V(|r|), i.e.

[H,Lk] =0, k=x, y, z, siV(r) =V(|r|).

On suppose que l’op´erateur de Hamilton a la forme H= ~p²

2m +V(~r).

(c) Montrer que

[Lx,Ly] =i~Lz, cycl.

[L_k, ~L²] =0.

(d) En introduisant

L±=Lx±iLy, montrer que

~L² =L+L−+L²_z−~Lz =L−L++L²_z+~Lz,

[L+,Lz] =−~L+, [L−,Lz] =~L−, [L±, ~L²] =0.

2. Montrer explicitement que

hp|[T,Lk]|p⁰i= 0, o `uT=~p²/(2m).